2. Характеристики одномерных фильтрационных потоков

жидкости и газов.

Для расчета перечисленных характеристик одномерных фильтрационных потоков жидкости и газа можно использовать два подхода. Первый из них – вывод дифференциальных уравнений и их решение отдельно для прямолинейно-параллельного, плоскорадиального и радиально-сферического потоков жидкости и газа. Второй – вывод обобщенного уравнения одномерного течения флюида в недеформируемой трубке тока переменного сечения с использованием функции Лейбензона и получение из него конкретных формул применительно к различным схемам фильтрационных потоков. Второй подход более эффективен, позволяет исходить из обобщенных характеристик течения, он был использован и при выводе следующих характеристик:

Прямолинейно – параллельный фильтрационный поток.

Площадь поперечного сечения ; на контуре питания x₁=0, P₁=P_K, на галерее x₂=L, P₂=P_Г;

Схема прямолинейно параллельного течения в пласте

(53, 54, 55)

Плоскорадиальный фильтрационный поток

От координаты Sпереходим кr, отсчитываемой от центра скважины. Для добывающей скважины,, площадь фильтрционной поверхности- боковая поверхность цилиндра; на контуре питанияr1 =Rk,P₂=P_Kна забое скважиныr 2 = rc,P₂=P_C.

Схема плоско – радиального потока в круговом пласте. (56)

, (57)

(58)

Радиально – сферический фильтрационный поток.

В этом случае для добывающей скважины с полусферическим забоем имеем: ,,- площадь поверхности полусферы с радиусомr,r1 =Rk ,P₁=P_K,r₂=r_C,P₂=P_C.

(59)

; (60)

. (61)

3. Анализ одномерных потоков несжимаемой жидкости и газа.

Рассмотрим конкретные модели флюидов – несжимаемую жидкость и совершенный газ. Выпишем для них формулы для расчета основных характеристик одномерных фильтрационных потоков. Сопоставление этих формул позволит оценить эффект сжимаемости при прочих одинаковых условиях.

Прямолинейно – параллельный поток несжимаемой жидкости и совершенного газа

Подставим в основные расчетные формулы (53), (54), (55) выражение функции Лейбензона (для несжимаемой жидкости)и (для совершенного газа ), а также на контуреи на галерее(аналогично и для совершенного газа)

Расчетные формулы для прямолинейно-параллельного потока несжимаемой жидкости и совершенного газа

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Функция Лейбензона
Распределение давления по пласту, 0  x  L	(62)	(63)
Массовый расход Qm	(64)	(65)
Массовая скорость фильтрации	(66)	(67)
Объемный расход Q	(68)
Скорость Фильтрации (объемная)	(71)	(72)
Средневзвешенное давление	(73)	(74)
Время движения отмеченных частиц t	(75)	(76)
Время продви – жения до галереи Т	(77)	(78)

Массовые расходы и массовые скорости фильтрации для обоих флюидов постоянны вдоль пласта; объемный расход и объемная скорость фильтрации жидкости вдоль пласта не меняются, однако для газа эти характеристики зависят от координаты, возрастая от входа к выходу, что является следствием расширения газа при снижении давления.

Плоскорадиальный фильтрационный поток

Модель флюида

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Распределение давления по пласту	(79) (81)	(80) (82)
Массовый расход Qm	(83)	(84)
Массовая скорость фильтрации W	(85)	(86)
Объемный расход Q	(формула Дюпюи) (87)	(88) (89)
Объемная скорость фильтрации	(90)	(91)
Средневзвешенное давление	(92)	(93)
Время движения отмеченных частиц	(94)	________________
Время движения частицы от контура до забоя Т	(95)	(96)

Рис.2 Кривые распределения давления в плоскорадиальном потоке:

1 – для жидкости, 2 – для газа.

Для несжимаемой жидкости давление меняется вдоль координаты rпо логарифмическому закону (Рис. 2, кривая 1). Вращение кривойp(r) в пространстве вокруг оси скважины образует поверхность, называемую воронкой депрессии.

Зависимость дебита от перепада давления называется индикаторной линией. В потоке жидкости по закону Дарси индикаторная линя – прямая (Рис. 3).

Вид индикаторной линии не зависит от геометрии потока и определяется только законом фильтрации. Отношение массового дебита скважины Qm к перепаду давлениярназывается коэффициентом продуктивности скважиныk. Рис. 3.

Из (60) следует, (для жидкости):

, (97)

коэффициент продуктивности определяется в результате исследования скважины при установившихся отборах. Если исследования скважины выполнены при (- давление насыщения нефти газом), то по тангенсу угла наклона коэффициент продуктивности скважины

, (98)

, (99)

где - приведенный радиус скважины.

Приведенный радиус скважины – это радиус гидродинамически совершенной скважины, которая обеспечивает при равных прочих условиях такой же дебит, как гидродинамически несовершенная скважина,

.

Радиально – сферический фильтрационный поток несжимаемой жидкости и совершенного газа.

Модель флюида

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Распределение давления р(r)	(100)	(101)
Массовый расход Qm	(102)	(103)
Массовая ско –рость фильтрации	(104)	(105)
Объемный расход	(106)	(107)
Объемная скорость фильтрации	(108)	(109)
Время движения частиц t	(110)	______________
Время движения от контура до забоя	(111)	(112) где

Лекция 5.

Фильтрация по степенному закону

Рассмотрим способы определения основных характеристик потока при плоскорадиальном движении жидкости и газа с большими скоростями, когда причиной отклонения от закона Дарси становятся значительные инерционные составляющие общего фильтрационного сопротивления.

При плоскорадиальном движении закон приобретает вид:

, , (113)

где с и n – константы, определяемые из опыта или по результатам исследования скважины.

Для вывода формул введем функцию давления для несжимаемой жидкости и совершенного газа соответственно получаем:

, (114)

. (115)

Расчетные формулы для плоскорадиального течения несжимаемой жидкости и газа по степенному закону

Модель флюида

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Распределение давления р(r)	(116)	(117)
Массовый расход	(118)	(119)
Распределение давления р(r)	(120)	(121)
Массовый расход Qm	(122)	(123)

Массовый расход для жидкости пропорционален депрессии в степени 1/n, поэтому индикаторная линия при 1<n < 2 будет иметь вид выпуклой к оси дебитов степенной кривой с дробным показателем меньшим 2. В случае фильтрации по закону Краснопольского, индикаторная линия является параболой второго порядка.

Рис. 4. Индикаторнаые линии,

соответствующие различным

законам фильтрации жидкости.

Рис. 4.

Фильтрация по двучленному закону.

Модель флюида

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Функция Лейбензона
Распределение Давления	(124)	(125)
Уравнение притока к скважине	(126)	(127)

Из (126) и (127) видно, что индикаторная линия, построенная в координатах для жидкости идля газа, является параболой (Рис. 5, 6).

Рис. 5. Индикаторная линия Рис. 6. Индикаторная линия

при фильтрации жидкости при фильтрации газа по

по двучленному закону. двучленному закону.

