31.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса

Пусть событие Aможет наступить совместно только с одним из событийобразующих полную группу несовместных событий (гипотез). Тогда вероятностьпоявления события определяется поформуле полной вероятности:

(31.8)

где – вероятность гипотезы

–условная вероятность события Aпри этой гипотезе.

Формула читается так: вероятность события A равна сумме произведений условных вероятностей этого события по каждой из гипотез на вероятности самих гипотез.

Так как гипотезы образуют полную группу несовместных событий, то

Если вероятности гипотез до опыта были а в результате опыта появилось событиеA, то условная вероятностьс учетом появления событияAвычисляется поформуле Байеса:

(31.9)

Если все гипотезы до опыта имеют одинаковую вероятность формула Байеса принимает вид

(31.10)

Пример 1. Имеются пять винтовок, три из которых с оптическим прицелом. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0,95; без оптического прицела – 0,8. Найти вероятность попадания в цель, если стрелок сделает один выстрел из наудачу взятой винтовки.

Решение. Введем обозначения:

A – стрелок попал в цель из наудачу взятой винтовки;

H₁ – стрелок сделал выстрел из винтовки с оптическим прицелом;

H₂ – стрелок сделал выстрел из винтовки без оптического прицела.

Формула полной вероятности (31.8) в данном случае имеет вид:

Учитывая то, что

получаем:

Пример 2. Один из трех стрелков вызывается на линию огня и производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго – 0,5, для третьего – 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Решение. Возможны три случая: H₁ – на линию огня вызван первый стрелок, H₂ – на линию огня вызван второй стрелок, H₃ – на линию огня вызван третий стрелок.

Очевидно, что

В результате опыта наблюдалось событие A – после двух выстрелов мишень не поражена.

Условные вероятности этого события при гипотезах H₁, H₂, H₃ равны соответственно:

По формуле Байеса (31.9) находим вероятность гипотезы H₁ после опыта:

31.4. Повторение испытаний

Если производятся испытания, при которых вероятность появления события Ав каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называютнезависимыми относительно события А.Далее рассматриваются независи­мые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.

Пусть для заданного целого числа kобозна­чает вероятность того, что вnопытах событиеAнаступит ровноkраз. В этом случае имеет местоформула Бернулли:

(31.11)

или

где p– вероятность наступления событияAв каждом из испытаний,

Вероятность того, что в nиспытаниях событиеАнаступит менееkраз находят по формуле

более kраз – по формуле

не менее kраз – по формуле

не более kраз – по формуле

Число k₀(наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равнаp) называетсянаивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытанияхk₀раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Для нахождения наивероятнейшего числа k₀по заданным значениямnиpможно воспользоваться двойным неравенством

или правилом:

если число не является целым, тоk₀равно целой части этого числаесли числоцелое, тоk₀имеет два значенияи

Часто возникает необходимость в вычислении вероятностей для весьма больших значенийnиk.

При больших nимеет место приближенное равенство (локальная формула Лапласа)

(31.12)

где

Для положительных значений xимеется таблица значенийфункции (x) (прил. 1). Для отрицательных значений x пользуются этой же таблицей (функция (x) четная, следовательно, ( – x) =(x)).

При больших nимеет место приближенное равенство (интегральная формула Лапласа)

(31.13)

где

Функция Ф(х) называетсяфункцией Лапласа.Для положи­тельных значенийxимеется таблица значений функ­ции Лапласа (прил. 2); для значенийх > 5 полагаютДля отри­цательных значенийxиспользуют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная

Приближенными формулами Лапласа на практике пользу­ются в случае, если Если жето эти формулы приводят к довольно большим погрешностям.

При больших nи малыхpсправедливаформула Пуассона

(31.14)

где

Для выражения рассматриваемого как функция двух переменныхk,, составлена таблица значений (прил. 3).

Если в некоторой серии из n испытаний событие A наступаетmраз, то относительная частота его появления равна

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна абсолютная величина отклонения относительной частоты появ­ления события от вероятности появления события не превысит положительного числа, приближенно равна удвоенной функ­ции Лапласа при

(31.15)

Пример 1. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,6. Произведено 8 бросков. Найти вероятность того, что при этом будут ровно два попадания.

Решение. Вероятность ровно двух попаданий найдем по формуле Бернулли (31.11) при n = 8; p = 0,6; q = 0,4; k = 2:

Пример 2. Найти наивероятнейшее число выпаданий герба при 25 бросаниях монеты.

Решение. В этом примере n = 25, p = 0,5. Число – целое, поэтомуи

Пример 3. Монету бросают 100 раз. Какова вероятность того, что при этом герб выпадет ровно 50 раз?

Решение. Имеем: Воспользовав­шись локальной формулой Лапласа (31.12), получим:

Из таблицы для функции (x) (прил. 1) найдем, что Отсюда

Пример 4. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна p = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится не менее 75 раз и не более 90 раз.

Решение. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа (31.13). По условию n = 100; p = 0,8; q = 0,2; k₁ = 75; k₂ = 90. Вычислим x₁ и x₂:

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т. е. получим

По таблице (прил. 2) находим:

Вычисляем искомую вероятность:

Пример 5. Среди 100 человек приблизительно 8 левшей. Найти вероятность того, что среди сотни наугад выбранных человек не ока­жется ни одного левши.

Решение. Так как значение р = 0,008 мало и n = 100 велико, то воспользовавшись формулой Пуассона (31.14) при = 0,8, получим:

Пример 6. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.

Решение. По условию имеем n = 625; p = 0,8; q = 0,2;  = 0,04. Требуется найти вероятность Согласно форму­ле (31.15), имеем

По таблице (прил. 2) находим Ф(2,5) = 0,4938 Следовательно, 2Ф(2,5) = 2 · 0,498 = 0,9876 Итак, искомая вероятность приближенно равна 0,9876.