5.2. Визначення значень параметрів при заданич умовах методом параболічної інтерполяції

Для визначення коефіцієнтів багаточлена (5.1) необхідно мати n+1 вузлову точку. Аналітичне визначення коефіцієнтів інтерполяційного багаточлена для n+1 точки зводиться до рішення системи лінійних рівнянь n+1 порядку, кожне з яких являє собою вираз (5.1), записаний для визначеної вузлової точки

yi= a0+ a1 · xi+ a2 · xi^2+ ... + an · xi^n,

(5.2)

де i = 1, 2,. . . n+1.

Визначимо значення параметру при притемпературі 25C. Для цього будуємо поліном першого ступеня. При цьомувведемо зміннуz =  ^. 10³ для спрщення розрахунків

z=a₀+a₁ ·Т

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатами Т=0,z =10,2 таT=40,z =2,3

Система має вид:

Для знаходження цих коефіцієнтів використуємо прикладну програму gz.exe. Спочатку вводимо кількість рівняньn; потім вводимо коефіцієнти при=1,,a_n-1 і значення параметру z для для кожної вузлової точки(в подальших розрахунках коефіцієнтів систем будем користуватися цим алгоритмом вводу). Програма визначає значення коефіцієнтів.

Поліном має вигляд:

z=10,2-0,1975·Т=5.2625

Розрахункове значення:

= 5,2625·10³Па ·с

Тепер будуємо поліном другої степені

z=a₀+a₁ ·Т +a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, аналогічно вводимо всі необхідні значення системи відповідно до алгоритму вводу, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=0,z=10,2 ;T=40,z=2,3;T=20,z=4.4

Система має вигляд:

Аналогічно, за допомогою gz.exeвизначаються коефіцієнти цієї системи, які дорівнюють:

Поліном має вигляд:

z=10,2-0,3825 ·Т+0,004625 ·Т²=3,5281

Розрахункове значення:

=3,5281·10³Па ·с

Оцінюємо похибку:

·100% = 100%= 49,1596%

Похибка більше 5%, отже потрібно складати поліном третьої степені.

z=a₀+a₁ ·Т+a₂ ·Т²+a₃ ·Т³

Система має вигляд:

Ось результат розрахунків за допомогою програмиgz.exe:

Поліном має вигляд:

z=10,2-0,4225 ·Т+0,007625 ·Т²-0,00005 ·Т³=3,621875

Розрахункове значення:

=3,621875·10³Па ·с

Оцінюємо похибку:

·100% = 100%= 2,6579%

Похибка менше 5%, тому нас задовольняєполіном другої степені.

Аналогічно, визначимо значення параметру при температурі 25C. Для цього будуємо поліном першої степені:

=a₀+a₁ ·Т;

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатамиT=0,=1037 таT=40,=1007

Система має вигляд:

Ось результат розрахунків за допомогою програмиgz.exe.

a₀ =1037; a₁ =-0,75 .

Поліном має вигляд:

= 1037- 0,75 ·Т

Розрахункове значення:

=1018,25кг /м³

Тепер будуємо поліном другої степені:

= a₀ + a₁ ·Т + a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, розв’яжемо систему рівнянь, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=0,=1037;T=40,=1007;T=20,=1023

Вони рівні: a₀ = 1037; a₁ = -0,65; a₂ =-0,0025;

Поліном має вигляд:

= 1037 -0,65 ·Т -0,0025 ·Т²

Розрахункове значення:

= 1019,188 кг/м³

Оцінюємо похибку:

= 100% = 0,8%

Так як похибка менше 5%, то для розрахунків ми маємо право використовувати поліном другої степені.

Знаходимо значення параметру c_p при температурі 25C.

c_p =a₀+a₁ ·Т

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатамиT=0,c_p =2,0302 таT=40,c_p =2,1181

Система має вид:

Вони рівні: a₀=2,0302 ;a₁=0,002178.