Уравнение притока к скважине для несжимаемой жидкости имеет вид:

(128)

для газа

(129)

где

(130)

(131)

А, В, А1, В1, - коэффициенты фильтрационного сопротивления, являются постоянными для данной скважины.

Скважины исследуют на 5 – 6 режимах (однако ка показывают исследования и результаты обработки индикаторных линий этих замеров недостаточно, необходимо увеличить число замеров для более точного определения коэффициентов фильтрационного сопротивления. Кроме того можно упомянуть об аномальных видах индикаторной линии, о случаях кольматации и наоборот раскольматирования при высоких отборах).

Затем скважину закрывают и давление на забое остановленной скважины принимают за контурное давление рк.

Уравнения (128) и (129) можно представить соответственно к уравнению прямой:

(132)

(133)

Рис. 7. График зависимости отпри фильтрации газа по двучленному закону

Коэффициент А – отрезок, отсекаемый на оси ординат, В – тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс. (Рис. 7).

По значениям коэффициентов А и В определяют коллекторские свойства пласта: коэффициент проницаемости (эффективный), эффективную мощность пласта, коэффициент гидропроводности:

Для нефтяной скважины

(134)

Для газовой скважины

. (135)

Лекция 6.

Гидродинамические методы исследования скважин и пластов

Для проектирования, регулирования и контроля за разработкой нефтяного месторождения необходимо располагать информацией о фильтрационных параметрах продуктивных коллекторов и реологических свойствах различных дисперсных систем.

Построение гидродинамической модели месторождения связано с определенными допущениями. Анализ образцов керна, отбираемых при бурении, не позволяет надежно оценить коллекторские свойства пласта в связи с дискретностью отбора керна и изменением его характеристик при подъеме на поверхность. Геофизические исследования основаны на определении емкостных параметров прискваженной части пласта. Расчет фильтрационных параметров коллектора лучше всего проводить по данным гидродинамических исследований скважин и пластов, которые отражают непосредственный процесс фильтрации жидкости в пластовых условиях и позволяют получить усредненную информацию в значительной части пласта.

Сущность ГДИ на неустановившихся режимах заключается в проведении замеров основных гидродинамических параметров – расхода и давления при изменении условий работы скважины. Определение свойств призабойной и удаленной зон пласта производится на основе решения обратных гидродинамических задач неустановившейся фильтрации.

Исходную информацию о параметрах пласта также можно получить на основе развивающихся в последнее время способов решения обратных задач разработки объекта. Данный подход обладает преимуществами в связи с учетом влияния границ пласта и расположения скважин на месторождении. Однако его использование возможно только после некоторого периода эксплуатации месторождения, а определение гидродинамических параметров связано с проведением ГДИ.

Исследования добывающих скважин обычно проводят, закрывая скважину на устье и снимая кривую восстановления давления (КВД) или уровня продукции в затрубном пространстве (КВУ). При этом практически до полного восстановления давления происходит приток жидкости из пласта в скважину. Необходимость учета данного параметра признана различными авторами, однако существующие методики с учетом притока связаны с операциями интегрирования или дифференцирования экспериментальных значений забойного давления, что всегда приводит к значительной ошибке. Кроме того, при обработке результатов исследований обычно используется приближенный графоаналитический метод. Статистическая погрешность исследований в данном случае учитывается в достаточно грубом приближении.

Все методики интерпретации КВД можно разделить на две группы – без учета и с учетом продолжающегося притока жидкости в скважину. При использовании методик первого типа, таких как Хорнера, Чарного, Минеева, необходимо проведение длительных исследований, что отрицательно сказывается на добычи нефти.

Методики интерпретации КВД с учетом притока позволяют определять параметры призабойной и удаленной зон пласта. Решению данной задачи посвящены работы Щербакова, Чарного-Умрихина, Баренблатта и др, Борисова, Каменецкого, Чекалюка и др.

Для пласта неограниченных размеров при мгновенном прекращении притока жидкости к скважине после ее остановки (или после пуска с постоянным дебитом) повышение давления в скважине с высокой степень точности определяется по формуле Тсейса:

, (136)

Если мало и в связи с этим нельзя пренебречь суммой, практически, тогда

, (137)

где ,- коэффициент упругоемкости пласта (приведенный коэффициент сжимаемости жидкости и породы);- коэффициент объемного сжатия жидкости,- коэффициент объемного сжатия пласта;- изменение давления в скважине после ее остановки, или- изменение давления после пуска скважины.

При построении экспериментальной кривой (построенной по данным исследования скважины после ее остановки) в координатах , по уравнению (137) получим прямую линию. По тангенсу угла наклона определяют коэффициент гидропроводности

, (138)

а по отрезку, отсекаемому этой прямой на оси ,

, (139)

определим пьезопроводности пласта

. (140)

Описанный метод наиболее распространенный. Недостаток его заключается в том, что при построении кривых восстановления давления в координатах вместо ожидаемой прямой часто получают ломанную линию.

В последнее время появилось значительное число работ, посвященных гидродинамическим исследованиям скважин и пластов. В этих работах особое внимание уделяется теоретическим обоснованиям различных методов исследования. Меньшее место отводится вопросам практического применения различных способов исследования скважин и методов обработки экспериментального материала. В результате этого получается разрыв между постепенно увеличивающимся числом новых методов исследования и обработкой материалов и практическим использованием разработанных и апробированных методов.

При изменении режима работы скважины происходит процесс перераспределения давлений по пласту, продолжительность которого зависит от многих факторов: величины пластового давления, геометрических размеров продуктивного пласта, его проницаемости, вязкости пластовой жидкости и т.д.

Сущность метода исследования скважин при установившихся процессах фильтрации состоит в нахождении зависимости дебита от величины депрессии на забое скважины, т.е. разности между пластовым и забойным давлениями, путем последовательного изменения режима работы скважины и измерения при этом установившихся значений забойных давлений и соответствующих им значений дебитов нефти, воды, газа. По построенному графику, называемому индикаторной линией расчетным путем определяют продуктивность скважины, параметры пласта и параметры, характеризующие состояние ПЗП.

Эффективность эксплуатации месторождения во многом определяется продуктивной характеристикой скважин. Поэтому особое внимание уделяется оценке состояния призабойной зоны пласта (ПЗП) и установлению оптимального технологического режима работы скважин.

Отклонение эксплуатационных режимов от оптимальных приводит к существенным осложнениям при эксплуатации скважин: ограничению отбора пластового флюида из скважины; образованию песчаных пробок; выносу песка и воды.

Исходной информацией для оценки состояния ПЗП и установления оптимальных режимов работы скважин являются данные геофизических и гидродинамических исследований.

Интерпретация этих данных представляет определенные трудности, особенно в условиях слабоустойчивых терригенных коллекторов, склонных к пескопроявлению, тем более что существующие конструкции забойного оборудования эксплуатационных скважин не позволяют оценить состояние фильтровой части геофизическими методами исследований скважин.

Разработанные за последние время методы исследований скважин и пластов при установившихся режимах эксплуатации имеют ограниченность применения в части: определения фильтрационных характеристик пласта; оценки состояния ПЗП; оценки состояния фильтровой части скважины; выявления динамики фильтрационных характеристик пласта и продуктивности скважин; количественной оценки критических дебитов скважин в условиях выноса песка и пластовой воды, а также режимов энергосбережения.

