6.МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ

КЛАССИЧЕСКАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Теоретические сведения. Рассматриваем следующую модель [1,7]: 1) На конец исследуемого периода (день, неделя, месяц и т.п.) в организации имеется количество xt−1 ресурса конкретного вида, в начале следую-

щего периода организация приобретает количество ht этого ресурса; за этот же следующий период потребляется rt ресурса;

2) Организация не имеет затраты за организацию заказа и доставку необ-

ходимой партии ресурса;
3) На конец	следующего периода в организации остается «запас»
x t = xt−1+ht −r t	ресурса; если		xt−1+ht −rt >0 ,		то организация		тратит
s(xt−1+ ht −r t)	денежных средств за хранение этого запаса ресурса; если же
xt−1+ht −r t<0,	то	организация		платит	штраф	в	размере
−d(xt−1+ht −r t) = d(r t − x t−1−h t)			за недопоставку		ресурса	( s - затраты на

хранение единицы ресурса за период; d - штраф за единицу недопоставленного ресурса за один период).

Таким образом, издержки предприятия за период равны c(x t) = max(sx t;−dx t) . В модели величина rt потребления ресурса за пери-

од считается случайной величиной со стационарной (т.е. независящей от времени) функцией распределения F (r) . Более того, считаем, что rt - не-

прерывная случайная величина, для которой существует плотность распределения f (r) = F′(r) . В модели требуется определить такое количество

y = xt−1 + ht ресурса на начало периода, чтобы математическое ожидание

издержек за период было минимальным, т.е. Φ( y) ≡ M[c( y −r)] = +∞∫c( y −r) f (r)dr → min . Приравнивая производную от

−∞

Φ( y) нулю, получаем соотношение для определения оптимальной величи-

ны y : F( yopt ) = s +d d . Проанализируем этот соотношение в предельных случаях. При затратах s на хранение, много больших размера d штрафа

( s d ), оптимальное количество y определяем из F( yopt ) ≈ d	1, т.е. оп-
s
тимальное значение yopt ≈ rmin , где rmin - минимально возможная величина
потребления за период (если таковая конечна). При затратах s	на хране-

ние, много меньших размера d				штрафа ( s d ), оптимальное количество
y	определяем из	F( y ) ≈1−	s	, т.е. оптимальное значение	y	≈ r	, где
		opt	d		opt	max

42

rmax

- максимально возможная величина потребления за период (если та-

ковая конечна).

yopt

и зная xt−1, находим количество приобретаемого ре-

Определив

0

при x

≥ y

opt

;

сурса ht по следующей стратегии ht =

t−1

.

( y

− x

)

при x

< y

opt

opt

t−1

t−1

Задание 1. Пусть величина r

потребления

имеет

распределение

Симпсона, т.е. плотность распределения имеет вид

0 при r ≤ a −b;

+(r

−a)b−2

при a −b < r

≤ a;

b−1

Числа

a и b являются пара-

f (r) =

+(a −r)b−2

при a < r ≤ a

+b;

b−1

0 при r > a +b.

метрами этого распределения; следуя экономическому смыслу задачи,

считаем 0 < b < a . График этой функции представлен на рис.6.1.

f(r)

1/b

O

a-b

a

a+b

r

Рис.6.1. График функции плотности распределения Симпсона (0<b<a).

Функция распределения Симпсона имеет вид

0	при r ≤ a −b;
0,5b−2 (r −a +b)2 при a −b < r ≤
F(r) =	−0,5b−2 (r −a −b)2 при a < r ≤
1
	при r > a +b.
1

График ее представлен на рис.6.2.

a;

a +b;

43

F(r)
1
d/(s+d)
0,5
O	a-b	a yopt	a+b	r
Рис.6.2. График функции F(r) распределения Симпсона.

В задаче заданы значения параметров a , b ; величины затрат на хранение s и штрафа d ; величина запаса ресурса на начало периода xt−1. Оп-

ределить величину ht поставки ресурса.
Разберем		пример решения подобной задачи.					Пусть		a =10; b = 5;
s =12;d =15; x	−1	=7. Найдем h	t	. Величина	d		=	15		=5 9 > 0,5 .
t					(s + d)		(12 +15)

Тогда (пользуемся третьей строкой в выражении для F (r) ) получаем уравнение для определения yopt :

1−0,5i5−2 ( yopt		−10 −5)2 =5 9 - это квадратное уравнение. Из двух его кор-
ней выбираем корень, заключенный в интервал								(a −b;a +b) . Находим
yopt =15 −10		2 3; поскольку		yopt > xt−1 =7 , то ht =8 −10					2 3 ≈3,29. Итак,
величина поставки ресурса ht ≈3,29 .
Варианты задания 1.
Вариант		a		b		s		d		xt-1
1.		12		4		10		5		10
2.		7		3		4		3		6
3.		8		2		12		14		9
4.		11		5		7		12		9
5.		13		7		12		4		14
6.		22		10		15		22		15
7.		12,5		6		11		12		10
8.		9,5		2		17		21		10
				44

Вариант	a	b	s	d	xt-1
9.	8	5	19	7	4,5
10.	12	7	10	3	5,5

Задание 2. Пусть величина r потребления имеет показательное распределение, т.е. плотность распределения имеет вид

0 при r ≤ a;

f (r) = λe−λ(r−a) при r > a. Числа a и λ(> 0) являются параметрами этого

распределения; следуя экономическому смыслу задачи, считаем a ≥ 0 . В задаче заданы значения параметров a , λ ; величины затрат на хранение s и штрафа d ; величина запаса ресурса на начало периода xt−1. Определить

величину ht		поставки ресурса.
Разберем пример			решения подобной задачи.						Пусть a =10; λ = 0,5;
s =12;d =15; xt−1 =10,5.				Найдем	ht . Функция показательного распределе-
			0	при r ≤ a;		В заданных условиях эта функ-
ния имеет вид F(r) =				−e−λ(r−a)	при r > a.
			1
			0 при r		≤10;		Тогда уравнение для нахож-
ция следующая F(r) =
			1−e−0,5(r−10) при r >10.
								15
дения	y	таково	[1−exp(−0,5( y −10))]				=			, откуда находим
	opt				opt		12 +15

yopt ≈11,62 . Значит, ht = yopt − x t−1=1,12 .

Варианты задания 2.

Вариант	a	λ	s	d	xt-1
1.	12	0,4	10	5	12,6
2.	7	0,3	4	3	7,8
3.	8	0,2	12	14	9
4.	11	0,5	7	12	11,9
5.	13	0,37	12	11	14
6.	22	0,19	15	22	23,5
7.	12,5	0,26	11	12	13,7
8.	9,5	0,24	17	21	10,4
9.	8	0,35	9	7	8,5
10.	11,2	0,44	10	13	11,9

45