Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Вышмат

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

480.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

0 < x £

;

ïx,

спочатку «по косинусах», а потім «по

f (x) = í

π < x £ π ;

ïπ - x,

синусах».

Розв’язок.

Скористаємось (4.14), (4.15).

1. «по косинусах»:

ç x2

a0 =

f (x)dx =

xdx

(π - x)dx ÷

×ç

(π - x)d(π - x)÷ =

ç 0

π ö

(π -

)

(π - x)

(π -π )

×ç

π ÷

2 ø

(

)

2π

×ç

;

π ç 8

2 ÷ π

éπ

ak =

× ò f (x)cos kx dx =

òx cos kx dx + ò(π - x)cos kx dxú

як

раніше,

застосовуємо

формулу

інтегрування

частинами

πk

× ç2cos

+ (-1)k +1 -1÷ ;

πk

+∞

2cos

+ (-1)k +1 -1

f (x) =

× å

×cos kx .

k =1

2. «по синусах»:

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

			π		é	π	π	ù
		2	π	2	ê	2	π	ú
bk	=		× ò f (x)sin kx dx =		× ê	ò xsin kx dx + ò(π - x)sin kx dxú			=	як і
bk	=	π	× ò f (x)sin kx dx =	π	× ê	ò xsin kx dx + ò(π - x)sin kx dxú			=	як і
		π	0	π	ê	0	π	ú
					ë		2	û

раніше,

застосовуємо

формулу

інтегрування

частинами

×sin

πk

;

πk2

sin πk

+∞

f (x) =

×å

×sin kx .

k =1

Значення

коефіцієнтів

Фур’є і

ряд Фур’є не

зміняться, якщо

[a;a + 2π ]

замінити на [0;2π ], так як для 2π - періодичної функції має

a+2π

2π

місце рівність òϕ(x)dx =

òϕ(x)dx .

Якщо функція f ( x ) задовольняє умовам теореми Діріхлє, то ряд Фур’є матиме вигляд

	a0	+∞
f (x) =		+ å(ak ×cos kx + bk ×sin kx),	(4.18)
	2
		k=1

2π

f (x) ×cos kxdx ,

b =

f (x) ×sin kxdx .

Для функції f (x)

в інтервалі [0;2l] ряд Фур’є матиме вигляд

+∞

πk

f (x) =

+ åçak ×cos

x + bk

×sin

x÷ ,

k=1

(4.19)

(4.20)

a =

× 2l

f (x) ×cos

πk

xdx , b =

f (x) ×sin

πk

xdx .

(4.21)

Приклад 8. Сила струму i

електричному

ланцюгу

характеризується амплітудою

імпульсу

H ,

параметрами

τ ,ω

(рис.

4.3). Представити 2π - періодичну функцію у вигляді ряду Фур’є; T - періодичну функцію у вигляді ряду Фур’є.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Рисунок 4.3

ìH ,

0 £ t <τ ;

f (t) = í

τ £ t < 2π .

î0,

Hτ

1. Згідно із (4.19) маємо: a0 =

Hdt =

;

H × cos ktdt =

cos ktd (kt) =

× (sin kt

) =

×sin kτ ;

πk

× τ

H ×sin ktdt =

× τ

sin ktd(kt) = -

×(cos kt

τ ) = -

×(cos kτ -1)

πk

Розвинення в ряд Фур’є (4.18) має вигляд

Hτ

f (t) =

×åsin kτ ×cos kt + (1- cos kτ ) ×sin kt .

2π

k=1

Визначимо амплітуди і фази простих гармонік.

(sin kτ )2 + (1- cos kτ )2

2 - 2cos kτ

2(1- cos kτ )

πk

×sin

kτ

2 × 2 ×sin2

kτ

πk

sin kτ

πk

æ π

kτ ö

kτ

tg ϕk

= ctg

= tg ç

÷ Þ ϕk =

1- cos kτ

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

kτ

kτ ö

Hτ

sin

×cos çkt -

Тоді f (t) =

× å

2π

k=1

2Hτ

2. T = 2l Þ l =

; згідно із (4.21) маємо: a0

Hdt =

;

	2	τ		2πk
ak =		ò	H cos		tdt =
	T	ò		T

		0

2H ×T

2πk

òcos

td(

t) =

T × 2πk

πk

´ (sin

2πk

) =

×sin

2πk

τ ;

πk

b =

H sin 2πk tdt =

2H ×T

sin 2πk td( 2πk t) = -

× (cos 2πk t

τ ) =

T ò

T × 2πk

πk

2πk

= -

×(cos

τ -1) .