Поліном має вигляд:

c_p =2,0302 + 0,002178 · Т

Розрахункове значення:

c_p =2,08515кДж/(кг)

Будуємо поліном другої степені:

c_p =a₀+a₁ ·Т +a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, розв’яжемо систему рівнянь, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=0,c_p=2.0302;T=40,c_p=2.1181;T=20,c_p =2.0721

Складаємо систему рівнянь:

a₀ = 2,0302; a₁ = 0,00199; a₂ =5,13 10^-6;

Поліном має вигляд:

c_p = 2,0302 + 0,00199 · Т + 5,13 · Т²

Розрахункове значення:

c_p = 2,0832 кДж/(кг)

Оцінюємо похибку:

=100% = 0,09352%

Очевидно, що похибка менше 5%, тому далі для визначення значень параметраc_pможна використовувати поліномдругої степені.

Визначаємо значення параметру при температурі 85C:

z = a₀ + a₁ ·Т;

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатамиT=80,z=1,1 таT=100,z=0,8

Система має вид:

a₀ = 2,3; a₁ = -0,015.

Поліном має вигляд:

z = 2,3 - 0,015 ·Т=1,025

Розрахункове значення:

= 1,025·10³Па ·с

Тепер будуємо поліном другої степені

z=a₀+a₁ ·Т +a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, розв’яжемо систему рівнянь, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=60,z=1.5 ;T=80,z=1.1;T=100,z=0.8

Аналогічно, за допомогою gz.exeвизначаються коефіцієнти цієї системи:

вони рівні:

Поліном має вигляд:

z=3,2999-0,0375 ·Т0,000125 ·Т²=1,01553

Розрахункове значення:

=1,01553·10³Па ·с

Оцінюємо похибку:

·100% = 100%= 0,9325%

Похибка менше 5% тому нас задовольняєполіном першого ступеня.

Визначаємо значення параметру при температурі 85C:

 = a₀ + a₁ ·Т;

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатамиT=80,=972 таT=100,=952

Система має вигляд:

a₀ = 1052; a₁ = -1,0.

Поліном має вигляд:

 =1052 – Т

Розрахункове значення:

 = 967 кг/м³

Тепер будуємо поліном другої степені:

= a₀ + a₁ ·Т + a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, розв’яжемо систему рівнянь, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=60,=990;T=80,=972;T=100,=952

Система має вид:

Вони рівні: a₀ = 1032; a₁ = -0,55; a₂ =-0,0025;

Поліном має вид:

= 1032 -0,55₁ ·Т -0,0025 ·Т²

Розрахункове значення:

= 967,1875 кг/м³

Оцінюємо похибку:

= = 0,01938%

Так як похибка менше 5%,то для розрахунків ми маємо право використовувати поліном другої степені.

Визначаємо значення параметру c_pпри температурі 85C:

c_p = a₀ + a₁ · Т

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатамиT=80,c_p=2,227 таT=100,c_p=2,3232:

a₀ = 1,8422; a₁ = 0,0048.

Поліном має вигляд:

c_p = 1,8422 + 0,0048 · Т

Розрахункове значення:

c_p = 2,25105 кДж/(кг)

Будуємо поліном другої степені:

c_p =a₀+a₁ ·Т +a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, розв’яжемо систему рівнянь, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=60,c_p=2.1683;T=80,c_p=2.227;T=100,c_p =2.3232

Система має вигляд:

a₀ = 2,2172; a₁ = -0,003627; a₂ =0,00005;

Поліном має вигляд:

c_p = 2,2172 -0,003627 ·Т +0,00005 · Т²

Розрахункове значення:

c_p = 2,2702кДж/(кг)

Оцінюємо похибку:

=100% = 0,85%

Очевидно, що похибка менше 5%, тому далі для визначення значень параметраc_pможна використовуватиполіном другої степені.

