28. Среднее значение ф-и на отрезке. Теорема о среднем значении ф-и.

Средн. знач-е ф-и на отр-ке от а до b наз. число: С=;

Теорема: Ср. знач-е ф-и на отрезке находится между миним. и макс-м значением ф-и. Т.е. m≤C≤M.

Док-во: когда ф-я положителна

m≤C≤M

30. Экстремум ф-и нескольких переменных. Необходимое усл-е эктремума.

Глоб. максимум(наиб. значение ф-и в некот. обл-ти)-то ее знач-е, кот. больше любого др. знач-я в этой же обл-ти.

Глоб. минимум(наим. знач. ф-и в некот. обл-ти)-такое знач-е, кот-е меньше люб. др. знач-я в этой же обл-ти.

У глоб. макс. и мин-ов есть общ-е название-экстремумы ф-и.

Необх. усл-е: ф-я многих переменных может иметь экстремум только в точках, в кот. все её частные произв-ые=0. Такие точки назыв. критическими.

29. Ф-и нескольких переменных.

Ф-я 2х переменных – правило, кот. одному элементу из множества x и y элемент множества z.

Для ф-и неск. переменных областью определения каждого из аргументов наз. множество всех значений аргументов, для кот. имеет смысл заданная ф-я.

1)Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых переменных из области W ставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x,y).

z=f(x,y)

2)Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность.

3)Частное и полное приращение функции.

Полное приращение функции

Dz=f(x+Dx, y+Dy)-f(x,y)

Частное приращение функции

Dx z=f(x+Dx)-f(x,y)

Dy z=f(x,y+Dy)-f(x,y)

Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений. Пример. z=xy.

Dx z=(x+Dx)y-xy=yDx

Dy z=x(y+Dy)-xy=xDy

Dz=(x+Dx)(y+Dy)-xy=yDx+xDy+DyDx № Dy z+Dx z.

4)Непрерывность функции нескольких переменных

Предел функции.

Пусть z=f(x,y) определена в некоторой окрестности A(x0,y0).

Определение. Постоянное число b называют пределом z=f(x,y) при P(x,y) стремящемся к A, если для любого e > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |AP| < d, имеет место неравенство |f(x,y)-b| < e.

5)Непрерывная функция

6)Частные производные

32. Частные производные ф-й 2-х переменных.

Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных и, которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производнаяобозначается черезили, ачерезили. Таким образом,

, 

и, аналогично,

, .

Производные иназываются частными производными второго порядка. Определение:Частной производной второго порядка от функции z=f(x;y) дифференцируемой в области D,называется первая производная от соответствующей частной производной. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: ,,и т. д.

Производные второго и более высокого порядков наз. произв-ми высших порядков.

33. Полный дифференциал ф-й 2-х переменных.

y(x+∆x)-y(x)≈y ‘(x)∆x

z(x+h,y+k)-z(x,y)=z(x+h,y+k)-z(x+h,y)+z(x+h,y)-z(x,y)=[dz(x+h,y)/dy]*k+[dz(x,y)/dx]*h≈--дифференциал ф-й 2х переменных.

. (1)

Если приращение (1) можно представить в

виде , (2) ГдеАи В не зависят от , аистремятся к нулю при стремлении к нулю, то функцияназываетсядифференцируемой в точке , а линейная частьприращения функции (т.е. та частькоторая зависит отилинейно) называетсяполным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке и обозначается символомdz.

dz = (3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке , то она в этой точке непрерывна.

Действительно, если в точке функциядифференцируема, то для этой точкипредставимо в форме (2), откуда следует, что, а это и означает, что в точкефункциянепрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

Теорема (достаточное условие дифференц-сти). Если функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке, то эта функция дифференцируема в точке.