Математика. Справочный материал
Определение функции
Величины, которые встречаются в задачах, можгно разделить на несколько типов. Постоянная величина (например, число 'пи') всегда имеет одно и то же значение. Параметром называется величина, которая характеризует свойство процесса, явления или системы. Примером параметра служит скорость равномерно движущейся частицы, её значение остаётся постоянным, но в различных задачах скорость может принимать разные значения. С помощью переменных величин описывается состояние системы в тот или иной момент времени.
Величина y называется функцией величины x, если каждому значению x из некоторой области X поставлено в соответствие по определённому правилу значение y. Множество X называется областью определения функции, а величина x - независимой переменной (иногда аргументом) функции y. Функциональная зависимость между величинами y и x, выражают так: y = f ( x ); буквой f в этом равенстве обозначено правило, которое устанавливает соответствие между x и y.
Зависимости между физическими величинами обычно стараются представить в виде математических соотношений, буквы, входящие в состав соотношений, обозначают значения величин, а специальные символы – выполняемые над ними операции.
Элементарные функции
Функция a0 x n + a1 x n-1 +…+ an-1 x + an называется многочленом, а вещественные числа a0 ,… an - его коэффициентами; если a0 отлично от нуля, то степень многочлена равна n . Многочлены нулевой степени являются постоянными функциями. Значения x, при которых многочлен обращается в нуль, называются его корнями. Многочлен степени n > 0 имеет не более n корней.
Основанием экспоненциальной функции ex или exp ( x ) служит число Эйлера e = 2.71828… . Все значения экспоненциальной функции положительны, она переводит сумму в произведение, а разность – в отношение:
exp ( x + y ) = exp ( x ) exp ( y ),
exp ( x – y ) = exp ( x ) / exp ( y ),
exp ( -x ) = 1 / exp ( x ).
Функция, обратная экспоненциальной функции exp ( x ), называется натуральным логарифмом и обозначается символом ln x. Таким образом, y = ln ( x ) тогда и только тогда, когда x = exp ( y )
Предел функции
Число b называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к a, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число δ, что | f ( x ) – b | < ε, когда x принадлежит области определения функции f, | x - a | < δ и x не равно a. Таким образом, по мере того, как x приближается к a, f ( x ) приближается к b. Предел функции f ( x ) при x стремящемся к a обозначается символом
lim f ( x ).
x→a
Во многих задачах наряду с обычными числами приходится рассматривать бесконечно удаленные элементы ∞, +∞, -∞. Число b называется пределом функции f ( x ) при x стремящемся к +∞, если для любого положительного числа ε можно указать такое положительное число d, что | f ( x ) – b | < ε, когда x > d.
Свойства пределов
Предел постоянной функции равен этой постоянной. Если при x стремящемся к a существуют пределы lim f (x ) и lim g (x ) , то lim ( f ( x ) + g (x ) ) = lim f ( x ) + lim g ( x ), lim ( f ( x ) g ( x ) ) = lim f ( x ) lim g ( x ): предел суммы равен сумме пределов слагаемых, предел произведения равен произведению пределов сомножителей, постоянный множитель можно выносить за знак предела.
Непрерывные функции
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке а, если она определена в этой точке и lim f ( x ) = f ( а ) когда x стремится к a (малому приращению аргумента соответствует малое изменение функции). Функция f, непрерывная в каждой точке интервала [ a, b ], достигает на нём наибольшего и наименьшего значения и принимает на этом интервале все значения, заключённые между f ( a ) и f ( b ). Таким образом, если областью определения функции служит числовой интервал и она непрерывна в каждой точке этого интервала, то её график можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.
Элементарные функции (постоянные, степенные, показательные, тригонометрические), а также функции, которые получаются из них с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, подстановки функции вместо аргумента другой функции и перехода к обратной функции, непрерывны во всех точках, где они определены.
Определение производной
Производной функции f в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю. Этот предел обозначается символом f´ ( x ):
f´( x ) = lim ( f ( x + h ) – f ( x ) ) / h .
h → 0
Пример
Пусть f ( x ) = x, g ( x ) = x2 , тогда
f´( x ) = lim ( ( x + h ) – x ) / h =
= lim h / h =1,
g´( x ) = lim ( ( x + h ) 2 – x2 ) / h = lim ( 2 x h + h2) / h = lim ( 2 x + h ) = 2 x
(h стремится к 0).
