- •Міністерство освіти і науки україни одеський національний політехнічний університет методичні вказівки
- •Невизначений інтеграл і методи його обчислення
- •Первісна і невизначений інтеграл
- •Властивості невизначеного інтеграла
- •Таблиця основних невизначених інтегралів (тоні)
- •3. Найпростіші правила інтегрування
- •4. Інтегрування раціональних функцій
- •Розкладання правильних раціональних функцій на найпростіші
- •Інтеграли, які містять квадратний трьохчлен
- •Інтегрування деяких ірраціональних функцій
- •Інтегрування тригонометричних функцій
- •Різні приклади
Інтегрування деяких ірраціональних функцій
Вид 1. , (6.1)
де — раціональна функція, — цілі числа.
Інтеграли виду (6.1) обчислюються за допомогою підстановки:
, (6.2)
де — найменше загальне кратне чисел Така заміна приведе всі показники степені до цілого виду.
Приклад 56. .
.
Підінтегральний вираз є раціональною функцією від ,тобто . Найменше загальне кратне чисел — це 4, тому доцільною є заміна:
,
яка приведе до зникнення коренів у знаменнику.
Приклад 57. .
В підінтегральному виразі є лише один радікал: , , тому для того, щоб усунути ірраціональність, доцільною є заміна
.
Розкладемо підінтегральну раціональну функцію на суму найпростіших:
.
Приведемо праву частину до спільного знаменника:
.
Тоді
.
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях :
Після розв’язання отриманої системи:
.
Тоді
(6.3)
Для того, щоб отримати шукане значення, треба повернутися зо старої змінної, підставивши в (6.3) .
Вид 2. , (6.4)
де — раціональні числа.
Умови Чебишева. Інтеграл (6.4) може бути виражений через скінченну комбінацію елементарних функцій лише в трьох наступних випадках:
Коли — ціле число;
Коли — ціле число. Тут доцільною є заміна змінної:
,
де — знаменник дробу ;
Коли — ціле число. У цьому випадку проведемо деякі еквівалентні перетворення в підінтегральній функції:
.
Тут доцільною буде заміна змінної:
,
де — знаменник дробу .
Приклад 58. .
Приклад 59. .
Представимо шуканий інтеграл в виді (6.4):
Підінтегральна функція в останньому інтегралі — правильний раціональний дріб. Розкладемо її на суму найпростіших:
.
Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях :
Після розв’язання отриманої системи:
.
Тоді
Інтегрування тригонометричних функцій
Вид 1. , (7.1)
де — цілі числа.
Вид 1.1. Нехай — непарне додатне число, тоді
Вид 1.2. Нехай — непарне додатне число, тоді рішення аналогічне попередньому, лише заміна змінної буде мати вигляд:
.
Приклад 60. .
Приклад 61. .
Вид 1.3. Якщо — парні невід’ємні числа, то підінтегральний вираз в (7.1) перетворюється за допомогою формул:
, (7.2)
які дають можливість зменшити показники степені в підінтегральній функції.
Приклад 62. .
(7.3)
Розглянемо інтеграли, що залишилися:
Підставляючи отримані значення в (7.3), повертаючись до старої змінної , знайдемо шуканий інтеграл.
Перетворення підінтегральної функції в поданому інтегралі можна було провести і інакше, користуючись тими ж формулами (7.2):
Вид 1.4. Якщо — цілі від’ємні числа однакової парності (обидва парні чи обидва непарні), то
(7.4)
Приклад 63. .
Приклад 64. .
В загальному випадку
(7.5)
Вид 2. , , (7.6)
де — ціле додатне число.
Обчислюються інтеграли (7.6) за допомогою формул:
. (7.7)
Приклад 65. .
Приклад 66. .
Вид 3. . (7.8)
Інтеграли (7.8) обчислюються за допомогою наступних тригонометричних тотожностей:
(7.9)
Приклад 67. .
Приклад 68. .
Щоб отримати інтеграл виду (7.8), перетворимо підінтегральну функцію:
.
Тоді
Приклад 69. .
Перетворимо підінтегральну функцію за допомогою формул (7.9):
Тоді
Вид 4. , (7.10)
де — раціональна функція.
Такі інтеграли обчислюються за допомогою заміни змінної, яка називається універсальною тригонометричною підстановкою:
. (7.11)
Оскільки мають місце тригонометричні тотожності
, (7.12)
для заміни (7.11):
(7.13)
З формули (7.11) отримуємо, що
. (7.14)
За допомогою заміни (7.11) інтеграли (7.10) приводяться до інтегралів від раціональних функцій нової змінної .
Приклад 70. .
Підінтегральна функція є раціональною функцією від . Застосуємо універсальну тригонометричну підстановку:
Якщо має місце тотожність
,
то для приведення інтеграла (7.10) к раціональному виду можна використовувати заміну:
. (7.15)
Оскільки, як відомо з тригонометрії,
то при заміні (7.15) отримаємо
.
Приклад 71. .
Підінтегральній функції притаманна властивість:
,
тому
Звернемо увагу на те, що використання універсальної тригонометричної підстановки в цьому прикладі теж можливе. Така заміна теж приведе поданий інтеграл до раціонального виду, але цей вид буде складнішим:
,
що очевидно робе заміну (7.15) приоритетнішою.
Ще більше спрощення обчислення поданого інтегралу отримаємо, якщо штучно поділимо чисельник та знаменник на :
.