Вышмат

21

3.РЯДИ

Запропоновані методичні вказівки призначені для самостійної роботи студентів технічних спеціальностей ЗНТУ, які вивчають тему «Числові та функціональні ряди». Методичні вказівки складаються з трьох частин:

3.1–Числові знакододатні ряди;

3.2–Числові знакопочережні ряди;

3.3–Функціональні ряди.

На початку кожного розділу наведені питання, які націлюють увагу студентів на найбільш важливі означення, теореми та формулювання, які є необхідними для розв`язання задач. Проконтролювати вірність своїх відповідей студенти зможуть за допомогою літератури, перелік якої є в кожному розділі.

В кожному розділі наведені детальні розв`язки типових задач з короткими поясненнями, пропонується достатня кількість задач для самостійної роботи.

3.1 Числові знакододатні ряди

Запитання:

1.Що називається числовим знакододатнім рядом та його загальним членом ? Навести приклади числових знакододатніх рядів.

2.Що називається n-ою частинною сумою ряда?.

3.Дати визначення збіжного та розбіжного рядів.

4.Що називається сумою ряда?

5.В чому полягає необхідна ознака збіжності числового знакододатнього ряда? Навести приклад, який доводить, що необхідна ознака не є достатньою.

6.В чому полягає ознака порівняння? Навести приклад.

7.В чому полягає ознака Даламбера? Навести приклади для випадків

ρ <1, ρ =1, ρ >1. .

8.В чому полягає радикальна ознака Коші? Навести приклади для випадків q<1, q=1, q>1.

9.В чому полягає інтегральна ознака Коші?

Література [4], [5],[6],[7].

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

22

Розв`язання прикладів.

1. Сума ряда.

∞	1
Приклад. Знайти суму ряда å
	(2n -1)(2n +1)
n=1

Розв`язання:

Представимо загальний член ряда у вигляді суми найпростіших дробів:

1	=	A		+	B
(2n -1)(2n + 1)		2n -1			2n +1

Приводимо праву частину до загального знаменника та прирівнюємо чисельники отриманих дробів, отримаємо тотожність:

																														1 = A(2n +1)+ B(2n -1)
Якщо n =											1		,						то				A =						1
										2																			2
														1																		1
Якщо n = -																			то B = -
														2																		2
Таким чином
иn =					1	×				1							-		1		×			1								=		1	æ					1						-					1			ö
																																			ç																			÷
					2			2n -1											2				2n				+1							2														2n +1
																																			è 2n -1																			ø
						u1								1			æ					1 ö							и2 =						1 æ				1						1 ö							и3				1				æ 1				1 ö
Тому										=							ç1			-				÷,														ç					-				÷,							=						ç			-			÷,L
														2								3																	3																	2					5			7
																	è							ø											2 è										5 ø															è						ø
Тобто: Sn = u1																		+ u2 + u3 +L + un																						=				1		æ		-			1		ö		1		æ			1	-		1	ö			1 æ 1			-	1	ö
																																												2		ç1					3		÷ +		2		ç			3			5	÷+			2	ç	5		7	÷+L
																																														è							ø				è							ø				è				ø
+	1			æ			1						-							1				ö			=
				ç																						÷
	2				2n -1
				è													2n +1ø
	1			æ				1						1						1				1					1															1									1 ö													1	æ				1 ö
=				ç1		-				+							-				+						-						+ L +																	-								÷ = = =									ç1		-				÷
	2							3						3						5				5					7												2n				-1							2n														2				2n +1
				è																																																		+1ø													è						ø
Знаходимо суму ряда:
S = lim Sn =														1								æ											1		ö					1				.
																		lim				ç1 -														÷ =
																																								2
					n→∞										2 n→∞è													2n +1ø

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

23

Таким чином, заданий ряд є збіжним та його сума дорівнює 12 .