Если функция имеет производную в точке x, то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно: функция f ( x ) = | х | непрерывна, но не имеет производной в нуле.
Правила дифференцирования
( f ( x ) + g ( x ))´ = f´( x ) + g´( x ),
( a f ( x ))´ = a f´( x )
(производная суммы функций равна сумме их производных, постоянный множитель можно выносить за знак производной);
( f ( x ) g ( x )) ´ = f´( x ) g ( x ) +
+ f ( x ) g´ ( x );
( f ( g ( x ) )´ = f´ ( g ( x ) ) g´ ( x );
( f ( a x + b ) )'= a f´ ( a x + b ).
Производные элементарных функций. Производная постоянной функции равна нулю;
( x )´ = 1
( xa )´ = a xa-1
( exp ( x ))´ = exp ( x )
( sin x )´ = cos x
( cos x )´ = - sin x
( ln | x | )´ = 1 / x
Производная второго порядка
Если функция f имеет производную в каждой точке, расположенной вблизи точки x, то можно определить производную второго порядка функции f в точке x:
f΄΄( x )= lim ( f´( x + h ) – ( f´( x ) ) / h
h →0
Таким образом, вторая производная – это «производная производной». Аналогично определяется производная произвольного порядка.
Векторы и направленные отрезки
Значения многих физических величин нельзя представить с помощью одного вещественного числа. Перемещение частицы в пространстве, скорость частицы, её ускорение, силу изображают в виде направленных отрезков, соединющих две точки прямой, плоскости или пространства. Направленный отрезок, началом которого служит точка M , а концом — точка N, обозначается символом MN. Для вычисления координат направленного отрезка MN следует из координат его конца (точки N ) вычесть соответствующие координаты начала (точки M ); они совпадают с его проекциями на оси координат. Частным случаем направленного отрезка является радиус-вектор точки, он соединяет начало координат с этой точкой.
Координаты направленного отрезка длины r, лежащего в плоскости xOy и образующего угол φ с осью Ox, равны ( r cos φ, r sin φ, 0 ). По теореме Пифагора
cos2 φ + sin2 φ = 1
(основное тригонометрическое тождество). Направленные отрезки складывают по правилу параллелограмма или по правилу треугольника, при сложении направленных отрезков их одноимённые координаты складываются, а при умножении направленного отрезка на число каждая координата умножается на это число.
Во многих задачах приходится рассматривать наборы вещественных чисел, такой набор называется вектором. Числа, входящие в набор, служат координатами вектора, а количество чисел в наборе — размерностью вектора. При сложении векторов их одноимённые координаты складываются, а при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Таким образом, направленный отрезок прямой можно считать одномерным вектором, направленные отрезки плоскости — двумерные векторы, а направленные отрезки пространства — трёхмерные векторы. Наборы коэффициентов многочленов, степени которых не превосходят заданного числа n, можно считать n-мерными векторами. Векторы обозначают жирными буквами.
Производная векторной функции
Векторная функция размерности n, задается набором n функций. Координаты производной векторной функции равны производным соответствующих координат исходной вектор-функции; аналогично определяется вторая производная векторной функции. Пусть u ( x ), v ( x ) – векторные функции, f ( x ) – скалярная (числовая) функция, тогда
( u ( x ) + v ( x ))΄ = u΄ ( x ) + v΄ ( x );
( f ( x ) v ( x ))΄ = f΄( x ) u ( x ) + f ( x ) u΄(x);
Определение первообразной функции
Функция h ( x ) называется первообразной функции f ( x ), если обе они имеют одну и ту же область определения, в каждой точке которой h’ ( x ) = f ( x ). Множество всех первообразных функции называется ее неопределенным интегралом и обозначается символом
∫ f ( x ) dx
Если h ( x ) – первообразная функции f ( x ), то
∫ f ( x ) dx = h ( x ) + c,
это значит, что, прибавляя к функции h ( x ) постоянные, мы получим все остальные первообразные.
Интегрирование элементарных функций
∫ 0 dx = c,
∫ dx = x + c,
∫ x dx = = x 2 / 2 + c,
∫ x a dx = x a+1 / ( a + 1 ) ( число a не равно -1 ),
∫ ( 1 / x ) dx = ln | x | + c.
∫ sin ( x ) dx = - cos ( x ) + c
∫ соs ( x ) dx = sin ( x ) + c
∫ exp ( x ) dx = exp ( x ) + c
Интегрирование суммы функций и произведения функции на число
∫ ( f ( x )) + g ( x )) dx =
= ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx,
∫ a f ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx.