Оценке состояния ПЗП посвящены работы С.М. Тверковкина, Г.А. Зотова, Гриценко А.И., В.К. Зинченко, О.М. Ермилова, С.Н. Бузинова, И.Д. Умрихина, А.И. Петрова, В.Н. Васильевского и др.

Данная инструкция предназначена для выполнения работ по оценке состояния призабойной зоны пласта (ПЗП) и диагностике эксплуатационных скважин по результатам гидродинамических исследований при стационарных режимах фильтрации нефти (газа). Инструкция применима для эксплуатационных скважин, приуроченных к терригенным и карбонатным коллекторам.

Анализ данных гидродинамических исследований в соответствие с предлагаемой инструкцией позволяет:

- определять работающие интервалы пласта;

- определять фильтрационные свойства пласта (коэффициент проницаемости);

- оценивать степень кольматации забойных фильтров и высоту песчаной пробки на забое скважины;

- оценивать изменение во времени фильтрационных характеристик призабойной зоны пласта;

- прогнозировать продуктивную характеристику эксплуатационных скважин;

- оценивать интенсивность выноса песка из пласта в скважину и предельно-допустимые дебиты скважин.

Методика обработки результатов исследований

Уравнение притока к забою скважины при нелинейном законе фильтрации имеет вид:

для жидкости

; (141)

для газа

, (142)

где - пластовое давление; - давление на забое работающей скважины; Q - дебит жидкости (газа) при стандартных условиях; , -коэффициенты фильтрационного сопротивления.

Уравнения (141), (142) записывают также в виде:

для жидкости

; (143)

для газа

, (144)

где для жидкости и соответственно для газа

Графическое изображение уравнений (143) и (144) в координатах , или, соответственноназывают индикаторной линией. Стандартная индикаторная линия, например, для газа имеет вид квадратичной параболы, выходящей из начала координат с положительными значениями коэффициентов , .

В промысловой практике форма индикаторной линии может существенно отличаться от стандартной в силу ряда причин геологического, технологического и технического характера.

К геологическим факторам, искажающим форму индикаторной линии, следует отнести, в первую очередь, анизотропию пласта-коллектора, а также наличие низкопроницаемых сред и тектонических нарушений.

Перенос из пласта к скважине глинистых частиц и мелких фракций песка, а также поступление пластовой воды, накопление на забое скважины и вынос на поверхность песка и воды определяют технологические факторы.

Из технических факторов следует отметить конструкцию забоя скважины и забойного оборудования, а также технические средства для замера дебита скважины и давления.

Типовые индикаторные линии (для газа), выявленные по данным исследований, приведены на рисунке 8.

Поскольку исследования при стационарных режимах фильтрации дают информацию о состоянии призабойной зоны пласта, эти исследования необходимо проводить при умеренных дебитах скважины, по возможности, исключая проявление отрицательных факторов.

Методика проведения испытаний, замера дебита скважины и определения забойного давления должны соответствовать требованиям инструкции или руководству по исследованию скважины.

Определение пластового давления связано обычно с некоторыми трудностями. Согласно принятой физической модели стационарной фильтрации газа пластовое давление при всех режимах исследования принимается постоянным и равным давлению на границе области влияния исследуемой скважины. Фактически же при работе группы скважин пластовое давление зависит от степени их взаимодействия и изменяется в той или иной мере от режима к режиму. Поэтому по результатам исследований определяется некоторое условное значение пластового давления.

ТИПОВЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАСТА

	Гидравлическая характеристика	Индикаторная линия	Возможные причины аномалии
а			Стандартная индикаторная линия 1. - 2. -
б			Занижено пластовое давление
в			Завышено пластовое давление
г			Кольматация каналов фильтрации, вынос песка
д			Включение новых каналов фильтрации, очистка ПЗП и скважины
е			Работает 2 пласта и более

Рис. 8.

Из формулы (141) и (142) следует, что пластовое давление равно забойному давлению при дебите газа равном нулю, т.е. давлению на забое остановленной (закрытой) скважины. В пластах с высокой проницаемостью и малой степенью анизотропии это условие в большинстве случаев выполняется (схемы а, г, д). В условиях значительной анизотропии и низкопроницаемых сред пластовое давление, определенное по давлению на забое остановленной скважины, может быть либо заниженным (недовосстановление), либо завышенным (схемы а и б, соответственно). В этом случае определяется условное пластовое давление по одному из изложенных ниже способов.

1. Строится гидравлическая характеристика пласта в координатах

или и методом графической экстраполяции кривой до оси ординат определяется условное пластовое давлениеили. Данные исследования обрабатываются по уравнению:

для жидкости

; (145)

для газа

; (146)

2. Используя значение замеренного пластового давления, строят графическую зависимость для жидкости или для газа, и методом графической экстраполяции до оси ординат определяют отрезок . В дальнейшем при обработке данных исследований используют уравнение:

для жидкости

; (147)

для газа

, (148)

при этом условное пластовое давление равно

, (149)

или

. (150)

По литературным источникам коэффициент учитывает недостаточность стабилизации пластового и забойного давлений, а также наличие жидкости на забое скважины. Обычно коэффициентопределяется методом экстраполяции индикаторной линии до оси ординат. Возможны положительные и отрицательные значения этого коэффициента.

3. Условное пластовое давление рассчитывается с использованием метода наименьших квадратов.

Решается система линейных уравнений (на ЭВМ по стандартной программе):

- для жидкости , (151)

или

-для газа , (152)

где ; - число режимных точек, откуда определяются все искомые параметры , и .

Метод наименьших квадратов (формализованный по своей сути) сглаживает индикаторную линию, приводит ее к параболическому виду, исключая возможные отклонения за счет различного рода физических процессов (разрушение пласта, прорыв пластовой воды, подключение неработающих интервалов и др.). Поэтому, перед расчетом необходимо выявить аномалии и отбраковать режимы на конечных участках индикаторной линии (схемы г и д).

Коэффициенты фильтрационного сопротивления и могут быть определены также графоаналитическим методом обработки индикаторной линии. В этом случае при найденном значении условного пластового давления строится графическая зависимость для жидкостиили для газа. Отрезок, отсекаемый на оси ординат дает значение коэффициента А, а тангенс угла наклона прямой линии к оси абсцисс - значение коэффициента В.

Качество диагностики скважин во многом определяется достоверностью используемых физических и математических моделей, процессов, протекающих в пласте при фильтрации нефти (газа), а также методологией постановки гидрогазодинамических исследований и интерпретацией полученных результатов.

В основу разработки методики диагностики положены проведенные нами исследования по переоценке представлений об информативности коэффициентов фильтрационных сопротивлений, входящих в уравнение притока.

Диагностика выполняется на основе анализа коэффициентов фильтрационного сопротивления.

