osnovi_gidravliki

ния слоев dW и площади поверхности их соприкосновения S.

S

слой B

WB=WA+dW

dh

WA

Fтр

слой A

dW

h

Рис. 1. Схема возникновения сил внутреннего трения при движении жидкости.

В 1883 г. наш соотечественник, профессор Н.П. Петров, занимаясь вопросами трения при смазке, сформулировал закон трения в жид-

костях и предложил формулу (формула Ньютона-Петрова):
F	= ±μ S dW ,		(6)
тр		dh
где Fтр – полная сила трения, Н; dW
		- градиент скорости, 1/с, имею-
	dh

щий знак «+» или «-», в зависимости от характера изменения скорости по сечению потока; dW – разность скоростей движения соприкасающихся слоев, м/с; dh – расстояние между осями соседних слоев (элементарное изменение расстояния по нормали к движению слоев), м; S

– площадь поверхности соприкосновения слоев, м2; μ - коэффициент

внутреннего трения, или коэффициент динамической вязкости, Па с.

Разделим правую и левую части уравнения (6) на S. Отношение

Fтр S есть не что иное, как касательное напряжение τ , т.е.
τ = ±μ dW	, Па.	(7)
dh

Таким образом, можно сказать, что вязкость жидкости - это ее способность оказывать сопротивление касательным напряжениям.

Соответственно, коэффициент динамической вязкости представляет собой отношение касательного напряжения к градиенту скорости:

	μ =	τ	, Па·с.
		dW / dh
	В гидравлических расчетах также используется коэффициент

кинематической вязкости – отношение коэффициента динамической

11

вязкости к плотности жидкости:

ν = μρ , м2/с.

Из выражения (6) следует, что в покоящейся жидкости силы внутреннего трения отсутствуют, и силы вязкости равны нулю.

Вязкость жидкости изменяется при изменении температуры и давления. Значения коэффициентов вязкости μ и ν для некоторых

капельных и газообразных жидкостей приведены в табл. 5-7.

Таблица 5

Зависимость плотности ρ, динамической μ и кинематической ν вязкости воды от температуры t (при атмосферном давлении)

t, оС	ρ, кг/м3	μ·103, Па·с		ν·104, м2/с
0	999,9	1,79		0,0179
4	1000	1,57		0,0152
20	998	1,01		0,0101
40	992	0,65		0,0066
60	983	0,48		0,0048
80	972	0,36		0,0037
90	965	0,31		0,0033
99	959	0,27		0,0028

Таблица 6

Динамическая μ и кинематическая ν вязкость некоторых капельных жидкостей при атмосферном давлении

			Жидкость	μ, Па·с	ν·104, м2/с
	Вода пресная (t = 20 0C)			0,00101	0,01012
	Глицерин безводный (t = 20 0C)			0,512	4,1
	Керосин (t = 15 0C)			0,0016-0,0025	0,02-0,03
	Бензин (t = 15 0C)			0,0006-0,00065	0,0083-0,0093
	Масло		касторовое	0,972	10,02
	(t = 20 0C)		минеральное	0,0275-1,29	0,313-14,5
	Нефть (t = 15 0C; d = 0,86)			0,007-0,008	0,081-0,093
	Ртуть (t = 20 0C)			0,0015	0,00111
	Спиртэтиловыйбезводный(t = 20 0C)			0,00119	0,0151
			12

Таблица 7

Зависимость кинематической вязкости ν·104, м2/с, некоторых газообразных жидкостей от температуры t

Газ	t, оС	0	20	50	100
				0,178
Воздух		0,133	0,151		0,232
Метан		0,145	0,165	0,197	0,256
Этилен		0,075	0,086	0,104	0,138

Для измерения вязкости жидкости используются специальные приборы – вискозиметры.

Закон Ньютона (7) справедлив для большинства реальных жидкостей с небольшой молекулярной массой, вязкость которых μ явля-

ется функцией температуры и давления и не зависит от скорости сдвига dW dh .