πk

πkτ

= π -

πkτ

A =

×sin

, ϕ

πk

2π

Якщо T =

, то

πkτ

πτ ö

sin

ωt -

Hτ

+ 2H ×

×cos kç

f (t) =

4.3 Задачі для самостійного розв’язання

Розвинути функцію в ряд Фур’є в указаному інтервалі.

f (x) = π - x ,

(0;2π ) .

+∞

Відповідь: 2å

sin nx

n=1

f (x) = x ×sin x , [-π ;π ].

+∞

(-1)

Відповідь: 1- cos x

+ 2 ×å

cos kx

k=2

-1

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

ì1, 0 £ x £ 1;

3. f (x) = í

î0, 1 < x £ π.

+∞

sin k ×cos kx ö

+∞

sin k

π -1

Відповідь:

×çç

÷÷ , å

+∞

k =1

k=1

å (-1)k × sin k

= -

(якщо x = π ).

k=1

+∞

× sin k

Знайти суми

рядів

åsin k ,

å (-1)k

k=1

отриманим розвиненням.

4. f (x) = 1 «по синусах» на (0;l) .

+∞

π (2k -1)

Відповідь:

×åç

×sin

x÷ .

k =1

è 2k -1

(якщо x = 0 );

скориставшись

Спочатку

«по

косинусах»,

потім

«по

синусах»:

ìx,

0 £ x < 1;

f (x) = í

£ x £ 2.

î2 - x,

+∞ cos (2n -1)πx

+∞

sin

2n +1

πx

Відповідь:

×å

×å (-1)

(2n -1)

(2n

+1)

n=1

n=0

6. f (x) =

на інтервалі 0 < x < 2π .

sin x

sin 2x

sin 3x

sin nx

Відповідь:

-... -

-....

f (x) = x −1 на інтервалі −1 < x ≤ 1 .

Відповідь: 1+

2 æ sin πx

sin 2πx

sin 3πx

-...(-1)n−1

sin πnx

+...÷ .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

5.ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ПОЛЯ

5.1 Теоретична частина

Законспектуйте теоретичний матеріал за одним із посилань.

Література: [2]Гл.3. §3.12-3.15, ст.247-266;[10] Розділ 12, 12.5.1 –

12.5.8, с.390-416.

Питання для перевірки засвоєння теорії:

1.Означення скалярного поля.

2.Означення плоского скарярного поля.

3.Означення лінії рівня скалярного поля.

4.Означення похідної за напрямом.

5.Означення градієнта скалярного поля.

6.Властивості градієнта.

7.Означення векторного поля.

8.Означення векторної лінії векторного поля.

9.Означення плоского векторного поля.

10.Означення течії векторного поля.

11.Властивості течії векторного поля.

12.Теорема Остроградського-Гаусса.

13.Означення дивергенції векторного поля.

14.Означення соленоїдального поля.

15.Лінійний інтеграл у векторному полі.

16.Означення циркуляції векторного поля.

17.Означення ротора векторного поля.

18.Теорема Стокса.

19.Означення потенціального векторного поля.

20.Критерій потенціальності векторного поля.

5.2Приклади розв`язків задач

Приклад 1. Знайти похідну функції u = u(x, y, z) за напрямком

вектора		в т.	M1 та		u(M1 ):
	M1M 2			grad
u = x2 z + y2 x + z 2 y,			M1 (2 ,1, − 2), M 2 (3, 4,−1)

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

а) Похідну за напрямом функції u (x,

y, z) знайдемо за формулою:

u(M1 )

¶u

× cosα + ¶u

× cos β + ¶u

× cosγ

¶M1M 2

¶x

¶y

¶z

Знайдемо координати вектора

M1M 2

та його напрямні косинуси:

= (1, 3, 1 ), cosα =

, cos β =

, cosγ

M1M 2

Знайдемо значення частинних похідних функцій u (x, y, z) в т. M1 :

¶u	= 2xz + y2 ,			¶u
						= 2 × 2 × (- 2)+1 = -7;
¶x				¶x		M1

¶u	= 2yx + z2 ,	¶u			= 2 ×1× 2 + 4 = 8;
¶y		¶y		M1

¶u	= x2 + 2zy,	¶u			= 4 + 2 × (- 2)×1 = 0 .

