Primery_reshenija_zadach_
.pdfОсновные законы, формулы, примеры решения задач
Физические основы механики.
Кинематика поступательного и вращательного движения
1.Кинематическое уравнение движения материальной точки вдоль оси X:
x = (t),
где (t) - некоторая функция времени.
2. Средняя скорость за промежуток времени t
vx = Δtx ,
где x = x2 – x1; x1 - положение точки в момент времени t1; x2 - положение точки в момент t2 ; t = t2 - t1 .
3.Мгновенная скорость
vx = dxdt .
4. Среднее ускорение
ax = Δtvx .
5. Мгновенное ускорение
ax ddtvx .
6.Уравнение равнопеременного движения
x v0 t at2 , 2
где v0 - скорость точки в момент времени t= 0.
7.Скорость равнопеременного движения
vv0 t at .
8.Уравнение движения точки по окружности
= f(t) ,
где - угловое положение точки в момент времени t.
9. Угловая скорость точки, движущейся по окружности:
= d . dt
10. Угловая скорость при равномерном движении по окружности
= 2 n ,
где n - число оборотов в секунду. 11. Угловое ускорение
|
dω |
|
d 2 |
. |
|
= |
|
|
|||
|
dt 2 |
||||
dt |
|
12. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности:
v = R ,
a = R , an = 2R ,
где v - линейная скорость точки (направлена по касательной к окружности); a - тангенциальное ускорение (направлено по касательной); an - нормальное ускорение (направлено к центру окружности); R - радиус окружности.
13. Полное ускорение
a= a 2 an 2 ,или a R 2 4 .
14. Уравнение равнопеременного движения по окружности
0 t t 2 , 2
где 0 - скорость точки в момент времени t= 0.
15. Угловая скорость равнопеременного движения по окружности
0 t .
Динамика материальной точки и тела, движущихся поступательно
16. Импульс (количество движения) движущейся материальной точки
массой m со скоростью v
p =m v .
17. Второй закон Ньютона
dp F , dt
где F - сила, действующая на материальную точку. 18. Второй закон Ньютона для средних значений силы
p F ,t
где F - среднее значение силы за время t.
19.Силы, рассматриваемые в механике:
a)сила упругости
Fх = - kx ,
где k - коэффициент жесткости пружины; x – ее абсолютная деформация;
б) сила гравитационного взаимодействия
F G m1m2 ,
r 2
где G - гравитационная постоянная; m1 и m2 - массы взаимодействующих материальных точек; r - расстояние между материальными точ-
ками (или телами).
в) сила трения скольжения
F = N ,
где - коэффициент трения скольжения; N - сила нормального давления.
20. Закон сохранения импульса для замкнутой системы из двух тел
m1 v1 m2 v2 m1 u1 m2 u2 ,
где v1 и v2 - скорости тел в начальный момент времени; u1и u2 -
скорости тех же тел в конечный момент времени.
21. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно:
EK mv2 |
или |
EK |
p2 . |
2 |
|
|
2m |
22. Потенциальная энергия:
а) упруго деформированной пружины1
,
EП |
|
kx2 |
2 |
где k - коэффициент жесткости пружины; x - абсолютная деформация;
б) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести:
ЕП mgh ,
где g – ускорение свободного падения тела; h – высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии h<<R, где R
–радиус Земли).
23. Работа постоянной силы при прямолинейном движении
A F x x ,
где Fx - проекция силы на направление перемещения.
24. Полная механическая энергии системы
E = EK + EП .
25. Закон сохранения энергии в замкнутой системе тел, в которой действуют только консервативные силы
E( t ) EK ( t ) EП ( t ) const,
где t - произвольный момент времени.
26. Работа А, совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы:
A E E2 E1,
где E E2 E1 - изменение полной энергии системы.
Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси
27. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси
M =J ,
где M – результирующий момент внешних сил относительно оси вращения; - угловое ускорение; J – момент инерции тела относительно оси вращения.
28. Моменты инерции некоторых тел массой m относительно оси вращения, проходящей через центр симметрии:
а) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню:
J |
1 |
2 |
|
|
|
||
|
2 ml |
; |
|
|
|||
|
|
б) обруча (тонкостенного цилиндра) радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра):
J mR2 ;
в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:
J |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
2 mR . |
||
|
||||
|
|
|
||
29. Момент импульса тела относительно оси вращения |
|
|||
L J , |
|
|
||
где - угловая скорость тела. |
|
|
30. Закон сохранения момента импульса системы двух тел относительно общей неподвижной оси вращения
L ( t ) L ( t ) const,
1 |
2 |
где L1 (t) и L2 (t) - моменты импульсов первого и второго тел относительно общей оси вращения.
31. Кинетическая энергия абсолютно твердого тела, вращающегося во-
круг неподвижной оси: |
|
|
|
|
|
Ek |
1 |
J 2 ; или |
Ek |
L2 |
. |
2 |
|
||||
|
|
|
2J |
32. Элементарная работа при повороте абсолютно твердого тела на малый угол
A = M .
Примеры решения задач
Пример 1
Две материальные точки движутся по прямой согласно уравнениям:
x1 = A1 + B1 t + C1 t2 и x2 = A2 + B2 t + C2 t2, где A1 = 10 м; В1 = 4 м/с;
С1 = - 2 м/с2; A2 = 3 м; В2 = 2 м/с; С2 = 0,2 м/с2. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорения этих точек в мо-
мент времени 3с.
