11 Умножение двоичных чисел

11.1 Методы умножения бинарных чисел

Рассмотрим основные способы выполнения операции умножения для различных систем cчисления. Самым распространенным способом умножения чисел является способ поразрядного умножения множимого на множитель, начиная с младшего разряда - 1-й способ, начиная со старшего разряда – 2-способ.

Рассмотрим пример:

Анализ способов умножения чисел в десятичной системе счисления показывает, что операция умножения состоит из поразрядного умножения множимого на множитель с переносом переполнения в старший разряд, сдвига частных произведений на один разряд влево (вправо), суммирование частных произведений.

В двоичном счислении эта задача значительно упрощается, т.к. умножать поразрядно нет необходимости. В самом деле, если умножать множимое на "1", то это повторение множимого со сдвигом на один разряд вправо (влево), а на "0" - записываются одни нули со сдвигом.

В обоих случаях операция умножения состоит из ряда последовательных операций сдвига и сложения частных произведений. Таким образом, операция умножения сводится к сложению частных произведений, которые получаются из множимого с соответствующим сдвигом или нулей, если в разряде множителя "нуль", или множимого, если в разряде множителя 1. Рассмотрим, как производит умножение компьютер.

11.2 Умножение чисел с фиксированной запятой на дспк

Запишем машинное изображение множимого и множителя в форме с фиксированной запятой в прямом коде. A_np=SgA,α₁α₂...α_n; B_пр=SgB,b₁b₂...b_n. Тогда, их произведение запишется как C_np=Sgc,с₁с₂...с_n, где Sgc= Sg_ASg_B, где  - знак сложения по mod2. (1)

Таким образом, при использовании ДСПК, знак произведения определяется отдельно от цифровой части, затем выполняется операция умножения. Она выполняется в соответствии с заданной структурой множительного устройства (см. например, рисунок 11.1).

Рисунок 11.1-Структурная схема устройства умножения

По методу 2 умножение начинается с младшего разряда и сдвигается вправо сумма частных произведений.

Пример. Умножить числа А_пр = 1,11010 = - 26; В_пр, = 0,11001 = 25, С= -650.

Решение: Определяется знак произведения 1 0 =1

Зададим: 1) сумматор имеет 10 разрядов (без знака).

2) регистры имеют по 5 разрядов (без знака).

Последовательность действий представим таблицей 11.1.

Для упрощения записи таблиц, принимаем следующие условные обозначения:

-оператор := присваивания значения (блоку слева присваивается значение, указанное справа от операнда);

-оператор  сдвига содержимого, например, сдвиг регистра А вправо на один разряд;

-обозначения, например, [См] - содержимое сумматора;

-обозначение И. П. - исходное положение;

-обозначения Апр., Впр. - цифровая часть множимого и множителя в прямом коде.

Если при умножении возникает единица переноса из старшего разряда, то ее сохраняют путем сдвига  т.е. необходимо предусматривать в цифровом автомате стробирование сигнала переполнения для выработки сдвига на один разряд.

Этот способ умножения получил наибольшее распространение в практике цифровых автоматов.

11.3 Умножение чисел с плавающей запятой

Так как числа с плавающей запятой представляются мантиссой и порядком, то выполнение операции умножения состоит из двух действий:

-перемножение мантисс;

-сложение порядков.

Результат умножения может получиться денормализованным, поэтому требуется проверка на нормализацию числа и, при необходимости, его нормализация с соответствующей коррекцией порядка результата. Устройство умножения чисел с плавающей запятой представлено автоматом со структурой рисунка 11.2.

Пример. А= – 0,11001*2^–-3; В=0,10011*2¹

Сложение порядков производим в обратном коде, См. - 10 разрядов, Рг. - 5 разрядов. Умножение мантисс приведено в таблице 11.2. Определим значение порядка

Так как мантисса результата не удовлетворяет нормализации слева, т.е. δ=1,γ=0, то производится сдвиг мантиссы влево на один разряд m_C = 1,1110110110 и коррекция порядка

В машинном виде будет соответствовать коду 11.1110110110.11.11, при условии выделения для порядка всего двух разрядов.

Примечание. Точки, разделяющие знак мантиссы, мантиссу, знак порядка, порядок в машинном коде не проставляются.