Правило замены переменной
Если h – первообразная функции f, то
∫ f ( g ( x ) ) g' ( x ) dx =
= ∫ h’ ( g ( x )) g’( x ) dx =
= ∫ ( h ( g ( x ) ) )´ dx = h ( g ( x )) + c.
Произведение g΄( x ) dx называют дифференциалом функции g и обозначают символом dg. Таким образом, если формула
∫ f ( g ) dg = h ( g ) + с
справедлива, когда g – независимая переменная, то она остаётся справедливой, когда g является функцией.
Пусть h - первообразная функции f, a, b - вещественные числа, a отлично от нуля. Формула
∫ f ( g ) = h ( g ) + c
справедлива, когда g – независимая переменная, следовательно, она должна быть справедливой, когда g ( x ) = a x + b,
в этом случае dg = a dx,
∫ f ( g ( x ) ) dg = ∫ f ( a x + b ) a dx =
= h ( a x + b ) +c,
∫ f ( a x + b ) dx = h ( a x + b ) / a +c,
Правило интегрирования по частям
В силу правила дифференцирования произведения для любых функций f ( x ), g ( x )
( f ( x ) g ( x ))' =
= f' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g' ( x ).
Функция ( f ( x ) g ( x )) является первообразной своей производной ( f ( x ) g ( x ))', следовательно,
∫ f' ( x ) g ( x ) dx + ∫ f ( x ) g' ( x ) dx =
= ∫ ( f ( x ) g ( x ))' dx = f ( x ) g ( x ) + c ,
откуда
∫ f ( x ) g' ( x ) dx = f ( x ) g ( x ) -
- ∫ f' ( x ) g ( x ) dx
Обычно используют краткую запись этой формулы:
∫ f ( x ) dg = f ( x ) g ( x ) - ∫ g ( x ) df .
Определенный интеграл
Определённый интеграл функции f ( x ) в числовом промежутке [ a, b ] обозначается символом
b
∫ f ( x ) dx,
a
если функция f ( x ) непрерывна в каждой точке интервала [ a, b ], то она имеет первообразную h ( x ) и её определённый интеграл в промежутке [ a, b ] равен h ( b ) - h ( a ). Следует помнить, что определённый интеграл — это не функция, а число. Несобственный интеграл вычисляется с помощью предельного перехода:
+∞ b
∫ f ( x ) dx = lim ∫ f ( x ) dx,
a b → +∞ a
Комплексные числа.
Комплексным числом называется выражение вида a + i b, где a, b – вещественные числа, i – специальный символ (мнимая единица). Обычно используются следующие обозначения:
a = Re ( a + i b )
( a – вещественная часть числа a + i b ),
b = Im ( a + i b )
( b – мнимая часть числа a + i b ); вместо a + i b можно писать a + b I.
Комплексное число w изображается вектором (направленным отрезком) на плоскости с заданной системой координат: вещественная часть w равна проекции направленного отрезка на горизонтальную (вещественную) ось, мнимая часть w равна проекции направленного отрезка на вертикальную (мнимую) ось. Длина | w | этого направленного отрезка называется модулем комплексного числа w, по теореме Пифагора
| a + i b |2 = a2 + b2.
Векторы изображающие комплексные числа, складываются по правилам параллелограмма:
( a + i b ) + ( x + i y ) = ( a + x ) + i ( b + y )
(отдельно складываются вещественные и мнимые части слагаемых). Комплексные числа перемножаются как многочлены, причём квадрат мнимой единицы равен -1:
( a + i b ) ( x + i y ) =
= a x + i b x + a i y + i b i y =
= ( a x - b y ) + i ( a y + b x ).
Вещественные числа отождествляются с комплексными числами, у которых мнимые части равны нулю. Умножение комплексного числа на вещественное совпадает с обычным умножением вектора на вещественное число. Комплексные числа a + i b и a - i b называются взаимно сопряжёнными;
( a + i b ) ( a - i b ) = a2 + b2.