Теоретические значения коэффициентов А и В для случая плоскорадиальной фильтрации нефти (газа) с учетом гидродинамического несовершенства скважины по степени и по характеру вскрытия пласта рассчитываются по формулам:

для жидкости

; (153)

; (154)

для газа

; (155)

, (156)

где - коэффициент динамической вязкости газа, ; - плотность газа при стандартных условиях, ; - коэффициент сверхсжимаемости газа; - средняя температура в пласте; - стандартное давление, ;- стандартная температура, ;- коэффициент проницаемости, ; - эффективная толщина пласта, ; - радиус контура питания, ; - радиус скважины, м; и - коэффициенты гидродинамического несовершенства скважины по степени вскрытия пласта; и - коэффициенты гидродинамического несовершенства скважины по характеру вскрытия пласта; - коэффициент, учитывающий извилистость поровых каналов.

Радиус контура питания при работе группы скважин принимается равным половине расстояния между скважинами. Радиус скважины принимается равным радиусу скважины по долоту, когда открытый забой или перекрыт перфорированной колонной, или радиусу фильтра (каркаса фильтра).

Коэффициенты ирассчитываются по формулам:

; (157)

, (158)

где - степень вскрытия пласта, ; – глубина, на которую вскрыт пласт; - радиус зоны, в которой сказывается влияние отверстия перфорации ; в открытом стволе или при наличии фильтра -.

Формула (157) является приближенной, для уточнения этой формулы (при малых значениях ) рассмотрим модель по определению коэффициентов несовершенства скважины, представленную в работе (Басниева).

Используем уравнение фильтрации Дарси:

. (159)

Скорость фильтрации выразим в виде:

. (160)

Тогда уравнение (159) примет вид:

(161)

или

, (162)

где – параметр, не зависящий от координат линий тока,

; (163)

Проинтегрируем уравнение (162):

(164)

или

, (165)

где

. (166)

Здесь - эффективная толщина пласта, зависящая от радиуса фильтрации,

, (167)

, (168)

, . (169)

После интегрирования уравнений (166) получаем

(170)

где

. (171)

На рис.9 показана зависимость коэффициента гидродинамического несовершенства скважины по степени вскрытия пласта от степени вскрытия, определенные по формулам (157) и (171), где наглядно видно преимущество формулы (171) для определения- при малых значения.

Коэффициенты ирассчитываются при перфорированной колонне по формулам:

Зависимость коэффициента гидродинамического несовершенства

скважины по степени вскрытия пласта от степени вскрытия

1 – по формуле (157); 2 – по формуле (171)

Рис. 9.

(172)

(173)

где - число перфорационных отверстий на 1 п.м. толщины пласта; - длина перфорационного канала (при пулевой перфорации , при кумулятивной перфорации l=0,2 м).

Для рассчета дебитов газовых скважин несовершенных по степени и по характеру вскрытия при нарушении закона Дарси предлагается следующая схема.

РИС. *. Схема притока газа к несовершенной по степени и характеру вскрытия скважине.

Круговой пласт, в центре которого находится скважина, делится на три области. Первая область имеет радиус R1 = (2 ¸ 3)rc, здесь из – за больших скоростей вблизи перфорационных отверстий происходит нарушение закона Дарси, т. е. в основном проявляется несовершенство по характеру вскрытия. Вторая область представляет собой кольцевое пространство R1 < r < R2, R = h, здесь линии тока искривляются из – за несовершенства скважины по степени вскрытия пласта. В третьей области R2 < r < Rk, течение плоскорадиальное.

Для третьей области запишем:

(*)

Во второй области:

, (**)

Обе формулы являются приближенными, которые имеют место при b>> R1.

Для первой области:

,

где – определяют по графикам В. И. Щурова - (), или по формулам (см. выше 170-173).

Складывая почленно (*), (**), (***) и пренебрегая величиной, получим уравнение притока газа к несовершенной скважине в виде

(****)

Если записать (****) через коэффициенты фильтрационных сопротивлений А1 и В1 , то для несовершенной скважины получим:

,(*****)

.

Формулы по коэффициентам несовершенства (могут быть уточнены, для решения поставленной задачи рассмотрим схему (Рис. *).

Выразим скорость фильтрации в виде

(169)

Уравнение (5) запишем в виде

,(170)

где m и n – параметры, зависящие от координат линий тока

,(171)

.(172)

Для уточнения формул (164) проинтегрируем уравнения (160)

,(173)

,(174) где ,.

Решения уравнений (173) и (174) позволяют уточнить формулы (164):

,

.(175)

При открытом забое и при наличии фильтра ,. Предельным случаем фильтрации к гидродинамически несовершенной скважине по степени вскрытия пласта (полная кольматация фильтра, работает одно или несколько отверстий, промытых потоком газа) является радиально-сферическая фильтрация. При этом коэффициенты иравны:

(174)

(175)

где - коэффициент, учитывающий геометрию фильтрационного потока; - сферическая фильтрация; - полусферическая фильтрация.

Размерность коэффициентов фильтрационного сопротивления:

для жидкости для газа

; ;

; .

Как видно из теории коэффициенты фильтрационного сопротивления зависят в основном от коэффициента проницаемости и степени вскрытия пласта δ, причем эти два параметра входят в расчетные формулы (153) и (154) или (155) и (156) в различных соотношениях. Следовательно, только совместный анализ двух коэффициентов (и) позволяет определить две неизвестные величины (и).

Обозначим

для жидкости

, (176)

, (177)

для газа

, (178)

, (179)

где и- коэффициенты, учитывающие физические свойства пластовой жидкости;

, (180)

, (181)

где - степень вскрытия пласта;и- функции гидродинамического несовершенства скважины.

Тогда формулы (153) и (154) или (155) и (156) принимают вид:

, (182)

. (183)

Из совместного решения (182) и (183) получаем:

(184)

где ; (185)

и - фактические значения коэффициентов фильтрационного сопротивления, полученные по результатам исследования.

Лекция 7.

Фильтрация жидкости и газа в неоднородных пластах по закону Дарси.

В природных условиях продуктивные нефтегазосодержащие пласты редко бывают однородными. Если проницаемость и пористость пласта неодинаковы в различных точках, то пласт называется неоднородным.

Нередко встречаются такие пласты, значительные области которых сильно отличаются друг от друга по фильтрационным характеристикам. Это, так называемые , макронеоднородные пласты, параметры которых существенно влияют на характеристики фильтрационных потоков. При расчетах элементарных фильтрационных потоков в макронеоднородных пластах также удобно прибегнуть к схематизации геометрии движения и найти такие эквивалентные значения коэффициентов фильтрационного сопротивления, применив которые, можно использовать полученные в предыдущем параграфе формулы для однородного пласта.

В пластах коллекторах выделяют следующие макронеоднородности:

Слоистая неоднородность, когда пласт разделяется на несколько слоев, в каждом из которых проницаемость в среднем постоянна, но отлична от проницаемости соседних слоев. Такие пласты называют также неоднородными по толщине.

Границы раздела между слоями и различными проницаемостями считают обычно плоскими. В модели слоистой пористой среды предполагается, что проницаемость меняется только по толщине пласта и является кусочной функцией вертикальной координаты.

Зональная неоднородность– пласт по площади состоит из нескольких зон различной проницаемости. В пределах одной и той же зоны проницаемость в среднем одинакова, но на границе двух зон скачкообразно изменяется. Таким образом, имеет место неоднородность по площади пласта.