Приклади для самостійної роботи Знайти суму ряда:

1.	33				+		35							+			37				+Λ											6.			1							+						1						+				1		+					1		+L
																																	1× 2														2 ×						3				3× 4						4			×5
	25						28										211
2.				1			+							1					+			1					+L					7.		1							+							1						+			1				+					1				+ L
		1		× 2								2 ×					3				3×			4									1× 4															4 × 7									7 ×10						10 ×13
3.				1			+							1					+			1					+L					8.		1				+			1			+							1			+				1	+L
		1		× 4								2 ×					5				3× 6												3																								24
																																									8 15
4.				1								+							1					+					1		+L	9.	5					+			13							+					35				+Λ + 3							n		+	2	n		+ Λ
		1		× 2			×	3									2 ×3× 4										3× 4			×5
																																	6								36										216															6n
		1					1												1							1							2					+				3						+					4				+Λ +							n +1						+ Λ
5.				+										+									+						+L			10.
																																				9					64											225										n2 (n +1)2
			3				27											243						729
Відповіді
1.S = ∞																																6.S = 1
2.S = 1																																7.S =									1
																																									3
3.S =								11																								8.S =									3
									8																																4
4. S =										1																						9.S =									3
								4																																	2
5.S =									3																							10.S =											5
								8																																		16

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

24

Ознаки збіжності числових знакододатніх рядів

Необхідна ознака.

Приклад.

Користуючись необхідною ознакою збіжності, показати , що ряд

1+

1

+

2

+Λ +

n

+Λ

є розбіжним.

2

n +1

3

Розв`язання.

n

Знаходимо

lim u

n

= lim

=1

n→∞

n→∞ n + 1

Так як границя загального члена ряду не дорівнює нулю при n → ∞ , то ряд розбігається.

Приклади для самостійної роботи:

Перевірити, чи виконується необхідна ознака збіжності для ряда:

1.	1	+			3			+			5			+				7					+ Λ					6.		4			+			7				+		10				+				13				+Λ
	2			4														8												7					12						17									22
									6
		1							1						1																				22						23									24				25
2.1 +						+						+								+ Λ								7. 2 +											+								+							+				+Λ
			3						5						7
																																			2								3								4					5
3.	2	+			4			+				6			+							8			+Λ			8.		1			+			2!				+				3!				+				4!			+Λ
	3			9																										2
									27											21															22						23									24
	1			4								9										16											π								π											π					π
4.		+							+							+											+Λ	9.sin					2			+ sin					4				+ sin 8										+ sin				+Λ
																																																									16
	9			13									17									21
5.	1	+			2				+				3					+						4			+ Λ	10.			1			+			2			+	3				+				4		+Λ
	9			19								29										39																			7							9
																														3					5
Відповіді:
1.Ні																																		6.Ні
2.Так																																		7.Ні
3.Так																																		8.Ні
4.Ні																																		9.Так
5.Так																																		10.Ні

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

25

Ознака порівняння.

Приклади.

За допомогою ознаки порівняння дослідити на збіжність ряди:

1.		1	+		1	+			1			+L +					1	+L
	5	× 2			× 22				× 23							5	× 2n
			5			5
Розв¢язання.
Порівняємо даний ряд з рядом
							1		+	1			+	1		+L +			1	+L	(*)
						2													2n
									22				23

Ряд (*) збіжний, так як його члени утворюють нескінченно спадаючу геометричну прогресію зі знаменником q = 12 . При цьому n-ий член

даного ряду un =		1	менше відповідного члена Vn	=	1	ряда
5		× 2n			2n

(*). Тому даний ряд є збіжним.

∞1

2.ån=1 ln n

Розв¢язання.

∞

1

(*). Оскільки кожен

Порівняємо даний ряд з розбіжним рядом å

n

1

n=1

член

un =

ряду, який досліджується, більше відповідного члена

ln n

1

Vn =

ряду

(*), то даний ряд є розбіжним.

n

Приклади для самостійної роботи.

