17. Произв. Сложной и обр. Ф-ции.

Производная сложной ф.:Если и-дифференцируемые ф. своих аргументов, то производная сложной ф.сущ. и равна произведению производной этой ф-ции по промежуточному аргументу на производную промежуточного по независимой переменной, т.е.

, .

Производная обратной ф.:Если y=f(x) и взимно-обратые дифференцируемые ф-ции и,тоДействительно,т.к.,то

18. Дифф. Функции одной переменной, его геометр. Смысл. Применения дифф. В приближённых вычислениях.

Функция одной или многих переменных F дифференцируема в точке P тогда и только тогда, когда существует «дифференциал в точке p»: линейное отображение A такое, что

Непрерывная функция y = f(x) имеет в точке x0 конечную произв. f '(x0) тогда и только тогда, когда ее график в точке (x0, f(x0) имеет касательную с угловым коэфф.

tg α = f '(x0) ( − π/2 < α < π/2).

Прибл.вычисления Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy»f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx. Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

19 Экстремум функции. Необходимое усл.

Экстремум — макс. или миним. значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достиг. экстремум, назыв. точкой экстремума. Если достигается минимум — точка экстр. называется точкой миним., а если максимум — точкой максимума.

Необходимый признак экстремума: ф-ия f(x) может иметь max и min только в тех точках, в которых f`(x)=0 или не существует.

Для того чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее произ-ная в этой точке = 0 или не сущ-ла, т.е. чтобы точка х₀ была критической.

Достаточный признак: точка х₀ является точкой экстремума, если ее производная в этой точке меняет знак:

- если с “+” на “-”, то х₀- т. max

- если с “-” на “+”, то х₀- т. min

20. Исследование функции.

Линия назыв. выпуклой, если она пересек. с любой своей секущей не более чем в 2х точ.

Линия наз-ся вогнутой, если она целиком лежит по 1 сторону от касательной, проведенной в любой ее точке.

Необходимый признак выпук. и вогнутости: если линия на интер. выпук., то ее f``(x)<=0; если линия на интер. вогн., то ее f``(x)>=0

Достаточный признак: если f``(x) всюду в интервале “-”, то линия в интервале выпуклая; если f``(x)>0, то линия вогнутая

Точка перегиба - точка, отделяющая выпуклый участок дуги от вогнутого.

Асимптота - прямая, к которой график ф-ции стремится, но никогда ее не пересекает.

Схема исслед. функции. Найти: - обл. определения ф-ции

-точки разрыва и интер, где ф-ция явл. непр.

-поведение ф-ции в окрестностях точки разрыва, вертикальной асимптоты

-т. пересечения графика с осями координат

-симметрия графика (чет./нечет)

-периодичность; -интервалы монотонности

-точки экстремума; -наибольшее и наим. значение -выпуклость, вогнутость

-точки перегиба

-поведение ф-ции в бесконечности, наклонная и горизонтальные асимптоты

-нанесение на график.