Кроме обычных (ньютоновских) жидкостей существуют аномальные (неньютоновские) жидкости – бингамовские, псевдопластические, дилатантные, тиксотропные, реопектические, вязкоупругие и другие, для которых закон внутреннего трения выражается иначе. Например, 42%-ная смесь воды и гипса после встряхивания (разрушения структуры) затвердевает по истечении 40 мин, а при медленном перекатывании, способствующем образованию структуры, – по истечении 20 с.

Для бингамовских жидкостей, к которым относятся, например, густые шламы, масляные краски, смазочные масла справедлива зависимость:

τ =τ0 ± μ dWdh , Па,

где τ0 – касательное напряжение в покоящейся жидкости, после пре-

одоления которого жидкость приходит в движение, Па.

Понятие вязкости сильно усложняет любую жидкостную модель, поэтому для упрощения ввели понятие идеальной жидкости.

Идеальной жидкостью называют такую условную жидкость, которая совершенно не сжимается и не расширяется, и в которой отсутствуют силы внутреннего трения (т.е. коэффициент вязкости равен нулю).

Все модели, созданные с использованием понятия идеальной жидкости, далеки от реальности. Они могут лишь отразить характер

13

зависимости изменения состояния системы от действующих на нее факторов. Поэтому в гидравлике очень велико значение эксперимента, способного подтвердить или опровергнуть результаты теоретических исследований.

1.6 Поверхностное натяжение – это энергия, необходимая для увеличения поверхности жидкости на 1 м2.

Молекулы жидкости, расположенные у поверхности контакта с другой жидкостью, газом или твердым телом, находятся в условиях, отличных от условий молекул, находящихся внутри жидкости. Внутри объема молекулы со всех сторон окружены такими же молекулами, а вблизи поверхности - только с одной стороны. Соответственно молекулы жидкости внутри ее объема испытывают примерно одинаковое воздействие соседних молекул, в то время как молекулы, находящиеся у поверхности раздела фаз, притягиваются молекулами внутренних слоев жидкости сильнее, чем молекулами другой среды. Поэтому энергия поверхностных молекул отличается от энергии молекул, находящихся в объеме жидкости, на некоторую величину, называемую поверхностной энергией:

Eп =σ S , Дж,

(8)

где S - площадь поверхности раздела фаз, м2; σ - коэффициент пропорциональности, Дж/м2.

В результате на поверхности жидкости возникает давление, направленное внутрь жидкости по нормали к ее поверхности и стремящееся уменьшить эту поверхность до минимума.

Коэффициент пропорциональности σ представляет собой энергию (работу), необходимую для увеличения поверхности жидкости, и называется поверхностным (межфазным) натяжением:

σ = ESп , Н/м.

Например, под действием поверхностного натяжения пузырьки газа в жидкости, и капли, взвешенные в газе или в другой жидкости, принимают форму, близкую к шарообразной, т.е. форму с минимальной поверхностью.

Значение поверхностного натяжения зависит от природы жидкости и температуры, – с ростом температуры поверхностное натяжение уменьшается, а в критической точке перехода жидкости в пар становится равным нулю. При 20 оС для границы воды и воздуха σ = 0,073 Н/м, для границы раздела ртуть-воздух σ = 0,48 Н/м.

14

На поверхности, разделяющей три фазы (рис. 2), например твердую 1, жидкую 2 и газообразную 3, между поверхностью жидкости и твердой стенкой образуется краевой угол θ , величина которого зависит от поверхностных натяжений на границах фаз и не зависит ни от формы сосуда, ни от действия силы тяжести. Если край жидкости приподнят, ее поверхность имеет вогнутую форму (рис. 2, а), и краевой угол острый (θ < 90о). В этом случае жидкость смачивает твердую поверхность. С увеличением значения краевого угла θ смачивающая способность жидкости ухудшается, и при θ > 90о жидкость считается несмачивающей (рис. 2, б). При полном несмачивании (θ = 180о) жидкость стремится уменьшить площадь контакта с твердой поверхностью и находится на ней в виде нерастекающихся капель.

