1.2. Фінітизовані диференціальні рівняння зі ланками запізнення

Для того щоб здійснити процес фінітизації диференціального рівняння з запізненнями слід ввести в рівняння (1.1.6) таку заміну:

Після такої заміни отримаємо:

Помножимо рівняння (1.2.2) на вираз . Маємо:

Після такої заміни можна побудувати фінітизований годограф при

Приклад 5:

Для диференціального рівняння побудувати фінітизований годограф при

Розв’язання

◄ Скористаємося розв’язанням прикладу 1.

1. 

1. Після введення заміни маємо:

2. Введемо заміну . Отримаємо:

3. Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:

4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:

5. Побудуємо фінітизований годограф:

Рис.1.1.5. Стійкий фінітиозваний годограф

2. 

1. Після введення заміни маємо:

2. Введемо заміну . Отримаємо:

3. Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:

4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:

Рис.1.1.6 Стійкий фінітиозваний годограф

5. Побудуємо фінітизований годограф:►

Приклад 6:

Для диференціального рівняння побудувати фінітизований годограф при

Розв’язання

◄ Скористаємося розв’язанням прикладу 2.

1. Після введення заміни маємо:

. Введемо заміну . Отримаємо:

3. Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:

4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:

5. Побудуємо фінітизований годограф:

Рис.1.1.7. Стійкий фінітиозваний годограф

►

Приклад 7:

Для диференціального рівняння

побудувати фінітизований годограф при

Розв’язання

◄ Скористаємося розв’язанням прикладу 3.

1. Після введення заміни маємо:

.

2. Введемо заміну . Отримаємо:

. 3.Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:

.

4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:

5. Побудуємо фінітизований годограф:

Рис.1.2.8. Стійкий фінітиозваний годограф

►

Приклад 8:

Для диференціального рівняння побудувати фінітизований годограф при

Розв’язання

◄ Скористаємося розв’язанням прикладу 4.

1. Після введення заміни маємо:

.

2. Введемо заміну . Отримаємо:

.

.

3.Помножимо це рівняння на вираз . Маємо:

.

4. Відокремимо дійсну та уявну частину, ввівши таку заміну:

Рис.1.2.10 . Стійкий фінітиозваний годограф

5.

Табл. 1.2.1

Стійкий фінітиозваний годограф	Стійкий нефінітиозваний годограф

2. Системи із періодичними запізненнями

Розглядаючи рух об’єктів, відстань до яких змінюється за періодичним законом, доводиться розглядати системи із періодичними запізненнями. Наприклад, штучний супутник Землі, що рухається по еліптичній орбіті, періодично змінює відстань до Центру управління польотами. Тому час затримки сигналу також змінюється періодично. Це може бути причиною параметричного резонансу, який веде до нестійкості в системі управління. Тому логічно було б розглянути стійкість систем з періодичними запізненнями.

2.1. Періодичні розв’язки диференціальних рівнянь із запізненням

Розглянемо систему диференціальних рівнянь із запізненням вигляду:

, (2.1.1)

з крайовими умовами вигляду

, (2.1.2)

Задача (2.1.1) - (2.1.2) за допомогою замін зводиться до задачі про відшукання періодичного розв’язку з періодом для системи диференціальних рівнянь

, . (2.1.3)

Заміною змінних задача (2.1.3) зводиться до задачі знаходження 2- періодичних розв’язків неавтономної системи вигляду

, (2.1.45)

з додатковою умовою існування періодичного розв’язку

. (2.1.56)

Позначатимемо через розв’язок рівняння (2.1.6) відносно , а через— розв’язок рівняння. Припустимо, що для значеньіз деякого відрізка, виконуються такі умови

1) обмеженості;

2) Ліпшица:

3) власні значення матриці лежать в одиничному крузі;

4) множина точок , що знаходяться в області разом із своїм околом, не порожня.

При виконанні цих припущень періодичний розв’язок системи (2.1.45) будемо шукати як границю рівномірно збіжної послідовності періодичних функцій, що визначаються рекурентними співвідношеннями:

,

,

, (2.1. 67)

, .

Маємо наступну теорему [2, c. 743]

Теорема 2.2.1. Якщо система (2.1.45) має періодичний розв’язок , який лежить на поверхні (2.1.56) і виконуються умови 1) - 4), тоді має місце співвідношення

,

визначений рівностями (7).