Користуючись ознакою порівняння, дослідити на збіжність наступні ряди:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

∞1

1.ån=1 n ×4n ;

∞1

2.å ;

n=2 ln n

∞1

3.ån=1 7n +1;

∞1

4.ån=1 3n -1;

∞1

5.ån=1 4n + 2

Відповіді

1.Збіжний

2.Розбіжний

3.Збіжний

4.Розбіжний

5.Розбіжний

Ознака Даламбера

26

	∞	1	æ	2	ön
	6. å		ç		÷	;
		n		5
	n=1		è		ø

7.23 + 53 + 47 + 59 +L

8.2 + 22 + 23 + 24 +L ; 2 3 4

9.12 + 14 + 18 + 161 +L ;

∞1

10.ån=1 (3n -1)2 .

6.Збіжний

7.Розбіжний

8.Розбіжний

9.Збіжний

10.Збіжний

Приклади За допомогою ознаки Даламбера дослідити на збіжність ряди :

	1.	1	+	2	+	3	+ ... +	n	+ ...
		3		3 2		3 3		3 n

Розв`язання:

Дано: un = n , тому un+1 = n +1 3n 3n+1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

27

Знайдемо границю відношення (n+1)-го члена ряду до n-го члена при n → ∞ :

	u	n +1	æ n +1		n ö			(n +1) ×3n		1
lim			= lim ç	:		÷	= lim	n ×3n+1	=
	un									3
n→∞			n→∞è 3n+1		3n ø		n→∞

Так як 13 <1 , то ряд є збіжним

∞n!

2.nå=110n

Розв`язання

= n! = (n +1)! Тут un 10n , un+1 10n+1

Знаходимо

.

u

n+1

æ

(n +1)!

n!

ö

(n +1)!×10n

n +1

lim

= lim ç

:

÷

= lim

= lim

= ¥

10n+1

10n +1 × n!

10

n→∞

un

n→∞è

10n ø

n→∞

n→∞

Так як ρ = ∞ >1, то ряд є розбіжним.

Приклади для самостійної роботи

∞

n

∞

1

1.

nå1

3n! ;

2.

å

;

(2n +1)!

=

n=1

1

3

5

∞

3

3.

+

+

+ ...;

4.

nå=1

n

(

)2

(

)3

3

en

3

3

∞

2n × n2

6.

1

+

1× 3

+

1× 3 × 5

+ ...;

5.

å

;

2

2 × 5

2 × 5 ×8

5n

n 1

=

24 ×1× 2 × 3 × 4

7.

2

+

22 ×1× 2

+

2

3 ×1× 2 × 3

+

+ ...;

2

2 ×

3

2 × 3 × 4

2 × 3 × 4 × 5

∞

n!

∞

2n × n!

8.

å

9. å

n

nn

n=1 n

n=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

28

10.

10

æ10

ö2

× 2

5

æ10

ö3

× 3

5

+ ...

11

+ ç

11

÷

+ ç

11

÷

è

ø

è

ø

Відповіді
1. збіжний	6.	збіжний
2. збіжний	7.	розбіжний
3. збіжний	8.	збіжний
4. збіжний	9.	збіжний
5. збіжний	10. збіжний

Радикальна ознака Коші

Користуючись радикальною ознакою Коші дослідити збіжність рядів

	∞	æ	n	ön
	1. å	ç		÷
			4n + 1
	n=1	è		ø

Розв`язання:

Знаходимо : q = lim n

= lim

æ

n

ön

= lim

n

=

1

<1, тобто

un

n ç

÷

4n +1

4n +1

4

n→∞

n→∞

è

ø

n→∞

даний ряд є збіжним.

1

1

æ 3

ö4

1

æ

4 ö9

1

æ n +1ön2

2.

× 2 +

×ç

÷

+

×ç

÷ +

...+

×ç

÷

+...