Неоднородные пласты– проницаемость является известной непрерывной или случайной функцией координат точек области фильтрации.

Таким образом, в результате схематизации фильтрационных потоков можно выделить:

1) прямолинейно-параллельный, плоскорадиальный и радиально-сферический потоки в слоисто-неоднородном пласте;

2)прямолинейно-параллельный, плоскорадиальный и радиальносферический потоки в зонально-неоднородном пласте;

3) прямолинейно-параллельный, плоскорадиальный и радиальносферический потоки в пластах, где проницаемость является непрерывной или случайной функцией координат точек области фильтраци

Прямолинейно – параллельный поток в неоднородных пластах

Пласт насыщен жидкость или газом.

Рис. 11. Прямолинейно – Рис. 12. Прямолинейно -

параллельный поток в параллельный поток в

в слоисто – неоднородном пласте. зонально – неоднородном пласте.

Модель флюида

Характеристика	Несжимаемая жидкости	Совершенный газ
Слоисто – неоднородный пласт
Распределение давления в пропластках	(186)	(187)
Массовый расход i – го пропластка	(188)	(189)
Массовый расход пласта	(190)	B- ширина пласта (191)
Скорость фильтрации в пропластке	(192)	(193)
Время движения частиц в i – ом пропластке	(194)	(195)
Зонально – неоднородный пласт
Распределение давления в i – ой зоне	(196)	(197)
Массовый расход i – ой зоны	(198)	(199)
Массовый расход пласта	(200)	(201)
Скорость фильтрации i – ой зоны	(202)	(203)
Время движения частиц вдоль i – ой зоны	(204)	(205)

Плоскорадиальный поток в неоднородных пластах

Рис. 13. Кривые распределения Рис. 14. Распределение

давления для жидкости (1) и давления в плоскоради

для газа (2) в слоисто – неодно – альном потоке несжима –

родном пласте. емой жидкости в зо -

нально неоднородном пласте.

Модель флюида

Характеристика	Несжимаемая жидкость	Совершенный газ
Слоисто – неоднородный пласт
Распределение дав – ления в пропластках	(206)	(207)
Массовый расход i – го пропластка	(208)	(209)
Скорость фильтрации i–го пропластка	(210)	(211)
Зонально – неоднородный пласт
Распределение давления в i – ой зоне	(212)	(213)
Массовый расход i – ой зоны	(214)	(215)
Скорость фильтрации i – ой зоны	(216)	(217)

Лекция 8

Понятие о потенциале точечного источника и стока

на плоскости в пространстве.

Метод суперпозиции.

Разработка нефтяных и газовых месторождений осуществляется не единичными скважинами. Для обеспечения необходимого уровня добычи жидкости или газа нужно определенное количество скважин. Сумма дебитов этих скважин должна обеспечить заданный отбор из месторождения. Поэтому в фильтрационных расчетах, связанных с разработкой месторождений, необходимо рассматривать множество скважин, размещенных определенным образом на площади нефтегазоносности, в зависимости от параметров пластов и свойств насыщающих их флюидов. При этом возникают гидродинамические задачи определения давлений на забоях скважин при заданных дебитах или определения дебитов скважин при заданных из технических или технологических соображений забойных давлений.

При решении этих задач нужно учитывать, что при работе скважин наблюдается их взаимное влияние друг на друга – интерференция скважин. Это влияние выражается в том, что при вводе в эксплуатацию новых скважин суммарная добыча из месторождения растет медленнее, чем число скважин.

Точечным стоком назовем точку на плоскости, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения. Точечный источник – это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины).

Потенциал течения выразим как функцию, производная которой с обратным знаком вдоль линии тока равна скорости фильтрации, т. е.

(218)

сравнив с законом Дарси видно, что потенциал для несжимаемой жидкости связан с давлением формулой:

(219)

Точечным стоком назовем точку на плоскости, поглощающую жидкость. Сток можно рассматривать как гидродинамически совершенную скважину бесконечно малого радиуса в пласте единичной толщины. На плоскости вокруг точечного стока будет радиальная картина движения. Точечный источник – это точка, выделяющая жидкость (модель нагнетательной скважины).

Потенциал для точечного стока на плоскости, так как точечный сток является моделью добывающей скважины и течение вокруг него плоскорадиальное, то можно воспользоваться формулой фильтрации для такого потока:

, (220)

где - дебит скважины-стока, приходящийся на единицу толщины пласта.

Для плоскорадиального потока

, (221)

откуда

. (222)

После интегрирования получаем выражение потенциала для точечного стока на плоскости:

, (223)

где С – постоянная интегрирования.

Потенциал в окрестности скважины – стока пропорционален логарифму расстояния r от стока (центра скважины). При ифункцияобращается в бесконечность, поэтому потенциал в этих точках теряет смысл.

Потенциал точечного стока в пространстве, движение вблизи такого стока будет радиально-сферическим. Поэтому скорость фильтрации

, (224)

откуда

, (225)

и потенциал точечного стока в пространстве

. (226)

Для потенциала точечного источника знак дебита в формуле (226) меняется на противоположный.

Распределение давления и потенциал в установившихся потоках несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа, которое для плоских течений имеет вид

(227)

Математический смысл метода суперпозиции заключается в том, что если имеется несколько фильтрационных потоков с потенциалами Ф₁(x,y), Ф₂(x,y),….., Ф_n(x,y), каждый из которых удовлетворяет уравнению Лапласа, т.е.

т. е.

, (228)

то и сумма (где С_i– произвольные постоянные) также удовлетворяют уравнению Лапласа (227).

Гидродинамический смысл метода суперпозиции состоит в том, что изменение пластового давления и потенциала в любой точке пласта, вызванное работой каждой скважины, подчиняется так, как если бы данная скважина работала в пласте одна, совершенно независимо от других скважин; затем эти независимо определенные для каждой скважины изменения давления и потенциала в каждой точке пласта алгебраически суммируются. Суммарная скорость фильтрации находится как сумма векторов скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины по правилам сложения векторов.

Пусть на неограниченной плоскости расположено nисточников и стоков. Потенциал каждого из них в точке М определяется по формуле (223):

;, (229)

где - расстояния от первого, второго, ….n– го стоков до точки М;- постоянные.

Каждая из функций удовлетворяет уравнению Лапласа. Тогда сумма потенциалов

, (230)

также удовлетворяют уравнению Лапласа. Физически это означает, что фильтрационные потоки от работы каждого источника или стока накладываются друг на друга. В этом и заключается принцип суперпозиции, или сложения течений.

Приток жидкости к группе скважин в пласте с удаленным

контуром питания.

Дано: Горизонтальный пласт, толщиной h; А1, А2,…,Аn – группа скважин с радиусомrci, которые работают с различными забойными потенциалами Фci,

i= 1,2,…,n, Фк– потенциал на контуре питания. Расстояние между центрами

i– й иj- й скважин известны. Контур питания находится далеко от всех скважин, поэтому можно приближенно считать, что расстояние от всех скважин до всех точек контура одно и тоже и равно.

