Вышмат

71

dS

= dydzi + dxdzj + dxdyk

Знайдемо скалярній добуток

ta ×

ro

dS = 2dydz + dxdz - dxdy . Отже:

Ц = òò2dydz + dxdz - dxdy = 2 òòdydz + òòdxdz - òòdxdy

S

SOBC

SOCA

SOAB

Обчислемо значення подвійних інтегралів:

а)

1

2−2z

1

1

1

1

òò

dydz = òdz

ò

dy = ò(2 - 2z)dz = 2òdz - 2òzdz =2z

10 - z2

= 2 -1 =1

0

SOBC

0

0

0

0

0

б)

1

4−4z

1

1

1

1

òò

dxdz = òdz

ò

dx = ò(4 -

4z)dz = 4òdz -4ò zdz =4z

10 - 2z2

= 4 - 2 = 2

0

SOCA

0

0

0

0

0

в)

4−2 y

2

2

2

2

2

òò

dxdy = òdy

ò

dx = ò(4 -

2y)dy = 4òdy - 2ò ydy =4y

02 - y2

= 8 - 4 = 4

0

SOAB

0

0

0

0

0

Відшукуване значення циркуляції:

Ц = 2 × 1 + 2 - 4 = 0

Приклад 5. Довести, що поле a(M ) є потенціальним та знайти

його потенціал

a = (yz +1)i + xz

+ xy k

j

Необхідною і достатньою умовою потенціальности поля a(M ) є

rot a(M )= 0 :

i

j

k

rota

(M )=

¶

¶

¶

=

¶x

¶y

¶z

yz +1

xz

xy

			æ	¶		¶	ö
	= iç				(xy)-		(xz)÷	-
				¶x		¶z
	è						ø

		æ ¶			¶	ö
	jç			(xy)-		(yz +1)÷	+
			¶x		¶z
	è					ø

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

72

æ

¶

¶

ö

(xz)-

= i (x - x)+ j(y - y)- k (z - z)= 0

ç

÷

+ k ç

¶x

¶y

(yz +1)÷

è

ø

Поле потенціальне. Потенціал поля знайдемо за формулою:

ϕ(x, y, z)= òx P(x, y0 , z0 )dx + òy Q(x, y0 , z0 )dy + òx R(x, y, z)dz

x0 y0 z0

За початкову фіксовану точку візьмемо початок координат O (0, 0, 0). Тоді отримаємо:

x

y

z

ϕ(x, y, z)= ò(0 +1)dx + òO × dy + òxy dz = x

0x + xyz

0z = x + xyz

0

0

0

Таким чином ϕ(x, y, z)= x + xyz + C

Приклад 6 Знайти похідну функції и = и (x, y, z) за напрямом

вектора

в т. M1 та

d и (M 1 ):

M1M 2

qra

а) и = x2 + xy + y3 × z,

M1(1,1,1),

M2 (3, 2, 3);

б) и = 2x + 3y + ez ,

M1 (1,1, 0),

M 2 (3, -1,1).

Відповідь: а) 4,

б)

e - 2

,

2i + 3

+ ek

3i

+ 4 j + k

j

3

Приклад 7. Знайти дивергенцію та ротор векторного поля

a(M ) в точці M 0

а) a = (x3 - y3 )i + 2x2 yz

,

M 0 (0,1, 0);

j

- z3 xk

б) a = xz i

+ (x + z) j + (y - x)k ,

M 0 (1, 0,1).

;

б) 1, 2

+

Відповідь: а) 0,−3k

j

k

Приклад 8 Знайти течію векторного поля

a(M ) через зовнішню

поверхню тіла,

обмеженого

поверхнею S

за

допомогою формули

Остроградського-Гаусса

а) a = 3x i - yj + (x - z)k , S : x - 3y + z = 3, x = 0, y = 0 , z = 0

б) a = (x + 2y)i + yj + 2zk , S : x = 0, x = 2, y = 0, y =1, z = -1, z = 2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

			73
Відповідь: а)	3	;	б) 24.
2
Приклад 9		За допомогою формули Стокса обчислити циркуляцію
векторного поля			a(M ) по замкненому контуру трикутника, який

утворюється внаслідок перетину площини Р з координатними площинами ( нормаль до трикутника спрямована від початку координат)

а) a = 3z i + (x + y)j + (y − z)k , P : 2x + y + 2z = 4 ; б) a = (y + z)i + xj + (y − z)k , P : x + 2y − 2z = 2 .

Відповідь: а) 16 . б) 32

Приклад 10. Довести, що поле a(M ) є потенціальним та знайти його потенціал.

а) a = 2xyz i + x2 zj + x2 yk

б) a = (2xy + z)i + (x2 − 2y)j + xk

Відповідь: а) x2 yz + c ; б) x2 y − y2 + xz + c .

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

74

ЛІТЕРАТУРА

1.Овчинников П.Ф. та ін. Вища математика. Підручник. У 2 ч. Ч. 1: Лінійна і векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до математичного аналізу. Диференціальнетаінтегральнечислення.–К.:Техніка,2003.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения, кратные интегралы,ряды,функциикомплексногопеременного.–М.:Наука,1981.

3.Індивідуальні завдання з вищої математики для студентів технічних спеціальностейденноїформинавчання.2семестр.2частина.–Запоріжжя:ЗНТУ,2004.

4.ПискуновН.С.Дифференциальноеиинтегральноеисчесление.Т2,М.,«Наука», 1985г.,стр.254-267.

5.Ильин В.А., ПозднякЭ.Г. «Основы математическогоанализа». Т1,М., «Наука», 1982г.,стр.410-428.

6.ПакВ.В.,НосенкоЮ.Л.«Вищаматематика»Д.»Сталкер»,1997,ст.333-343.

7.Збірник задач з вищої математики (За редакцією Ф.С.Гудименка) К.1967р.

стор.196-200.

8.ПискуновН.С.Дифференциальноеи интегральноеисчислениет.2,М.«Наука»

1985г.,стр.267-275.

9.Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа т.1, М. «Наука»

1982г.,стр.429-437.

10.ПакВ.В.,НосенкоЮ.Л.“Вищаматематика”Д.“Сталкер”1997р.,ст...343-345.

11.Збірник задач з вищої математики( За редакцією Ф.С.Гудименка) К.1967рік стор.201-202.

12.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчесление. Т2, М., «Наука»,1985г.,стр.275-304.

13.Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа т.1, М. «Наука»

1982г.,стр.440-449.

14.Пак В.В., Носенко Ю.Л. “Вища математика” Д. “Сталкер” 1997 р., стор.350-

362.

15.Збірник задач з вищої математики (За редакцією Ф.С.Гудименка) К.1967 р.

стор.202-208.

16.ВоробьёвН.Н.Теориярядов.-М.:Наука,1970.-204с.

17.ТолстовГ.П.РядыФурье.-М.:Наука,1980.-381с.

18..Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражненияхизадачах.-М.:Высшаяшкола,1986.-В2-хч.(ч.1-303с.;ч.2-415с.)

19..ПискуновН.С.Дифференциальноеиинтегральноеисчисления(длявтузов).-

М.:Физматгиз,1960.-744с.

20.Кручкович Г. И. Сборник задач по курсу высшей математики.

-М.: Высшая школа, 1973. - 576 с.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com