	а)		б)
3	θ 2	3	θ
			2
	1		1

Рис. 2. К определению краевого угла θ : 1 – твердая фаза; 2 – жидкость; 3 –

газ.

От явления смачивания зависит поведение жидкости в тонких трубках (капиллярах), погруженных в жидкость. При смачивании жидкость в трубке поднимается над уровнем свободной поверхности, при несмачивании опускается. Высота капиллярного поднятия (опускания) жидкости находится по формуле

	hк =	4 σ	cosθ , м,	(9)
		ρ g d

где d - диаметр капилляра, м; g - ускорение свободного падения, м/с2. Угол θ между водой и чистой стеклянной поверхностью прак-

тически равен нулю, и в этом случае

	hк =	4 σ	, м.	(9, а)
		ρ g d

Влияние сил поверхностного натяжения необходимо учитывать при работе с жидкостными приборами для измерения давления, при истечении жидкости из отверстий малого диаметра, при контактировании жидкостных и паровых потоков, при фильтрации, образовании

15

капель и в других случаях, когда прочие силы, действующие на жидкость (сила тяжести, давление), малы.

Пример 1.1 В системе водяного отопления объемом 0,7 м3, работающей при давлении 9,8 МПа и температуре воды от 90 до 110 оС, установлен расширительный бак (рис. 3) для аккумулирования увеличения объема жидкости при повышении ее температуры. Определить наименьший объем расширительного бака с условием его полного опорожнения при падении температуры.

Рис. 3. К примеру 1.1.

Решение. По табл. 4 определяем коэффициент температурного расширения воды при средней температуре воды (100 оС) и давлении

9,8 МПа: βt =0,000714 оС-1. Наименьший объем расширительного ба-

ка должен быть равен увеличению объема воды V при увеличении ее температуры от минимальной (90 оС) до максимальной (110 оС). Тогда, используя формулу (5) получим:

V = βt V0 t = 0,000714 0,7 (110 −90) = 0,009996 м3 ≈10 л.

Пример 1.2 Определить высоту капиллярного поднятия воды (σв = 0,073 Н/м) и ртути (σр = 0,48 Н/м) в стеклянных трубках диа-

метром 1 мм при температуре 20 оС.

Решение. По табл. 1 определяем коэффициент плотность воды и ртути при температуре 20 оС: ρв = 1000 кг/м3, ρр = 13600 кг/м3.

По формуле (9, а) определим:

h

=

4 σв

=

4 0,073

= 0,03 м = 30 мм;

ρв g d

1000 9,8 0,001

кв

h

=

4 σр

=

4 0,48

= 0,013 м =13 мм.

ρр g d

13600 9,8 0,001

кр

16

Задание 1.1 В нагревательном баке объемом V находится вода при температуре t1 и атмосферном давлении. Как изменится объем воды, если ее нагреть до температуры t2? Исходные данные приведены в табл. 8.

Таблица 8

Исходные данные к выполнению задания 1.1

Номер	V, м3	t1, оС	t2, оС
варианта
n	10·n	n + 10	n + 60

Задание 1.2 Емкость, полностью заполненная бензином, нагрелась на солнце от температуры t1 до температуры t2. Насколько повысилось бы давление в емкости, если бы она была абсолютно жесткой? Исходные данные приведены в табл. 9.

Таблица 9

Исходные данные к выполнению задания 1.2

Номер	Е, МПа	βt ,	о	С	-1	t1,	о	С	t2,	о	С
варианта
n	n + 1300	0,0008 - n 10−6				n			n + 20

17

2 Гидростатика

Гидростатика - раздел гидравлики, в котором изучаются законы равновесия покоящейся жидкости.

Жидкость в неподвижном сосуде находится в абсолютном покое (относительно земной поверхности).