Рис. 15.

Схема группы скважин в пласте с удаленным контуром питания.

Определить: дебит каждой скважины и скорость фильтрации в любой точке пласта.

Решение:Потенциал в любой точке пласта М определим из выражения (230)

где - дебит скважины – стока, приходящейся на единицу толщины пласта;r1,r2,…,rn– расстояние от первого, второго, n – го стоков до точки М; С1, С2,…,Сn - постоянные. С = С1 + С2 +Сn.

Точку М последовательно поместим на забой каждой скважины, получим выражения забойного потенциала на них в виде

(231)

Дополнительное уравнение получаем, поместим точку М на контур питания:

(232)

Вычитая почленно каждое из уравнений (231) из (232), исключив постоянную С получим систему изnуравнений, из которой можно определить дебиты скважинq1,q1,…,qn, если заданы забойные и контурные потенциалыФс1, Фс2,…, Фcn, Фк. Таким образом, можно решить обратную задачу определения потенциалов по известным дебитамqi (i = 1,2,…,n).

Имеем:

(233)

Чтобы определить физический смысл полученных соотношений в уравнениях (233) перейдем от потенциалов к давлениям, используя формулу (219), получаем:

;

……………………………………………………..

. (224)

полная потеря давления на стенке любой скважины равна сумме потерь давления от работы всех скважин:

. (225)

Скорость фильтрации в любой точке пласта Мопределяется как геометрическая сумма скоростей фильтрации, вызванных работой каждой скважины и направлена по радиусу от точки М к данной скважине – стоку:

. (226)

Приток жидкости к скважине в пласте с прямолинейным

контуром питания.

В полубесконечном пласте с прямолинейным контуром питания, на котором потенциал равен Фк, работает одна добывающая скважина А с забойным потенциалом Фс.

Определить:дебит скважиныq, потенциал и скорость фильтрации в любой точке пласта.

Рис. 16. Схема притока жидкости к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания.

Для решения этой задачи используем метод отображения источников и стока. Зеркально отобразим скважину – сток А относительно контура питания и дебиту скважины – изображения припишем противоположный знак, т.е. будем считать ее скважиной-источником.

Рассмотрим в бесконечном пласте совместную работу двух скважин: скважины стока А с дебитом qи скважины – источника А¢с дебитомq. Потенциал в любой точке М, находящейся на расстоянииr1, от скважины А иr2 от скважины А¢:

(227)

Потенциал на контуре питания можно выразив подставив в , в результате чего получаем:

(228)

Из (227) с учетом (228) потенциал на забое скважины А можно выразить следующим образом:

(229)

Из (229) выражение для дебита скважины А (для единицы толщины пласта), получим:

(230)

Если бы контур питания был окружность радиуса а, то дебит скважины был бы равен (по формуле Дюпюи):

(231)

Из (227) с учетом (228) определим потенциал в любой точке М:

. (232)

скорость фильтрации равна геометрической сумме скоростей фильтрации, вызванных работой реальной скважины – стока А и фиктивной скважины – источника ,, гдеи направлена к скважине А;

и направлена от скважине .

Приток жидкости к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин

На примере притока жидкости к нескольким рядам или кольцевым батареям скважин можно ознакомиться с широко применяемые при проектировании разработки нефтяных месторождений методом эквивалентных фильтрационных сопротивлений, предложенным Борисовым и основанным на аналогии движения жидкости в пористой среде с течением электрического тока в проводниках.

Для понимания данного вопроса рассмотрим задачу о притоке жидкости к одной бесконечной цепочке скважин, расположенных на расстояниях друг от друга и на расстоянииLот прямолинейного контура питания. При этом условимся, что на контуре питания будет постоянный потенциал, а на забоях скважин -. Определим дебит каждой скважины и суммарный дебитnскважин в цепочке.

Таким образом цепочка скважин-стоков отображается зеркально относительно контура питания в скважины-источники, и рассматривается интерференция двух цепочек скважин в неограниченном пласте.

Данная задача решается методом суперпозиции. Результаты решения показывают, что на расстоянии от контура до половины расстояния между скважинами движение жидкости практически прямолинейное и падение потенциала на этом участке происходит по закону прямолинейной фильтрации.

Основное падение потенциала происходит вблизи скважины, где характер движения близок к радиальному. При этом дебит каждой скважины цепочки выражается следующей формулой:

, (233)

где - геперболический синус.

В случае, когда величинаочень мала и тогда.

Отсюда следует, что при дебит скважины определяется следующим образом:

. (234)

Введем обозначения

,,

формулу (234) представим в виде, аналогичном закону Ома.

. (235)

Величина по терминологии Ю.П. Борисова, называется внешним фильтрационным сопротивлением батареи,- внутренним. Таким образом, приток жидкости к цепочке скважин можно представить схемой эквивалентных фильтрационных сопротивлений.

Аналогом объемного расхода служит сила тока, а аналогом разности фильтрационных потенциалов – разность электрических потенциалов. Суммарный дебит прямолинейной цепочки изnскважин

. (236)

Из формулы (236) следует выражение для внешнего фильтрационного сопротивления цепочки: , которое представляет собой сопротивление потоку жидкости от контура питания до галереи длиной, расположенной на расстоянииLот контура питания, а внутреннее сопротивлениевыражает сопротивление, возникающее при подходе жидкости к скважинам в зоне радиусом, где фильтрация практически плоскорадиальная.

Лекция 9

Виды несовершенства скважин

Скважина называется гидродинамически совершенной, если она вскрывает продуктивный пласт на всю толщину и забой скважины открытый, т.е. вся вскрытая поверхность забоя является фильтрующей.

Если скважина с открытым забоем вскрывает пласт не на всю толщину h, а только на некоторую глубинуb, то ее называют гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта. при этомназывается относительным вскрытием пласта.

если скважина вскрывает пласт до подошвы, но сообщение с пластом происходит только через специальные отверстия в обсадной колонне и цементном камне или через специальные фильтры, то такую скважину называют гидродинамически несовершенной по характеру вскрытия пласта.

Встречаются скважины и с двойным видом несовершенства – как по степени, так и по характеру вскрытия пласта. тепень вскрытия пласта имеют очень важное значение при разработке месторождений нефти и газа, так как они определяют фильтрационные сопротивления, возникающие в призабойной зоне, и, в конечном итоге, производительность скважин.

Приток жидкости к несовершенным скважинам

при выполнении закона Дарси.

Приток жидкости к несовершенной скважине даже в горизонтальном однородном пласте постоянной толщины перестает быть плоскорадиальным. строгое математическое решение задачи о притоке жидкости к несовершенной скважине в пластах конечной толщины представляет большие трудности.

Путем подбора интенсивности расходов qи используя метод суперпозиции действительных и отображенных стоков, М. Маскет получил формулу для дебита гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта скважины:

, (237)

где

(238)

функция степени вскрытия пласта - имеет следующее аналитическое выражение:

, (239)

где - интеграл Эйлера второго рода, называется гамма – функцией, для которой имеются таблицы в математическом справочнике.