Тепер визначимо значення параметру при температурі 150C. Це значення виходить за значення відомих вузлових точок, тому знаходження значення буде називатися екстрапаляцією.

z=a₀+a₁ ·Т

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатамиT=120,z=0,59 таT=140,z=0,34

Система має вигляд:

a₀ =2,0899 ; a₁ =-0,0125

Поліном має вигляд:

z=2,0899- 0,0125 ·Т=0,2149

Розрахункове значення:

= 0,2149·10³Па ·с

Тепер будуємо поліном другої степені

z=a₀+a₁ ·Т +a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, розв’яжемо систему рівнянь, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=100,z=0.8 ;T=120,z=0.59;T=140,z=0.34

Система має вигляд:

За допомогоюgz.exeвизначаються коефіцієнти цієї системи, що дорівнюють:

Поліном має вигляд:

z=1,25+0,0005 ·Т-0,00005 ·Т²=0,2

Розрахункове значення:

= 0,2·10³Па ·с

Оцінюємо похибку:

·100% = 100%= 7,45%

Похибка більше 5% тому треба складати поліном третьої степені.

z=a₀+a₁ ·Т+a₂ ·Т²+ a₃·Т³

Система рівнянь матиме вигляд:

За допомогоюgz.exeвизначаються коефіцієнти цієї системи, що дорівнюють:

Поліном має вид:

z = 5,8 -0,1154· Т + 0,000925 · Т²-0,00000271·Т³=0,15625

Розрахункове значення:

= 0,15625·10³ Па · с

·100% = 100%= 28%

Так як поліном другої степені дає меншу похибку, ніж поліноми третьої та третьої.А при збільшенні степені поліному похибка також збільшується.Тому раціонально використовувати поліном другої степені.

Знаходимо значення параметру при температурі 150C.

 = a₀+a₁ ·Т ;

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатамиT=120,=933 таT=140,=914

Система має вид:

a₀ =1047 ; a₁ =-0,9499 .

Поліном має вигляд:

 = 1047 -0,9499 · Т

Розрахункове значення:

 = 904,515 = кг/м³

Тепер будуємо поліном другого ступеня:

= a₀ + a₁ ·Т + a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, розв’яжемо систему рівнянь, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=100,=952;T=120,=933;T=140,=914

Система має вид:

Вони рівні: a₀ = 1047; a₁ = -0,9499; a₂ =0;

Поліном має вигляд:

= 1047 - 0,9499 ·Т

Розрахункове значення:

= 904,515 кг/м³

Оцінюємо похибку:

= 100%= 0%

З розрахунків видно, що поліноми другої та третьої степені дають однакові результати, Але все-таки доцільніше використовувати поліном другої степені.

Аналогічно попереднім розрахункам знаходимо значення параметру c_pпри температурі 150C:

c_p =a₀+a₁ ·Т

Щоб визначити коефіцієнти a₀,a₁, вирішуємо систему рівнянь, що складається з поліномів першої степені двох найближчих вузлових точок з координатамиT=120,c_p=2,5116 таT=140,c_p=2,7837

Система має вигляд:

a₀=0,879;a₁=0,0136 .

Поліном має вигляд:

c_p = 0,879 + 0,0136 ·Т

Розрахункове значення:

c_p = 2,919 кДж/(кг)

Будуємо поліном другої степені:

c_p =a₀+a₁ ·Т +a₂ ·Т²

Щоб визначити кофіцієнти a₀,a₁,a₂, розв’яжемо систему рівнянь, що представляють собою поліноми другої степені найближчих трьох вузлових точок з координатами Т=100,c_p=2.0302;T=120,c_p=2.0721;T=140,c_p =2.1181

Система має вид:

a₀= 2,6367;a₁= -0,01359;a₂= 0,0001046;

Поліном має вигляд:

c_p = 2,6367 -0,01359 · Т + 0,0001046 · Т²

Розрахункове значення:

c_p = 2,9517 кДж/(кг)

Оцінюємо похибку:

=100% = 1,12%

Так як похибка менше 5%,то для розрахунків ми маємо право використовувати поліном першої степені.