Таким чином асимптотична система рівнянь для системи із запізненням (2.2.7) має вигляд (2.2.8), де матриця λ є розв'язок матричного рівняння (2.2.10).

Розв'язок матричного рівняння (2.2.10) можна знайти методом послідовних наближень. При певних обмеженнях, що накладаються на матриці A і B метод досить швидко збігається.

Приклад: Розглянемо окремий випадок скалярного лінійного рівняння із запізненням

Знайти асимптотичне рівняння

◄ Асимптотичне рівняння шукатимемо також у вигляді лінійного скалярного рівняння першого порядку

Підставивши в інтегральне рівняння (2.2.3), отримуємо співвідношення:

Оскільки розв'язок диференціального рівняння без запізнення (2.2.9) має вигляд , то підставивши його в інтегральне рівняння (2.2.11), і обчисливши інтеграл, отримаємо

Звідси випливає, що

Таким чином асимптотичне рівняння для скалярного рівняння з запізненням (2.2.11) має вигляд (2.2.12), де коефіцієнт λ є розв'язком характеристичного рівняння (2.2.14)►

2.3Стійкість систем з періодичними запізненням

Розглянемо диференціальні рівняння з ланками запізнення виду:

(1)

Одним з методів аналізу стійкості систем з періодичними запізненнями є зведення їх до рівнянь з періодичними коефіцієнтами. Використовуючи розклад членів із запізненнями за формулою Тейлора, отримуємо:

(2)

Кількість членів розкладу беремо таку, щоб не підвищувався порядок рівняння. У результаті маємо рівняння з періодичними коефіцієнтами. Його не важко перетворити в систему рівнянь 1-го порядку з матрицею:

в якій «нові» елементи є сумами «старих» елементів, які не враховують запізнення, і відповідні члени розкладу елементів з періодичними запізненнями.

Висновки

1. Розглянуто диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами ланками запізнення;

2. Розглянуто системи із періодичними запізненнями;

3. Наведені приклади нефінітизованих та фінітизованих диференціальні рівняння зі ланками запізнення;

4. Отримані умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням;

5. Робота може бути корисною в навчальному процесі з теорії диференціальних рівнянь та в теорії автоматичного керування, автоколивальних систем тощо.

Література

1. Валеев К.Г., Кулеско Н.А. О конечнопараметрическом семействе решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – Киев: Украинский математический журнал, Т.20, №6, 1968. – 749 c.

2. Джалладова І. А.. Умови існування асимптотичних систем для рівнянь із запізненням // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка, №7. – С.53 - 55 (http://papers.univ.kiev.ua/kibernetyka/10942.pdf)

3. Музиченко О.І., Філер З.Ю., Стійкість лінійних диференціальних рівнянь. – Кіровоград, 2010. – 49с.

28