- •4.3. Основні теоретичні відомості 33
- •5.3. Основні теоретичні відомості 41
- •Зміст та оформлення лабораторних робіт
- •Лабораторна робота №1
- •1.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи
- •1.5 Контрольні питання
- •2.3.2 Побудова емпіричної формули
- •2.3.3 Вибір ступеня многочлена
- •2.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи
- •2.5 Контрольні питання
- •3.3 Короткі теоретичні відомості
- •3.3.1 Чисельне диференціювання функцій
- •3.3.2 Метод Рунге збільшення порядку точності формул
- •3.3.3 Функції matlab для чисельного диференціювання
- •3.4 Індивідуальне завдання до лабораторної роботи
- •3.5 Контрольні питання
- •4.3 Основні теоретичні відомості
- •Обчислення визначених інтегралів в системі MatLab
- •4.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи
- •4.5 Контрольні питання
- •5.3.2 Метод Ейлера
- •5.3.3 Методи Рунге-Кутта
- •5.3.4 Рішення задачі Коші в MatLab
- •5.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи
- •5.5 Контрольні питання
- •Список літератури
Обчислення визначених інтегралів в системі MatLab
Для обчислення визначеного інтеграла по формулі трапецій використовується функція trapz(x,y), де x і у вектора вузлів і значень функції відповідно. Вектор вузлів можна не задавати, тоді звертання має спрощений вид trapz(y), а як ординати використовуються їх індекси (x=1:length(y)). Вузли по осі можуть бути і не рівновіддаленими.
Наприклад
>> x=1:0.1:2;
>> y=log(x);
>> trapz(x,y)
ans=0.3859
Точне значення інтеграла 0.3863 (перевірте!).
Для обчислення визначеного інтеграла по формулі Симпсона використовується функція
q=quad(fun,a,b,eps), де перший аргумент є покажчиком на підінтегральну функцію, другий і третій аргументи визначають межі інтеграції. Останній аргумент задає необхідну точність обчислення інтеграла. Якщо точність не задана, то береться за умовчанням значення . При обчисленні інтеграла використовується адаптивний алгоритм із зменшенням кроку удвічі на кожній ітерації і перевіркою досягнутої точності за правилом Рунге.
Наприклад
>> quad('log(x) ',1,2)
>> ans=0.3863
Окрім значення інтеграла, функція quad повертає ще один параметр - кількість звернень до обчислення значень підінтегральної функції:
>> format long
>> [q,fcnt]=quad('log(x) ',1,2,1.e-6)
q=0.38629433433642
fcnt=13
>> [q,fcnt]=quad('log(x) ',1,2,1.e-16)
q=0.38629436111989
fcnt=1173
4.4 Індивідуальні завдання до лабораторної роботи
1. Реалізуйте програму обчислення інтегралів по формулах прямокутників(непарні варіанти) і трапецій (парні варіанти) з виведенням проміжних значень у вигляді таблиці :
№ узла |
xi |
yi |
2. Реалізуйте програму обчислення інтегралів із заданою точністю для методу Симпсона.
3. Виберіть інтеграли відповідно до вашого варіанту і обчисліть їх за допомогою програм.
4. Для заданих інтегралів знайдіть оцінку із заданим числом вірних знаків (не менше 6) за допомогою функцій MatLab.
Таблиця 4.1 - Варіанти завдань
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | ||
8 | ||
9 | ||
10 |
Продовження таблиці 4.1 | ||
11 | ||
12 | ||
13 | ||
14 | ||
15 | ||
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 |
4.5 Контрольні питання
1. Як в чисельних методах можна зменшити похибку обчислення інтеграла?
2. Якою апроксимуючою замінюється підінтегральна функція в методах прямокутників, трапецій і Симпсона?
3. Алгоритми чисельних методів обчислення визначених інтегралів.
4. Функції системи MatLab для обчислення інтегралів.
Лабораторна робота № 5
рішення звичайного диференціЙного рівняння. ЗАДАЧА КОШІ.
5.1 Мета роботи.
Вивчення чисельних методів Ейлера, Рунге-Кутта рішення звичайного диференціального рівняння першого порядку та придбання практичних навиків використання системи MatLab для цієї задачі.
5.2 Завдання до лабораторної роботи
1. Ознайомітісь з основними теоретичними відомостями - розділи 5.3 методичних вказівок.
2. Виконати в MatLab всі приклади, наведені в розділі 5.3. Протокол роботи зберегти у файлі LaboratoryWork5_1.txt.
3. Віконаті в MatLab індивідуальні завдання наведені в розділі 5.4.
4. Протокол виконання індивідуального завдання оформити у вигляді skript-файлу.
5. У звіті наведіть тексти написаних програм, протокол роботи і результати роботи при виконанні кожного пункту завдання.
5.3. Основні теоретичні відомості
5.3.1 Постановка задачі Коши
Інженерні і наукові задачі часто пов'язані з рішенням диференційних рівнянь, оскільки з їх допомогою описуються багато фізичних явищ. Для багатьох практично важливих випадків задачі, що описуються диференціальними рівняннями, дуже складні, і отримати їх точне рішення виявляється важко або неможливо. Задачу Коші можна сформулювати таким чином. Дано звичайне диференційне рівняння
(5.1)
і початкові умови
. (5.2)
Вимагається знайти функцію ,що задовольняє рівнянню (5.1) і початковій умові (5.2). Методи рішення задачі Коши діляться на однокрокові і багатокрокові. До однокрокових відносяться простий метод Ейлера, модифікований метод Ейлера, метод Коши і метод Рунге-Кутта, до багатокрокових - метод Адамса і предиктор-корректор метод (метод прогнозу і корекції).
Геометрично завдання інтеграції диференціальних рівнянь полягає в знаходженні інтегральних кривих, які в кожній своїй точці мають заданий напрям дотичної. Завданням початкової умови ми виділяємо з сімейства рішень ту єдину криву, яка проходить через фіксовану точку (x0 ,u0).