При d= 1, т.е. пласт вскрыт полностью, (237) переходит в формулу Дюпюи для плоскорадиального потока.

Кроме того, для расчета несовершенной по степени вскрытия пласта скважины используется более простая формула, чем (237) М. Маскета, предложенная И. Козени:

(240)

Гидродинамическое несовершенство скважины характеризуется коэффициентом совершенства скважины, , гдеQ– дебит несовершенной скважины,Qсов – дебит совершенной скважины.

Широкое распространение получил метод расчета дебитов несовершенных скважин, основанный на электрогидродинамической аналогии фильтрационных процессов.

Дебит гидродинамически несовершенной скважины подсчитывается по формуле

, (241)

где С = С1 + С2– дополнительное фильтрационное сопротивление, вызванное несовершенством скважины по степени вскрытия пласта (С1) и характеру вскрытия (С2).

Измеряя разность потенциалов и силу тока, можно подсчитать сопротивление по закону Ома, сделать пересчет на фильтрационное сопротивление и определить дополнительное фильтрационное сопротивление.

В. И. Щуровым были проведены такие экспериментальные исследования, в ходе которых им были определены дополнительные фильтрационные сопротивления С1 иС2для различных видов несовершенства скважин и построены соответствующие графики.

Выражение дополнительного фильтрационного сопротивления получено И. А. Чарным с использованием формулы Маскета (237) в виде

, (242)

где j(d) определяется по формуле (239) или по графику.

А. М. Пирвердян получил для коэффициента С1 следующее выражение

(243)

Сравнив дебиты совершенной скважины (формула Дюпюи) и несовершенной скважины (241), получим выражения коэффициента совершенной скважины в следующем виде:

. (244)

Иногда бывает удобно ввести понятие о приведенном радиусе скважин , т.е. радиусе такой совершенной скважины, дебит которой равен дебиту данной несовершенной скважины:

. (245)

Тогда (241) можно заменить следующей формулой:

. (246)

Лекция 10

Двухфазная фильтрация несмешивающихся жидкостей.

Проектирование и анализ разработки нефтяных и газовых месторождений проводится с использованием данных по исследованию течения в пористой среде нескольких жидкостей, т.е. рассматривается многофазная фильтрация.

Формирование залежей происходит в результате оттеснения из пластов-коллекторов первоначально находившейся там воды. поэтому вместе с нефтью и газом в коллекторах содержится некоторое количество так назаваемой остаточной воды, а кроме того, многие продуктивные пласты заполнены нефтью и газом лишь в верхней купольной части, а нижележащие зоны заполнены краевой водой. Самые верхние части нефтяных залежей содержат газ, образующий так называемые газовые шапки, которые могут как существовать изначально, так и появиться в процессе разработки залежи. Таким образом, даже в неразбуренном пласте может находиться несколько отдельных подвижных фаз.

На вытеснении нефти водой или газом основана технология ее извлечения из недр при разработке месторождений.

Рассмотрим процесс вытеснения, происходящий в прямолинейном тонком горизонтальном образце (Рис. 18), представленной однородной и изотропной средой.

Врассматриваемый образец первоначально заполненный нефтью, через сечениеx= 0 закачивается вода.

Опыты показывают, что расход каждой фазы растет с увеличением насыщенности и градиента давления. Рис. 18. Схема прямолинейно параллельного вытеснения нефти водой.

В этом случае закон фильтрации каждой фазы можно представить в виде обобщенного закона Дарси в дифференциальной форме:

(247)

(248)

Здесь Wв , Qв иWн , Qн – скорости фильтрации и объемные расходы соответственно воды и нефти,mв, mн– коэффициенты динамической вязкости фаз,kв(S)иkн(S)– относительные фазовые проницаемости,S = Sв – водонасыщенность.Sв + Sн = 1

Исключим градиент давления , поделив почленно одно на другое уравнения (247) на (248):

,(249)

где .

Применив к (249) правило производных пропорций и использовав соотношения Wв + Wн = W(t)илиQв + Qн = Q(t), (*) и использовав (249) получим:

(250)

Обозначим

(251)

Из предыдущего равенства найдем:

и (252)

Функция насыщенности f(S), называется функцией распределения потоков фаз или функцией Бакли – Леверетта.

Из (252) следует, что f(S), представляющая отношение скорости фильтрации (или расхода) вытесняющей фазы (воды) и суммарной скоростиW(или расходаQ), равна объемной доле воды в суммарном потоке двух фаз. Функцияf(S)определяет полноту вытеснения и характер насыщенности по пласту. Задача повышения нефти – и газоконденсатоотдачи в значительной степени сводится к применению таких воздействий на пласт, которые, в конечном счете изменяют видf(S)в направлении увеличения полноты вытеснения.

Из (174) видно, что функция f(S)полностью определяется относительными фазовыми проницаемостями (Рис. 19).

Сростом водонасыщенности f(S) моно

тонно возрастает от 0 до 1. Характерная

особенность графика f(S)– наличие точки

перегиба Пс насыщенностьюSп, участков

вогнутости и выпуклости, где вторая про –

изводная f¢¢(S)соответственно больше и

меньше нуля. Эта особенность в большей

степени определяет специфику фильтра –

ционных задач вытеснения в рамках

модели Бакли – Леверетта.

Рис. 19. Зависимость объемной доли вытесняющей фазы (воды) в потоке f(а) и ее производной (б) от насыщенности.

Уравнение

(253)

Уравнение (253), является дифференциальноым уравнением только относительно насыщенности. Изменение насыщенности во времени по пласту можно получить в результате решения уравнения (253) независимо от распределения давления р(x, t). Уравнение (253) является уравнением Бакли – Леверетта. Для нахождения распределения насыщенности к уравнению (253) нужно добавить начальное и граничное условия:

при t = 0

при x = 0(254)

Первое из уравнений (254) означает, что в момент времени t= 0 (до начала процесса вытеснения) в пласте имеется некоторое известное распределение насыщенностиSвытесняющей фазы, определяемое функциейj(x). Согласно второму условию (254), приt> 0 в пласт через нагнетательную галерею, расположенную на “линии”x = 0, закачивается вытесняющая жидкость (вода), насыщенность которой приx = 0меняется со временем по заданному законуy(t).В некоторых случаях можно считать, что

(255)

Это – случай кусочно-постоянных начальных данных, имеющий важное значение для практических приложений. Величина начальной водонасыщенности влияет на процессы заводнения и определяет структуру зоны вытеснения.

В гидродинамических расчетах часто удобно пользоваться эмпирическими зависимостями значений относительной фазовой проницаемости от насыщенности, полученными из экспериментальных данных. Рассмотрим эмпирические формулы, полученные Чень-Чжун-Сяном, которые можно принять при оценочных расчетах.

1. Для воды и нефти (s– водонасыщенность):

;

; (256) 2. Для воды и газа (s-газонасыщенность):

;

; (257)

Решение уравнения Бакли – Леверетта.

В процессе нагнетания воды в пласт ее насыщенность будет меняться со временем вдоль направления движения x. Связь междуS,xиtможно записать в функциональной формеS = S (x, t)или, что эквивалентно, в дифференциальной форме

. (258)

Рассмотрим на плоскости такие линии, вдоль которых насыщенность принимает заданное постоянное значение. Эти линии называются изосатами (т.е. линии постоянной насыщенности).