Для того, чтобы поделить одно комплексно число на другое, надо умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряжённое делителю:
( a + i b ) / ( x + i y ) =
= (( a + i b ) ( x - i y )) /
/ (( x + i y ) ( x - i y )) =
= (( a x + b y ) + i ( - a y + b x)) / ( a2 + b2 )
Комплексная функция вещественного аргумента является частным случаем
Комплексная экспоненциальная функция
Комплексная экспоненциальная функция exp (( a + i b ) t ) ставит в соответствие каждому вещественному числу t комплексное число
exp ( a t ) ( cos ( b t ) + i sin ( a + i b t )
Непосредственно проверяется справедливость следующих равенств:
exp ( u t ) exp ( v t ) = exp (( u + v ) t ),
( exp ( u t ))' = u exp ( u t ),
в силу основного тригонометрического тождества
| exp ( u t ) | = exp ( Re ( u ) t ).
Если Re ( u ) < 0, то
lim | exp ( u t ) | = 0,
t →+∞
если Re ( u ) > 0, то
lim | exp ( u t ) | = +∞,
t →+∞
если же Re ( u ) = 0, то
| exp ( u t ) | = 1.
Корни многочлена
Многочлен a0 x n + a1 x n-1 +…+ an-1 x + an является функцией, определённой на множестве всех комплексных чисел. Обычно мы будем рассматривать многочлены вида x n + a1 x n-1 +…+ an-1 x + an (старший коэффициент многочлена равен 1), n > 0. Значения x, при которых многочлен обращается в нуль, называются его корнями. Многочлен степени n > 0 имеет по крайней мере один корень (комплексный или вещественный), общее количество его корней не превосходит n.
Если x1, x2 ,…, xk-1 – все попарно различные корни многочлена x n + a1 x n-1 +…+ an-1 x + an, то этот многочлен разлагается в произведение степеней многочленов первой степени:
x n + a1 x n-1 +…+ an-1 x + an = ( x - x1 ) b ( x - x2 ) ... ( x - xk)d
Преобразование Лапласа
Комплексная функция комплексного аргумента F ( s ) называется преобразованием Лапласа вещественной или комплексной функции вещественного аргумента f ( t ), определённой на интервале [ 0, +∞ [, если для любого s, принадлежащего области определения функции F справедливо равенство
+∞
F ( s ) = ∫ f ( t ) exp ( - s t ) dt .
0
Часто преобразование Лапласа функции f ( t ) записывают в виде L { f ( t )}:
+∞
L { f ( t ) } ( s ) = ∫ f ( t ) exp ( - s t ) dt .
0
Пусть существуют такие положительные числа M, α, что | f ( t ) | < M exp ( α t ) t ), когда число t положительно, тогда преобразование Лапласа F ( s ) функции f ( t ) определено для любого комплексного числа s, вещественная часть которого больше α. В этом случае обратное преобразование Лапласа L-1 { F ( s ) } ( t ) переводит функцию F ( s ) в функцию f ( t ):
L-1 { F ( s ) } ( t ) =
Пример
Вычислим преобразование Лапласа функции exp ( u t )
Метод преобразования Лапласа позволяет заменить достаточно сложное решение дифференциальных уравнений относительно простым решением алгебраических уравнений. Определение реакции системы на входное воздействие подразумевает следующие действия:
Для того чтобы функция f ( t ) имела преобразование Лапласа, достаточно, чтобы интеграл
|
f
( t
) | exp
( - σ
t
) dt
от 0 до +∞ сходится для некоторого действительного положительного σ.. Таким образом, область сходимости определяется неравенством α < σ < +∞, где σ известна как абцисса абсолютной сходимости. Все физически реализуемые сигналы имеют преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа функции времени f ( t ) определяется выражением
<Петрова, с.64-65>
F ( s ) = Преобразование Лапласа
Возможность линеаризации физических систем предоставляет в распоряжение исследователя аппарат преобразования Лапласа. Метод преобразования Лапласа позволяет заменить достаточно сложное решение дифференциальных уравнений относительно простым решением алгебраических уравнений. Определение реакции системы на входное воздействие подразумевает следующие действия:
1 Получение дифференциальных уравнений
2 Преобразование по Лапласу этих дифференциальных уравнений
3 Решение полученных алгебраических уравнений относительно переменной, представляющей интерес.
