II семестр

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Вопросы для экзамена

1. Матрицы. Основные понятия. Действия над ними.

2. Элементарные преобразования над матрицами. Ранг матрицы.

3. Определители. Основные свойства.

4. Вычисление определителей с помощью алгебраических дополнений.

5. Обратная матрица, ее нахождение.

6. Системы линейных уравнений. Основные понятия.

7. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

8. Методы решения систем линейных уравнений: алгебраического сложения, подстановки, матричный.

9. Методы решения систем линейных уравнений: Гаусса, Крамера.

10. Метод полного исключения неизвестных системы линейных уравнений с помощью разрешающего элемента.

11. Уравнение прямой линии на плоскости: с угловым коэффициентом, общее, в отрезках.

12. Уравнение прямой линии на плоскости: с данной точкой и данным угловым коэффициентом, проходящей через две данные точки.

13. Угол между прямыми линиями. Расстояние от точки до прямой линии.

14. Окружность, парабола.

15. Эллипс.

16. Гипербола.

17. Скалярные и векторные величины. Линейные операции над векторами.

18. Разложение вектора по ортам. Скалярное произведение векторов.

19. Прямая линия в пространстве.

20. Уравнения плоскости в пространстве.

21. Канонические уравнения поверхностей второго порядка в пространстве.

Контрольная работа № 1 Формулировки условий задач контрольной работы

1. Выполнить действия над матрицами.

2. Вычислить определитель.

3. Решить систему алгебраических линейных уравнений по правилу Крамера, матричным способом и методом Гаусса.

4. Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти общее и одно частное решение.

5. Решить однородную систему линейных уравнений.

►Вариант 0◄

1. . Найти В-2А.

2. 

3. 

4. 

5. 

6.На параболе y² = 8 x найти точку, расстояние которой от ее фокуса равно 20.

7. Найти угол между плоскостью 4 x – 5 y + 7 z – 8 = 0 и прямой

.

►Вариант 1◄

1. А=и B=. Найти 2А-B.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. В эллипс 9 x² + 36 y² =144 вписан правильный треугольник, одна из вершин которого совпадает с правой вершиной эллипса. Найти координаты двух других вершин эллипса.

7. Какие из плоскостей 4 x – 3 y +5 z – 1 = 0, 3 x + 2 y +3 z – 10 = 0, 4 x – 3 y -2 z + 7 = 0, x + y - z + 3 = 0 перпендикулярны друг другу.

►Вариант 2◄

1. А=и В=. Найти А+2В.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. В эллипс вписан прямоугольник. Одна вершина прямоугольника А ( 5; 7,5 ) лежит на эллипсе, а две противоположные стороны проходят через фокусы F ₁ (-5; 0) и F₂ (5; 0) эллипса. Найти уравнение эллипса.

7. При каких значениях А и В плоскость А x + В y + 3 z - 5 = 0 перпендикулярна к прямой .

►Вариант 3◄

1. A=иВ=. Найти 3A+B.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Две вершины эллипса лежат в фокусах гиперболы, вершины которой находятся в фокусах данного эллипса. Составить уравнение гиперболы.

7. Найти острый угол между прямыми линиями ,.

►Вариант 4◄

1. A=, B=. Найти A-3B

2. 

3. 

4. 

5. 

6. В эллипс вписана окружность , пересекающая большую ось эллипса в фокусах, лежащих на оси абсцисс. Написать уравнение эллипса.

7. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку М₁ ( 3; -2; -7) перпендикулярно плоскости 2 x – 4y + 3 z + 5 = 0.

►Вариант 5◄

1. А=,B=. Найти 2А+5В.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Написать уравнение гиперболы, эксцентриситет которой равен 1,5, а фокусы совпадают с фокусами эллипса .

7. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки М₁ (3; -1; 2), М₂ (1; 1; -2), М₃ (3; -1; 0).

►Вариант 6◄

1. А=. Найти А³.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Парабола симметрична относительно оси 0x, вершина её находится в точке О₁( -5; 0) и на оси 0 y отсекает хорду, равную 12. Написать уравнение этой параболы.

7. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М₁ (1; -1; -3) параллельно прямой .

►Вариант 7◄

1. А=,B=. Найти 2А^T+5В.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Гипербола имеет фокусы на оси О x. Ее мнимая полуось больше вещественной полуоси на 2, а одна из асимптот проходит через точку А ( 10; 14). Написать уравнение гиперболы.

7. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку пересечения плоскостей x – 2 y + z + 4 = 0, 2 x + y - z + 1 = 0, 3 x + y + z = 0 и перпендикулярной плоскости 6 x – 2 y + 3 z + 4 = 0 .

►Вариант 8◄

1. А=,B=. Найти 2А^T+8В^Т.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. В окружность x² + y² = 25 вписан эллипс с фокусами, лежащими на оси Оx. Радиус окружности, проведенный в ее точку А ( 4; 3), делится эллипсом пополам. Найти уравнение этого эллипса.

7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку пересечения плоскостей x + y + z – 2 = 0, 2 x – y + z – 4 = 0, 4 x + y - z – 1 = 0 и перпендикулярной прямой .

►Вариант 9◄

1. А=,B=. Найти 2А^T- 4В.

2. 

3. 

4. 

5. 

6. Разность полуосей эллипса равна 2. Координаты фокусов ( ; 0). Найти уравнение эллипса.

7. Написать канонические уравнения прямой линии, проходящей через точку пересечения плоскостей x – 2 y + z + 4 = 0, 2 x + y - z + 1 = 0, 3 x + y + z = 0 и параллельной вектору a = (-1, 2,-3) .