Для любого заданного значения можно установить такую связь между xиt, что удовлетворяется уравнениеS = S (x, t) = constили эквивалентное дифференциальное уравнение.

Решим совместно два уравнения:

(259)

Решение системы уравнений (259) дает соотношение между xиtв дифференциальной форме.

Из решения уравнений (259) находим:

(260)

Производная dx/dtвычисляется при постоянном значенииS, т. е.

dx/dt = ¶x/¶t.

Найдем положение х(после интегрирования 260) заданного значения насыщенности как функцию времени:

,(261)

где хо– значения координат с начальной водонасыщенностьюSo приt = 0.

Таким образом, уравнения (260) и (261)

dx/dt = w/mf¢(s)

и

x(s) = w/mf¢(s)t + xo

можно использовать для расчета скорости и координаты данного значения насыщенности в области непрерывного профиля, и уравнения

(262)

индексом “с” обозначены величины, относящиеся к фронту (скачку) насыщенности, а ,выражение (262) задает скорость Vc распространения фронта насыщенности и известно как условие на скачке.

Равенство (262) имеет простой геометрический смысл: скорость скачка Vc пропорциональная тангенсу угла наклона к оси S секущей, соединяющей точки кривойf(S),имеющие абсциссы с коэффициентом пропорциональности w/m.

Если насыщенности по обе стороны фронта постоянны, уравнение (262) можно проинтегрировать и найти положение фронта как функцию времени:

, (263)

где хco – положение скачка приt = 0 (хco = 0).

При помощи (262) и (263) можно найти скорость и положение скачка насыщенности.

Приведем простой способ графического построения профиля насыщенности, который состоит в следующем (Рис. 19):

1). В соответствии с данными о фазовых проницаемостях флюидов по формуле (*) кривая Бакли – Леверетта f(S).

2). Из точки ана кривойf(S), соответствующей начальной водонасыщенностиSo в пласте, проводится касательная кf(S).

3). Насыщенность в точке касания Sс есть насыщенность, которая устанавливается в пласте непосредственно за фронтом (т.е.);

4). Отрезок на рис. 19б представляет величину скачка насыщенностиSс – So, которая не меняется со временем (стационарный скачок);

5). Скорость перемещения постоянных насыщенностей, больших Sс, пропорциональна наклону касательной кf(S)в соответствующей точке.

Расчет определения насыщенности

1). Определим насыщенность Sс на скачке (фронтальную насыщенность) из уравнения

(264)

При численных расчетах Sс вместо решения уравнения (264) удобно использовать (эквивалентный) способ, не требующий дифференцирования экспериментальной функцииf(S). За фронтальную насыщенность следует принять те значенияS, которые обеспечивают максимум дроби:

(265)

Условие (265) означает, что на скачке реализуется то (условие) значение насыщенности, которое обеспечивает ей наибольшую скорость.

2). Зная Sс, из (263) () определяют положениехс, скачка насыщенности.

3). По (261) рассчитывают непрерывную ветвь профиля насыщенности при Sс < S < S*и0 < x < xc.

Практическое применение решения Бакли – Леверетта.

Расчет коэффициентов нефтеотдачи.

На первой стадии вытеснения коэффициент безводной нефтеотдачи Ен определяется как отношение вытесненного водой объема нефти от нагнетательной галереи до фронта к общему объему пор, занятых нефтью до начала вытеснения.

Предположим, что объем закачанной воды равен объему вытесненной нефти, тогда можно записать

(266)

откуда

(267)

Определим среднюю насыщенность

(268)

Равенство (267) имеет следующий геометрический смысл: средняя насыщенность есть абсцисса точки пересечения С1 касательной к кривойf(S), определяющей фронтальную насыщенность с прямойf = 1. Это дает способ графического определенияS.

С учетом (268), (267) примет вид:

.(269)

С учетом равенства

,

(270)

(Эффективность вытеснения возрастает с ростом вязкости mовытесняющей жидкости и уменьшением вязкостиmо вытесняющей нефти. Например, применение пен и загустителей, повышающих вязкость воды, нагнетаемой в нефтяной пласт, может значительно повысить полноту вытеснения и увеличит нефтеотдачу).

Выражение (267) примет вид:

,(271)

Из (271) следует, что коэффициент безводной нефтеотдачи увеличивается при увеличении вязкости вытесняющей фазы mо или при уменьшении вязкости вытесняющей фазыmн.

После прорыва воды через добывающую галерею вводят понятие коэффициента конечной нефтеотдачи Ен°при заданной обводненности на выходе из пласта или после прокачки известного количеств поровых объемов воды.

Величина Ен°находится из равенства:

, (272)

где время окончания добычи

. (273)

Откуда после вычисления получаем

,(274)

где Sl– насыщеннось на выходе из пласта;

Равенство (274) можно представить в виде аналогичном (269) в силу равенства

,(275)

где Sl определим из

, (276)

V(t)– объем закачанной воды к моменту времениt;

И так в силу равенства (274) получаем

.(277)

Полученные здесь простые формулы, вытекающие из точного решения задачи о вытеснении нефти (или газа) водой, применяются при оценочных инженерных расчетах основных технологических параметров разработки нефтегазовых месторождений с использованием процесса заводнения.

Образование застойных зон при вытеснении нефти водой.

Важный эффект фильтрации с предельным градиентом давления – возможность образования в пласте застойных зон, где движение жидкости или газа отсутствует. Эти зоны образуются в тех участках пласта, где градиент давления меньше предельного. Возникновение застойных зон ведет к уменьшению нефтеотдачи пластов. На Рис. 20, а застойная зона 3, расположенная между двумя добывающими скважинами с равными дебитами, заштрихованы.

Рис. 20. Схема образования застойных зон (3): а – между двумя добывающими скважинами; б – при пятиточечной расстановке скважин. 1 – нагнетательная; 2 – добывающая.

Рассмотрим вытеснение нефти водой из пласта с пятиточечной системой расположения скважин (Рис. 20, б). Пусть через нагнетательную скважину 1 закачивается вода, а через добывающую скважину 2 отбирается нефть.

Анализ возникшего при этом двумерного течения показывает, что в зонах 3 (Рис. 20, б) скорость течения будет мала по сравнению со скоростями течения в областях, прилегающих к прямым, соединяющим нагнетательную и добывающую скважины. Поэтому эти зоны и окажутся застойными. Отношение не заштрихованных областей на Рис. 20, б ко всей площади пятиточечной ячейки можно считать площадным коэффициентом охвата пласта заводнением. Показано, что величина застойной зоны и коэффициент охвата пласта зависит от параметра

,(278)

где Q– дебит добывающей скважины,L– характерный размер (например, половина расстояния между соседними скважинами),g- предельный (начальный) градиент.g=Dp/l- это предельное значениеgопределяет ту величину градиента давления (Dp/l)o, по достижении которой начинается движение жидкости. Оказывается, что коэффициент охвата пласта увеличивается с увеличением параметра.