В состоянии относительного покоя движущейся жидкости форма объема жидкости не изменяется, и она, подобно твердому телу, перемещается как единое целое. При этом частицы жидкости не перемещаются друг относительно друга и силы внутреннего трения отсутствуют, что позволяет считать жидкость идеальной. Жидкость находится в относительном покое, например, внутри движущейся цистерны, или внутри вращающегося с постоянной скоростью барабана.

Независимо от вида покоя на жидкость действуют силы тяжести и давления. В случае относительного покоя необходимо учитывать также силу инерции переносного (вместе с сосудом) движения жидкости.

2.1 Гидростатическое давление и его свойства

Внешние силы, действующие на жидкость, делятся на две категории:

1Массовые (объемные) – это силы, пропорциональные массе (объему) жидкости, – силы тяжести и силы инерции.

2Поверхностные силы, действующие на поверхность, ограничивающую исследуемый объем жидкости. К ним относятся, к примеру, силы давления поршня на жидкость, находящуюся в цилиндре насоса.

Под действием внешних сил в каждой точке жидкости возникает напряжение. Сжимающее напряжение, возникающее внутри покоя-

щейся жидкости, называется гидростатическим давлением.

Различают среднее гидростатическое давление (рис. 4, а):

pср = FS , Па,

и гидростатическое давление в точке (рис. 4, б):

p = lim dF , Па,

dS →0 dS

где F – равнодействующая сил, действующих на поверхность, Н; S – площадь поверхности, на которую действует равнодействующая F,

м2; dF – элементарная сила, Н; dS – площадь элементарной поверхности, м2.

18

а)	F	б)
			dFа)
	S
			dS

Рис. 4. Гидростатическое давление: а - среднее; б - гидростатическое давление в точке.

Свойства гидростатического давления:

1Гидростатическое давление всегда направлено по внутренней нормали к той площадке, на которую оно действует.

2Гидростатическое давление в любой точке жидкости по всем направлениям одинаково, т.е. не зависит от угла наклона площадки, на которую оно действует.

Единицей измерения давления в Международной системе еди-

ниц измерения СИ является Паскаль (Па): 1 Па = 1 Н/м2.

Одна техническая атмосфера (1 ат) равна 98066 Па и соответ-

ствует давлению ртутного столба высотой 735 мм, или давлению водяного столба высотой 10 м, или одному килограмму силы, приходящемуся на один квадратный сантиметр:

1 ат = 98066 Па = 735,6 мм рт. ст. = 10 м вод. ст. = 1 кгс/см2.

Внесистемные единицы измерения давления:

–физическая атмосфера (атм), 1 атм = 101325 Па = 760 мм рт. ст.;

–бар, 1 бар = 105 Па = 750 мм рт. ст.

Необходимо отметить, что параметром состояния жидкости является абсолютное давление p , т.е. полное давление, которое скла-

дывается из давления жидкости, и внешнего давления, воздействующего на данную жидкость.

Приборы для измерения давления:

1Барометры, использующиеся для измерения атмосферного

давления.

2Манометры, применяющиеся для измерения избыточного

19

(манометрического) давления pи и показывающие, насколько абсолютноедавлениежидкости p превышаетатмосферноедавление pат, т.е.

pи = p − pат; p = pи + pат.

3 Вакуумметры, применяющиеся для измерения вакуума (разрежения) pв и показывающие, насколько абсолютное давление

жидкости p меньше атмосферного давления pат, т.е. pв = pат − p ;

p= pат − pв.

2.2Дифференциальные уравнения равновесия жидкости (уравнения Эйлера)

Соотношение между силами, действующими на покоящуюся жидкость, определяющее условия равновесия жидкости, выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

В объеме жидкости, находящейся в покое, выделим элементарный параллелепипед объемом dV с ребрами dx, dy и dz, расположенными параллельно осям координат x, y и z (рис. 5).

p +

∂p

dz

z

∂z

p +

∂p

dy

∂y

dz

p +

∂p

dx

p

∂x

dx

dy

p g·dm p

x

y

Рис. 5. К выводу уравнений равновесия жидкости.

20