Дано:
x1 = A1 + B1 t + C1 t2 x2 = A2 + B2 t + C2 t2
A1 = 10 м; В1 = 4 м/с; С1 = - 2 м/с2
A2 = 3 м; В2 = 2 м/с; С2 = 0,2 м/с2
t = ? (при v1 = v2) a1 = ? a2 = ?
Решение. Так как требуется найти скорость и ускорение в определенный момент времени (t = 2 c), то это значит, что нужно определить мгновенные значения скоростей и ускорений.
Мгновенная скорость v есть первая производная от координаты по
времени. Получим выражения для v1 и v2 : |
|
|
|
|
||||||
v1 = |
dx1 |
= B1 + 2C1 t ; |
(1) |
|||||||
dt |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
v2 = |
dx2 |
= B2 + 2C2 t . |
(2) |
|||||||
dt |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Определим момент времени, в который v1 = v2 , для чего приравняем |
||||||||||
правые части выражений (1) и (2): |
|
|
|
|
|
|||||
B1 + 2C1 t = B2 + 2C2 t , |
|
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
B1 B2 |
|
. |
(3) |
||||
2 C1 C2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Подставляя числовые значения в формулу (3), получим |
|
|||||||||
t |
|
|
|
|
4 2 |
|
0,4 c . |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 0,2 2 |
|
|
Ускорение точек найдем, взяв первую производную от скорости по
времени: |
|
|
|
|
|
a1 |
= |
dv1 |
= 2C1 ; |
(4) |
|
dt |
|||||
|
|
|
|
||
a2 |
= |
dv2 |
= 2C2 . |
(5) |
|
|
|
dt |
|
|
Из выражений (4) и (5) видно, что движение обеих точек происходит с постоянным ускорением:
a1 = 2C1 = 2·(-2) м/c2 = - 4 м/c2,
a2 = 2C2 = 2·(0,2) м/c2 = 0,4 м/c2.
Пример 2
Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону
А Вt Ct 2 , где А=12 рад; В=18 рад/с; С=-4 рад/с2. Определить нармальное и тангенциальное ускорение точки, располо-
женной на расстоянии 0,2 м от оси вращения в момент времени 2с. Дано:
А Вt Ct 2
А=12 рад; В=18 рад/с; С=-4 рад/с2. t= 2 c, R = 0,2 м.
an=? a =?
Решение. Тангенциальное и нормальное ускорения точки, вращающего-
ся тела выражаются формулами
а r , (1) an 2 r
где - угловая скорость тела;- его угловое ускорение.
Угловую скорость найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:
|
d |
B 2Ct1 . |
(2) |
|
|
||
dt |
|
||
В момент t=2 c угловая скорость равна |
|
||
= 18 2 4 2 рад/с = 2 рад/с. |
|
Угловое ускорение найдем, взяв производную от угловой скорости по времени:
d 2C 8 рад/с2. dt
Подставляя значения , , r в формулу (1), получим a = ( 8 ) 0,2 м 1,6 м
с2 с2
а 22 0,2 м 0,8 м .
n |
с2 |
с2 |
Пример 3
Поезд массой 4000 т идет со скоростью 36 км/ч. Перед остановкой
поезд начинает тормозить. Сила торможения равна 2 105 Н. Какое расстояние пройдет поезд за 1 минуту после начала торможения?
Дано:
V0 = 36 км/ч
F = 2 105 Н t = 1 мин
S = ?
Решение. После начала торможения поезд стал двигаться равнозамедлен-
но, следовательно, путь, который прошел поезд, выражается формулой at 2
S V0 t |
|
, |
(1) |
|
2 |
||||
|
|
|
где V0 – начальная скорость движения поезда. На поезд действует при этом только одна сила – сила торможения. Эта сила сообщает поезду отрицательное ускорение. По второму закону Ньютона это ускорение равно
a |
F |
. |
(2) |
|
m |
|
|
Подставим выражение (2) в формулу (1) и получим |
|
||
S V0 t Ft 2 . |
(3) |
||
|
|
2m |
|
Подставляем числовые значения V0 ,F, t в формулу (3), проведем вычисления S. Предварительно все данные запишем в системе СИ:
m = 4000 т = 4 106 кг,
V0= 36 км/ч = 10 м/с,
F = 2 105 Н, t = 1мин = 60 с.
Тогда
S= 10 м / с 60 с 2 10 5 Н ( 3,6 103 )с2 510 м. 2 4 106 кг
Пример 4
Тележка с песком массой 40 кг движется горизонтально со скоростью 5 м/с. Камень массой 10 кг попадает в песок и движется вместе с тележкой. Найти скорость тележки после попадания камня: а) падающего по вертикали; б) летящего горизонтально навстречу тележке со скоростью 10 м/с.
Дано:
m1 = 40 кг v1 = 5 м/с m2 = 10 кг
а) v2 = 0, б) v2 = 10 м/с
u = ?
Решение. Рассмотрим систему, состоящую из тележки и камня. Внешняя сила (сила тяжести) направлена вертикально, поэтому по отношению к вертикальному движению система незамкнута, и закон сохранения импульса неприменим. В горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют, и закон сохранения импульса выполняется в проекции на направление движения. В качестве положительного направления оси Х примем направление движения тележки.
После вертикального падения камня скорость системы уменьшится только в связи с увеличением массы. Закон сохранения импульса для данного случая имеет вид
m1 v1 m1 m2 u , |
(1) |
||||
откуда |
|
|
|
||
u |
|
m1 |
v1 . |
(2) |
|
m1 |
m2 |
||||
|
|
|
После подстановки числовых значений в выражение (2), получим
u |
40 5 |
|
4м/c. |
|
40 10 |
||||
|