8. Різні приклади

Приклад 72. .

Підкореневий вираз в знаменнику підінтегральної функції є квадратичною функцією від , тому можна спробувати заміну змінної:

,

яка приведе до інтегралу, у склад якого входить звичайна квадратична функція.

Приклад 73. .

Зв’язок в підінтегральному виразі степеневої функції з додатним показником і логарифмичної функції зі складним аргументом наштовхує на думку про доцільність використання методу інтегрування за частинами. Як розбити підінтегральний вираз на частки і ? Внесення в дасть можливість в зменшити показник степеня, але в приведе до ускладнень при інтегруванні для відновлення . Але якщо опиниться в , диферепнціювання цієї функції теж тільки значно ускладнить її. Тому спочатку перетворимо шуканий інтеграл, користуючись властивостями логарифмичної функції, а саме:

.

Тепер для кожного інтеграла використовуємо метод інтегруванния за частинами:

Тоді шуканий інтеграл дорівнює:

Приклад 74. .

Підінтегральний вираз є складною функцією. Будь-які перетворення інтегралу завжди мають метою його спрощення з точки зору можливого інтегрування. Як в даному випадку можна спростити функцію?

Значного спрощення, на перший погляд, ми досягнемо при заміні змінної:

. (8.1)

Дійсно, у цьому випадку підінтегральна функція

,

але для реалізації заміни змінної нам ще треба бути виразити через і , а для цього потрібно рівність (8.1) розв’язати відносно . З (8.1):

. (8.2)

З виразу (8.2) стає очевидним складність отримати формулу для через , тому заміна (8.1) є недоцільною.

Інша заміна виду

(8.3)

знову не приведе до спрощення інтегралу, бо виникає аналогічна проблема представлення через для подальшого обчислення через і .

Спробуємо застосувати метод інтегрування за частинами. Як розбити підінтегральний вираз на частки і , щоб це привело до спрощення інтегралу?

Спробуємо спочатку:

Відновимо окремо і :

.

Тоді за формулою інтегрування за частинами для поданого інтеграла маємо:

Розглянемо останній інтеграл. Для його обчислення знову скористуємося інтегруванням за частинами:

(8.4)

Нарешті поданий інтеграл

Спробуємо використати інший способ розбивки підінтегрального виразу поданого інтеграла на частки і . Можливо це приведе до меньших обчислювальних витрат.

Ми знову отримали інтеграл (8.4), але отримали його без зайвих витрат, що дасть можливість обчислити поданий інтеграл скоріше, хоча, на перший погляд, розміщення всій підінтегральній функції в частці могло лише ускладнити обчислення.

З розглянутого приклада зрозуміло, що доцільна розбивка підінтегрального виразу на частки і для спрощення процесу інтегрування не завжди є очевидною. Для складних функцій треба спочатку спробувати представити результати виконуємих операцій в цілому і тільки потім приймати рішення про доцільність тої чи іншої розбивки.

Приклад 75. .

Одночасна присутність в підінтегральному виразі степеневої функції і трансцендентної функції говоре про однозначний вибір методу інтегрування за частинами для обчислення цього інтегралу. При розподілі підінтегрального виразу на частки і очевидно не має сенсу розміщати в із-за складності відновлення функції в такому випадку. Отже:

.

Розглянемо докладно останній інтеграл:

.

Отриманий інтеграл має вигляд (5.5), а тому

. (8.5)

Продиференціюємо отриману рівність з невизначеними коефіцієнтами :

.

Праву частину приводимо до спільного знаменника:

.

Дорівнюємо многочлени чисельників:

.

З рівності многочленів отримуємо рівність коефіцієнтів при однакових степенях :

Розв’язуючи систему лінійних рівнянь, обчислюємо значення

.

З урахуванням отриманих значень інтеграл (8.5)

,

а поданий інтеграл

Приклад 76. .

Для спрощення підінтегрального виразу бажано усунути ірраціональність в знаменнику. На перший погляд це можна зробити за допомогою заміни:

, (8.6)

але при такій заміні ми не зможимо спростити інтеграл в цілому, бо з (8.6) вираз для , який нам потрібен для обчислення , буде мати вигляд:

,

а ,

що приведе тільки до ускладнення підінтегральної функції:

.

Для подальшого обчислення треба представити останній інтеграл у вигляді

і користуватися для нього умовами Чебишева, але якщо представити поданий інтеграл у вигляді:

,

то очевидним стає необхідність користування умовами Чебишева з самого початку:

Розглянемо детально обчислення останнього інтеграла .

.

Дорівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в многочленах чисельників:

Розв’язуючи отриману систему лінійних рівнянь, маємо:

.

