3.5 Контрольні питання
1. У чому полягає задача чисельного диференціювання?
2. Як одержують формули чисельного диференціювання?
3. Що таке порядок похибки формули чисельного диференціювання?
4. Коли можна застосовувати формули Рунге?
Лабораторна робота №4
Обчислення ВИЗНАЧЕНих інтегралів
4.1 Мета роботи.
Вивчення чисельних методів обчислення визначених інтегралів і придбання практичних навиків в наближеному обчисленні визначених інтегралів в системі MatLab.
4.2 Завдання до лабораторної роботи
1. Для виконання лабораторної роботи необхідно пропрацювати теоретичний матеріал представлений в розділі 8.4 електронні довідники за системою MatLab.
1. Ознайомітісь з основними теоретичними відомостями - розділи 4.3, 4.4 методичних вказівок.
2. Виконати в MatLab всі приклади, наведені в розділі 4.3 та 4.4. Протокол роботи зберегти у файлі LaboratoryWork6_1.txt.
3. Віконаті в MatLab індивідуальні завдання наведені в розділі 4.5.
4. Протокол виконання індивідуального завдання оформити у вигляді skript-файлу.
4.3 Основні теоретичні відомості
Хай вимагається обчислити визначений інтеграл на інтервалі [а;b].
Далеко не завжди задача може бути вирішена аналітично. Зокрема, чисельне рішення потрібне у тому випадку, коли підінтегральна функція задана таблично. Для чисельної інтеграції підінтегральну функцію апроксимують якою-небудь більш простою функцією, інтеграл від якої може бути обчислений. Звичайно як апроксимуюча функція використовують інтерполяційний поліном. У разі полінома нульового ступеня метод чисельної інтеграції називають методом прямокутників, у разі полінома першого ступеня - методом трапецій, у разі полінома другого ступеня - методом Симпсона. Формули інтеграції при розбитті відрізка на n рівних частин з рівномірним кроком h мають вигляд:
Метод прямокутників
Перша з формул - ліві прямокутники, друга - праві, третя - центральні.
Метод трапецій
Геометричне значення цієї формули - площа трапеції, у якої одна із сторін це хорда, що сполучає точки графіка f(х), відповідні x=a і x = b.
Метод Симпсона
Цей метод базується на заміні підінтегральної функції квадратичною параболою, яка будується вже не по двох, а по трьох точках на кожній ділянці, причому, внутрішня точка береться в середині інтервалу. По цих трьох точках будується інтерполяційний поліном другого порядку, який аналітично інтегрується. Виходить наступна розрахункова формула:
a) для однієї ділянки інтеграції:
,
де
.
b) для ділянок інтеграції ( обов'язкове парне):
Практична оцінка похибки здійснюється при подвійному прорахунку за правилом Рунге:
.
Приклад 4.3.1 Обчислимо інтеграл
1)
2)
Одержимо методом лівих прямокутників:
Одержимо методом правих прямокутників:
Одержимо методом трапецій:
Одержимо методом Симпсона:
У разі однієї ділянки матимемо:
Приклад 4.3.2. Обчислити інтеграл на інтервалі[0,р/2], підінтегральна функція sin(x).
Рішення по формулі правих прямокутників:
>>f=inline'sin(x)';
>>xmin=0;
>>xmax=pi/2;
>>n=2001;
>>i=1:n;
>>h=(xmax-xmin)/(n-1);
>>x=xmin:h:xmax;
>>y=feval(f,x);
>>m=2:n;
>>y1(m-1)=y(m);
>>fr=sum(y1)*h;
fr=
1.004
>>fr-1
ans=
3.9284e-004