- •Министерство аграрной политики украины
- •Издание рассмотрено и рекомендовано к печати на заседании кафедры физико-математических дисциплин (протокол № 2 от 9 октября 2007г.);
- •Содержание
- •1. Линейная алгебра
- •1.1. Системы линейных уравнений
- •1.2. Метод обратной матрицы
- •1.3. Метод Крамера
- •1.4. Метод Гаусса
- •1.5. Вопросы для самоконтроля
- •2. Аналитическая геометрия на плоскости
- •2.1. Линии первого порядка
- •2.2. Линии второго порядка Окружность
- •Гипербола
- •Парабола
- •2.3. Вопросы для самоконтроля
- •3. Векторная алгебра
- •3.1. Основные определения и понятия
- •3.2. Скалярное произведение векторов
- •3.3. Векторное произведение векторов
- •3.4. Смешанное произведение векторов
- •3.5. Вопросы для самоконтроля
- •4. Аналитическая геометрия в пространстве
- •4.1. Плоскость в пространстве
- •4.2. Прямая в пространстве
- •4.3. Прямая и плоскость в пространстве
- •4.4. Вопросы для самоконтроля
- •Литература
- •Индивидуальные задания к расчётно-графической работе Задание 1
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Для выполнения ргр
- •211 Группа
- •212 Группа
- •213 Группа
- •214 Группа
- •215 Группа
- •311 Группа
- •312 Группа
- •313 Группа
- •314 Группа
- •315 Группа
- •316 Группа
- •1111 Группа
- •1112 Группа
- •1211 Группа
- •1212 Группа
- •1311 Группа
- •1312 Группа
- •1313 Группа
- •1511 Группа
- •1512 Группа
2.2. Линии второго порядка Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой её центром.
Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а; b) радиуса R имеет вид (рис. 8):
(х – a)2 + (у –b)2 = R2.
Если центр окружности совпадает с началом координат, т.е. а = 0; b = 0, то уравнение окружности имеет вид: x2 + у2 = R2.
Рис. 8
Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равна 2а.
Необходимо, чтобы эта постоянная величина была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса обозначаются F1 и F2.
Каноническое (простейшее) уравнение эллипса имеет вид:
.
Эллипс, заданный каноническим уравнением, симметричен относительно осей координат, центр его симметрии находится в начале координат (рис. 9). Параметр аназываютбольшой полуосью, параметрb–малой полуосью эллипса.
Пусть а >b, тогда фокусыF1иF2находятся на осиОxна расстоянииот центра и имеют координатыF1(–c; 0) иF2(c; 0).
Отношение =< 1 называетсяэксцентриситетом эллипса.
Расстояния произвольной точки М(x; y) эллипса от его фокусов (фокальные радиус-векторы) определяются формулами:
r1=a +x;r2=a –x.
Прямые иназываютсядиректрисамиэллипса. Каждая директриса обладает следующим свойством: еслиr– расстояние произвольной точки эллипса до некоторого фокуса,d– расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношениеесть величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса.
Рис. 9
Если b >а, то фокусы находятся на осиОy в точкахF1(0; –c) иF2(0;c); расстояния от начала координат до фокусов; эксцентриситет=; фокальные радиус-векторы определяются соотношениями:r1=b+y,r2=b–y; уравнения директрису= –иу=.
Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а.
Каноническое (простейшее) уравнение гиперболы имеет вид:
.
Гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно осей координат, центр её симметрии находится в начале координат (рис. 10). Параметраназываютдействительнойполуосью, параметрb–мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает осьОхв двух точках. Эти точки называютсявершинами гиперболы.
Фокусы F1иF2находятся на осиОxна расстоянииот центра и имеют координатыF1(–c; 0) иF2(c; 0).
Отношение => 1 называетсяэксцентриситетомгиперболы.
Прямоугольник со сторонами 2аи 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называютосновным прямоугольником гиперболы. Диагонали основного прямоугольника гиперболы совпадают с её асимптотами.
Асимптоты гиперболы определяются уравнениями:.
Расстояния произвольной точки М(x; y) гиперболы от его фокусовF1МиF2М(фокальные радиус-векторыr1 иr2) определяются формулами:
для точек правой ветви гиперболы
r1=х+а,r2=х–а;
для точек левой ветви гиперболы
r1= – (х+а);r2= – (х–а).
Прямые х= –их=называютсядиректрисамигиперболы. Каждая директриса обладает следующим свойством: еслиr– расстояние произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса,d– расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношениеесть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Каноническое уравнение определяет гиперболу, симметричную относительно осей координат с фокусамиF1иF2 на осиОу. Фокусы находятся на расстоянииот центра и имеют координатыF1(0; –с) иF2(0;с). Эксцентриситет гиперболы определяется соотношением=; директрисы имеют уравненияу= –иу=.
Гиперболы иназываютсясопряженными.
Гипербола с равными полуосями (а = b) называетсяравносторонней.
Рис. 10