- •31. Теория вероятностей
- •31.1. Основные понятия теории вероятностей.
- •31.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •31.3. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •31.4. Повторение испытаний
- •31.5. Дискретные случайные величины. Функция
- •31.6. Непрерывные случайные величины
- •31.7. Основные законы распределения
- •31.8. Функция одного случайного аргумента
- •31.9. Функция двух случайных аргументов
- •31.10. Закон больших чисел
- •32. Математическая статистика
- •32.1. Основные понятия математической
- •32.2. Точечные и интервальные оценки
- •32.3. Статистическая проверка
- •32.4. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова
- •32.5. Элементы теории корреляции. Выборочное
- •33. Вычислительная математика
- •33.1. Элементы теории погрешностей
- •33.2. Аппроксимация функций
- •33.3. Приближенное решение нелинейных уравнений
- •33.4. Приближенное вычисление интегралов
- •33.5. Приближенное решение обыкновенных
- •1. Таблица значений функции
- •2. Таблица значений функции лапласа
- •3. Распределение пуассона
- •4. Таблица значений
- •5. Таблица значений
- •6. Критические точки распределения фишера–снедекора
- •7. Критические точки распределения χ2
- •8. Критические точки распределения стьюдента
- •9. Критические значения распределения колмогорова
- •Содержание
31.7. Основные законы распределения
случайных величин
Биномиальное распределение.Пусть производитсяnнезависимых опытов. В каждом из них с одной и той же вероятностьюpможет наступать некоторое событиеA. Рассматривается случайная величинаХ– число наступлений событияAвnопытах. Тогда дискретная случайная величинаХможет принимать значения 0, 1, 2, …,nс вероятностями
Это распределение случайной величины Хназываетсябиномиальным. В этом случаегде
Распределение Пуассона. Говорят, что случайная величинаХраспределенапо закону Пуассона, если она принимает целые значения 0, 1, 2, … с вероятностями
соответственно, где – параметр распределения. При этом
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны между собой и равны параметру
Распределение Пуассона из всех дискретных распределений наиболее часто встречается в приложениях. Оно является предельным для биномиального распределения, если мы зафиксируем значение kи станем устремлять число опытовnк бесконечности, а вероятностьp– к нулю, притом так, чтобы их произведение оставалось равным постоянному числу Сэтим свойством распределения Пуассона – выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события – связано часто применяемое для него названиезакона редких явлений.
Геометрическое распределение.Дискретная случайная величинаХимеет геометрическое распределение, если она принимает значенияk = 1, 2, 3, … (счетное множество значений) с вероятностями
соответственно, где
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей геометрическое распределение, соответственно определяются следующими формулами:
Гипергеометрическое распределение.Дискретная случайная величинаХимеетгипергеометрическое распределение, если она принимает значениеmс вероятностями
где
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение с параметрами n,M,N:
Равномерное распределение.Непрерывная случайная величинаХимеетравномерное распределение на отрезке[a;b], если ее плотность распределения вероятностейf(x) постоянна на отрезке, а вне его равна нулю:
Функция распределения F(x) для равномерно распределенной случайной величиныХимеет вид
Числовые характеристики равномерного распределения:
Показательное (экспоненциальное) распределение.Непрерывная случайная величинаХимеетпоказательное (экспоненциальное) распределение, если плотность распределения вероятностей имеет вид
где – параметр данного распределения.
Функцию распределения случайной величины Х, распределенную по показательному закону, находят по формуле
Математическое ожидание и дисперсия показательно распределенной случайной величины Хопределяются равенствами:
Часто длительность времени безотказной работы определенного механизма имеет показательное распределение, функция распределения которого
определяет вероятность отказамеханизма за время длительностьюt, гдеt0 = 0 – начальный момент времени,t – момент времени, когда происходит отказ,T – непрерывная случайная величина – длительность времени безотказной работы механизма,– интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).
Функцией надежностиR(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы механизма за время длительностьюt:
Нормальное распределение.Непрерывная случайная величинаХимеет нормальное распределение (говорят также, что она распределена по нормальному закону или по закону Гаусса), если ее плотность распределения вероятностей имеет вид
Параметры aипредставляют собой соответственно математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величиныХ, т. е.
Отсюда
Если a = 0 и = 1, то соответствующее нормальное распределение называетсястандартным. Функция распределения для такой случайной величины имеет вид
и обладает (помимо обычных свойств функции распределения) свойством
В общем случае функция распределения нормального закона выражается формулой
где –функция Лапласа.
Связь функции Ф(x) с функцией ЛапласаФ0(x) выражается формулой
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал (; ) определяется формулой
Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины Хв интервалсимметричный относительно центра рассеянияa, находится по формуле
В частности, т. е. нормально распределенная случайная величинаХотклоняется от своего математического ожиданияa, как правило, менее чем на 3. Это утверждение называется «правилом трех сигм».
Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (2; 8).
Решение. Имеем:
Пример 2. Длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение
Найти вероятность того, что за время длительностью t = 50 ч:
1) элемент откажет; 2) элемент не откажет.
Решение. 1) Поскольку функция распределения определяет вероятность отказа элемента за время длительностьюt, то, подставив t = 50 в формулу функции распределения, получим вероятность отказа:
2) Так как события «элемент откажет» и «элемент не откажет» являются противоположными, то вероятность того, что элемент не откажет равна
Заметим, что этот результат можно получить непосредственно, пользуясь функцией надежности которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностьюt:
Пример 3. Определить вид закона распределения случайной величины X, если ее плотность вероятностей имеет вид Найти: 1)M(X); 2) (X); 3) значение коэффициента A; 4)
Решение. Произведем преобразования
Сравнивая данную функцию с плотностью
нормального распределения, делаем вывод, что случайная величина Х имеет нормальное распределение.
1) Очевидно, M(X) = 1.
2)
3) Найдем значение коэффициента F из равенства
где откуда
Таким образом, плотность вероятностей случайной величины Х имеет вид
т. е.
4) Используя формулу
найдем, что
Значение Ф0(2,82) найдено по таблице значений функции Лапласа (прил. 2)