2

22

23

2n

n

è 2

ø

è

3 ø

è

ø

Розв`язання:

В даному прикладі маємо:

q =

lim n

1

æ n +1ön2

=

1

æ n +1

ön

=

1

æ

+

1

ön

=

e

> 1 , тобто

ç

÷

lim

ç

÷

lim

ç1

÷

n

n

n

2

n→∞

2n è

ø

n→∞ 2

è

ø

2 n→∞è

ø

даний ряд є розбіжним.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

29

Приклади для самостійної роботи

∞

æ

n

ön

∞

æ 2n +1

n

1. å

ç

÷

6.

ö 2

n=1è 2n + 1ø

å

ç

÷

n=1

è 3n +1

ø

∞

æ 2n -1ön

∞

æ n +1

ön

2.

å

ç

÷

7.

å

ç

÷

n=1

è

n +1 ø

n=1

è 2n -1

ø

∞

æ n

ön2

∞

æ 3n

ön

3.

å

ç

÷

8.

å

ç

÷

+

1

n=1

è n

ø

n=1

è 6n +1

ø

4.

3

+

27

+

243

+ ...

1

æ

2 ö

3

æ 3

ö5

æ

4 ö

7

9.

+ ç

÷

+ ç

÷

+

ç

÷

+ ...

8

64

712

2

5

è

3 ø

è

ø

è

7 ø

5.1 +

2

+

4

+

8

+ ...

10 3 + (2,1)2

+ (2,01)3 + (2,001)4 + ...

22

33

44

Відповіді

1.збіжний

6. збіжний

2.

розбіжний

7. збіжний

3.

збіжний

8. збіжний

4.

розбіжний

9. збіжний

5.

збіжний

10. розбіжний

Інтегральна ознака Коші

Приклади За допомогою інтегральної ознаки Коші дослідити збіжність рядів:

∞n

1.nå=1 n2 + 5

	Розв`язання:
	Тут un =		n	.	Тоді	φ(x)=		x
		n2	+ 5				x2	+ 5

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

30

Знаходимо

∞

∞

x

∞

xdx

lim êé1 ln(x2

+ 5)úù

B

òφ(x)dx = ò

dx = lim

ò

=

=

2

2

1

1

x

+ 5

B→∞

1

x

+

5

B→∞ë2

û

1

=1 lim [ln(B2 + 5)- ln 6]= ¥

2 B→∞

∞

xdx

∞

n

Так як ò

є розбіжним, то розбіжним є і ряд

nå1

;

x2

+ 5

n2

+ 5

1

=

2.

1

+

1

+

1

+ ... +

1

+ ...

2 ln2 2

3ln 2 3

4ln 2 4

(n +1)ln2 (n +1)

Розв`язання:

1

1

В даному ряді

un=

, то

φ(x)=

(n +1)ln 2 (n +1)

(x +1)ln 2 (x +1)

∞

∞

dx

B

(x +1))

Знаходимо òφ(x)dx = ò

= lim

ò

d(ln

=

2

(x +

1)

2

(x +1)

1

1 (x +1)× ln

B→∞

1

ln

1

B

1

1

1

= - lim

= - lim

+

= 0 + ln 2 =

ln 2

ln 2

B→∞ ln(x + 1)

1

B→∞ ln(B +1)

∞

dx

Даний ряд збігається, так як збігається ò

.

(x +1)× ln

2

(x +1)

Приклади для самостійної роботи:

1

∞

1

∞

arctgn

1. å

6.

å

1 + n2

4n

+

1

n 1

n

1

=

=

∞

1

1

2

3

4

n

2.

å

7.

+

+

+

+ ... +

+ ...

(2n +1)2 -1

23

33

43

(n

+

1)3

n=1

53

∞

1

1

1

1

3.

å

8.

+

+

+ ...

n 1

2n2 +1

3

2 -1 52 -1 7

2 -1

=

∞

1

1

1

1

4.

å

9.

+

+

+ ...

n=2 n × ln× n

9 ln 9

19

× ln19

29 ln 29

∞

1

1

4

9

n

2

5. å

10.

+

+

+ ... +

+ ...

n3 +1

4

11

30

n3 +

3

n=1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com