3. Нелинейные законы фильтрации
Проведенные в дальнейшем эксперименты показали, что закон Дарси не является универсальным и нарушаются области малых и больших скоростей. Нарушение в области малых скоростей связано с молекулярным эффектом. Причины, вызывающие отклонение от закона Дарси при больших скоростях, являются до настоящего времени предметом дискуссии среди исследователей.
В 1901 году Форхгейме, ссылаясь на исследования Мазони, рекомендовал выражать зависимость градиента давления от скорости двучленным законом фильтрации:
,
(9)
Двучленный закон фильтрации в дифференциальной форме при прямолинейной фильтрации газа в принятых сейчас обозначениях, без учета силы тяжести имеет два вида записи:
,
(10)
или
(11)
где - дополнительная константа пористой среды, определяемая экспериментально,l– коэффициент макрошероховатости, характеризующий структуру порового пространства, - плотность газа (жидкости).
Первое слагаемое в правой части уравнения (10) учитывает потери давления вследствие вязкости жидкости, второе слагаемое – инерционную составляющую сопротивления движению жидкости, связанную с криволинейностью и извилистостью поровых каналов.
При малых скоростях течения природа нелинейности закона фильтрации иная. Чем в области больших скоростей фильтрации (больших значений числа Рейнольдса). Она связана с проявлением неньютоновских свойств фильтрующихся флюидов, а также других Физико-химических эффектов. Поэтому для качественного изучения вопроса и количественной оценки этих эффектов необходимо отказаться от модели вязкой однородной жидкости и заменить ее какой-либо другой реологической моделью пластового флюида.
Ограничимся формулировкой наиболее простого нелинейного закона фильтрации неньтоновских жидкостей, в основе которого лежит модель фильтрации с предельным градиентом. Для случая одномерного линейного потока его можно представить в виде
,
(
),
,
,
где
- предельный (начальный) градиент
давления, по достижении которого
начинается движение жидкости: при
меньших значениях градиента движения
отсутствует, этот параметр измеряется
в лабораторных условиях.
Закон фильтрации записывают также в виде одночленной степенной формулы:
(12)
где С иn- постоянные, определяемые опытным путем, причем 1<n< 2.
При n= 1 из (12) получается закон Дарси, приn= 2 – квадратичный закон А.А. Краснопольского.
Таким образом, формула (10) имеет два параметра иk, которые подлежат дальнейшему изучению и установлению связи между ними.
Входящий в линейный закон фильтрации Дарси (8) коэффициент проницаемости определяется при исследовании кернов или на основе гидродинамических исследований.
Исследованиями показано, что для пористых сред коэффициент проницаемости зависти от размера зерен и их дисперсности, коэффициента пористости, формы зерен, степени их сцементированности и. т. д.
Л. С. Лейбензон предложил выразить коэффициент проницаемости в виде:
(13)
где d– линейный размер (диаметр) зерен пористой среды,Sl– безразмерный критерий (число Слихтера), зависящий от коэффициента пористости и структуры порового пространства, т. е.
(14)
где - некоторый параметр, характеризующий структуру порового пространства пласта,m – коэффициент пористости.