Тоді

.

Останній залишившийся інтеграл має вид (5.2). Для його обчислення виділимо у чисельнику похідну знаменника:

Тоді

,

де .

Приклад 77. .

Цей інтеграл можна обчислити різними способами. Розглянемо два з них.

Спосіб 1. Шуканий інтеграл має вигляд (5.11). Тому

.

Останній інтеграл — це інтеграл виду (5.5).

.

Продиференціюємо отриману рівність:

. (8.7)

Дорівнюємо коефіцієнти при однакових степенях в чисельниках:

Після рішення системи лінійних рівнянь отримаємо:

.

Підставимо знайдені коефіцієнти в (8.7):

тоді

(8.8)

Спосіб 2. Перевіримо для поданого інтеграла умови Чебишева.

Приклад 78. .

.

Інтеграл — це інтеграл виду (5.16), де :

.

Тоді:

Приклад 79. .

Цей інтеграл в поданому вигляді не підходить ні під один з розглянутих видів, але якщо б у знаменнику замість множника була лінійна функція, то це був би інтеграл (5.11). Спробуємо привести шуканий інтеграл до виду (5.11). Для цього розкладемо правильний раціональний дріб на суму найпростіших:

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях :

Невідомі коефіцієнти розкладання — це . Тоді

. (8.9)

Враховуючи (8.9),

Кожен з інтегралів тепер має вигляд (5.11).

Тоді поданий інтеграл

Приклад 80. .

Одним із способів обчислення поданого інтеграла є застосування універсальної тригонометричної підстановки:

.

Отримали інтеграл від правильної раціональної функції, але сама підінтегральна функція досить складна, її інтегрування потребує багато часу. Але якщо скористуватися (7.2) для перетворення функції, то процесс інтегрування значно полегшиться:

Приклад 81. .

Показник степеня при в підінтегральному виразі — непарне додатне число, тому поданий інтеграл можна розглядати як інтеграл виду 1.1 з пункту 7.

Приклад 82. .

Перетворимо підінтегральну функцію за допомогою основної тригонометричної тотожності: .

.

Отримали інтеграли виду (7.4):

Останній інтеграл був обчислений окремо у прикладі 63:

Тоді поданий інтеграл:

.

Приклад 83. .

Підінтегральна функція містить в якості множників одночасно степеневу функцію і логарифмичну . Це говорить про доцільність використання методу інтегрування за частинами.

При розбивці підінтегрального виразу на частки і не має сенсу вносити в : це приведе до ускладнень при інтегруванні під час відновлення . Тому:

Приклад 84. .

Приклад 85. .

Відносно знаменник підінтегрального виразу є квадратичною функцією, тому можна спробувати заміну змінної:

.

.

Поданий інтеграл звівся до інтегралу від раціональної функції.

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях в многочленах чисельників:

Як рішення системи лінійних рівнянь отримаємо:

.

Тоді

Приклад 86. .

Позбавимося ірраціональності в підінтегральній функції:

Приклад 87. .

Скористуємося методом інтегрування за частинами:

.

Отримали інтеграл від правильної раціональної функції. Для його обчислення розкладемо функцію на суму найпростіших:

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях в многочленах чисельників:

звідки отримуємо: . Тоді:

Приклад 88. .

.

Після застосування формули інтегрування за частинами отримали інтеграл виду (5.5):

.

Продиференціюємо отриману рівність:

.

Приведемо праву частину до спільного знаменника:

.

Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях в многочленах чисельників:

Після рішення системи отримуємо: .

Тоді

,

а шуканий інтеграл

.

Приклад 89. .

.

Отримали інтеграл, який відповідає формулі (3.18), тобто

.

Тоді

.

Приклад 90. .

Останній з отриманих інтегралів — це інтеграл виду (5.14),тому

.

Тоді шуканий інтеграл:

ЛІТЕРАТУРА

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1 / Г.М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1969. — 608 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2 / Г.М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1969. — 800 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3 / Г.М. Фихтенгольц. — М.: Наука, 1966. — 656 с.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.1 / Л.Д.Кудрявцев. — М.: Высшая школа, 1988. — 521 с.

5. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.2 / Л.Д.Кудрявцев. — М.: Высшая школа, 1988. — 627 с.

6. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т.3 / Л.Д.Кудрявцев. — М.: Высшая школа, 1988. — 565 с.

7. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.1 / С.М.Никольский. — М.:Наука, 1990. — 528 c.

8. Никольский С.М. Курс математического анализа. Т.2 / С.М.Никольский. — М.:Наука, 1991. — 544 c.

120