¶z		¶z	M1

Відшукуване значення:

u(M1 )

= (- 7)×

+ 8 ×

+ 0 ×

¶M1M 2

б). За означенням:

¶u

+ ¶u

grad u(M1 )=

i +

¶x

¶y

¶z

u(M1 )= -7i + 8 j

grad

Приклад 2. Знайти дивергенцію та ротор векторного поля

(M )

в точці M 0

= x2i - xyj + xyzk ,

M 0 (1,1,1).

а) За означенням:

div a(M )=

¶P

¶Q

¶R

¶x

¶y

¶z

(x2 )+

(- xy)+

(xyz)= 2x - x + xy = x + xy

¶ x

¶ y

¶ z

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

div a(M 0 )= 2

б)Значення ротора векторного поля a (M ) знайдемо за формулою:

rot a (M )=

¶x

¶y

¶z

rot a (M )=

¶x

¶y

¶z

- xy

xyz

		æ	¶	(xyz)-	¶	ö
=	ç					÷	-

	i ç		¶y		¶z	(- xy)÷
	è					ø

(xyz)-

(- xy)-

= x z i

- j ç

¶ x

¶ z

)÷

+ k ç

¶ x

¶ y

)÷

Відшукуване значення rot a (M 0 )= i - j - k

Приклад 3. Знайти течію векторного поля

зовнішню поверхню тіла, обмеженою поверхнею S формули Остроградського-Гаусса.

a = 2 x i + y j + ( x + z )k ,

S : 2 x + 3y + 3 z = 6, x = 0, y = 0, z = 0.

- y z j - y k

a (M ) через за допомогою

Побудуємо поверхню

x	+	y	+	z	=1, x = 0, y = 0, z = 0 - піраміда ОАВС.
3		2
			2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

За формулою Остроградського-Гаусса:

P= òòò div a dx dy dz

Знайдемо

div a(M )=

¶P

¶Q

¶R

= 2 +1 +1 = 4

¶x

¶y

¶z

Інтеграл òòò dx dy dz

дорівнює об`єму

піраміди ОАВС,

Тому

P= òòò4 dx dy dz =

4òòòdx dy dz =

4 ×

×3× 2 × 2 = 8

Рисунок 5.1

Приклад

4. За допомогою

формули

Стокса

обчислити

циркуляцію

векторного

поля

(M )

по

замкненому

контуру

трикутника, який утворюється внаслідок перетину площини Р з координатними площинами ( нормаль до трикутника спрямована від початку координат).

d (M )= (x + y)i + (e - 2z)j + (2z - x)k

P : x + 2y + 4z = 4

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Побудуємо площину

P :

За

формулою Стокса

обчислимо циркуляцію:

Ц = òò

t a × n 0dS =

= òò

t a × dS

Обчислимо

значення

t a (M )

Рисунок 5.2

t a (M )=

¶x

¶y

¶z

x + y

y - 2z 2z - x

æ ¶

(2z - x)-

- jç

(2z - x)-

+ y)÷

= iç

¶z

(y - 2z)÷

¶z

è ¶y

è ¶x

(y + 2z)-

+ j - k .

+ k ç

¶x

¶y

(x + y)÷ = 2i

Для поверхні

у формулі Стокса візьмемо бокову поверхню

піраміди ОАВС :

S = SOAC + SOAB + SOBC

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.02.201665.17 Кб23ВСТУП.docx
#
07.02.201638.35 Кб10Вступ22.docx
#
07.02.2016820.74 Кб30Выбор личного и группового снаряжения.doc
#
07.02.20161.42 Mб46Высокоскоростная обработка.pdf
#
07.02.2016645.63 Кб22Высшая математика, РГЗ №1.doc
#
07.02.2016480.33 Кб14Вышмат.pdf
#
07.02.20162.6 Mб16Гаджиев2.doc
#
23.11.20197.52 Mб5Гафрокартон стул.doc
#
07.02.2016152.95 Кб7ГДiК_КРзаоч2010.pdf
#
07.02.2016723.32 Кб6ГДiК_ЛР.pdf
#
07.02.2016717.64 Кб5ГДiК_ЛР.unlocked.pdf