Для того чтобы функция f ( t ) имела преобразование Лапласа, достаточно, чтобы интеграл
|
f
( t
) | exp
( - σ
t
) dt
от 0 до +∞ сходится для некоторого действительного положительного σ. Если | f ( t ) | < M exp ( α t ) для всех положительных t, то интеграл будет сходиться при σ >α. Таким образом, область сходимости определяется неравенством α < σ < +∞, где σ известна как абцисса абсолютной сходимости. Все физически реализуемые сигналы имеют преобразование Лапласа. Преобразование Лапласа функции времени f ( t ) определяется выражением
<Петрова, с.64-65>
F ( s ) = ∫ f ( t ) exp ( - s t ) dt = L { f ( t )} (2.14)
(область интегрирования - интервал [ 0, + ∞ ]). Обратное преобразование Лаплпса имеет вид
f
( t ) = 1 / ( 2
π
j
)
F
( s ) exp ( + s t ) dt,
где областью интегрирования служит интервал [ σ - j ∞, σ + j ∞ ]. При решении большинства практических задач используются таблицы преобразований Лапласа, полученные на основании выражения (2.14). В таблице 2.3 приведены основные прямые и обратные преобразования Лапласа, а более подробную таблицу можно найти на Web-сайте MCS.
<стр. 65>
Переменную s в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования, т.е.
s = d / dt (2.16)
Аналогично можно ввести оператор интегрирования
1
/ s
=
[
0, t
]
dt
(2.17)
Обратное преобразование Лапласа обычно находят путем разложения F(s) на простые дроби с помощью правила Хевисайда. Этот метод, в частности, полезен при анализе и синтезе систем управления, т.к.он позволяет легко выявить влияние каждого корня характеристического уравнения системы.
Чтобы проиллюстрировать преимущества преобразования Лапласа, рассмотрим еще раз механическую колебательную систему, описываемую уравнением (2.1), которое имеет вид
M ( d2y ( t ) / dt2 ) + b ( dy ( t ) / dt ) + k y ( t ) = r ( t ) (2.18)
Нам необходимо получить решение этого уравнения, т.е.выраженную y(t). Преобразование Лапласа уравнения (2.18) имеет вид:
M [ s2 Y ( s ) - s y ( 0 ) - dy ( 0 ) / dt ] + b [ s Y ( s ) - y ( 0 ) ] + k Y ( s ) = R ( s ). (2.19)
Если r ( t ) = 0, y ( 0 ) = y0 и ( dy / dt ) |t = 0 = 0, то мы получим:
M s2 Y ( s ) - M s y0 + b s Y ( s ) - b y0 ( 0 ) + k Y ( s ) = 0. (2.20)
Выражая отсюда Y ( s ), получим:
Y ( s ) = ( M s + b ) y0 / ( M s2 + b s + k ) = p ( s ) / q ( s ). (2.21)
Если полином q ( s ), стоящий в знаменателе, приравнять к нулю, то мы получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни определяют характер движения системы. Корни характеристического уравнения называют также полюсами системы. Корни полинома p ( s ), стоящего в числителе, называют нулями системы; например, выражение (2.21) имеет нуль s = - b / M. В полюсах функция Y ( s ) обращается в бесконечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комплексной s-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.
Рассмотрим частный случай, когда k / M и b / M = 3. тогда выражение (2.21) примет вид:
Y ( s ) = ( s + 3 ) y0 / (( s + 1 ) ( s + 2 )) (2.22)
Положение полюсов и нуля этой функции на s-плоскости показано на рис.2.7. Разложив (2.22) на элементарные дроби, получим:
Y ( s ) = k1 / ( s + 1 ) + k2 / ( s + 2 ) (2.23)
<Стр.66 Волосач Сергей УИТС-08-1>
Рис. 2.7
Расположение полюсов и нуля на s плоскости/
Где k1 и k2 есть коэффициенты расположения. Коэффициенты ki называются вычетами и определяются путем умножения(2.22) на член знаменателя, соответствующий ki и присваивания переменной s значения, равного данному полюсу. Так, если положить y0 = 1, то вычисление коэффициента k1 даёт
k1 = (( s - s1 ) p ( s ) / q ( s )) |s = s1 = (( s + 1 ) ( s + 3 ) / (( s + 1 ) ( s +2 ))) |s1 = - 1 = 2
(2.24)
Аналогичным образом получим значение k2 = - 1. Другой способ нахождения вычетов Y ( s ) в соответствующих полюсах основан на графических операциях, производимых на s-плоскости. Так, например, (2.24) можно записать виде:
k1 = (( s+3 ) / ( s + 2 )) |s = s1 = -1 = ( s1 + 3 ) / ( s1 + 2 )) |s1 = -1 = 2 (2.25)
Графическое представление выражение(2.25) приведено на рисунке 2.8. Графический способ нахождения вычетов имеет особую ценность в тех случаях, когда характерестическое уравнение имеет высокий порядок и когда некоторые полюсы образуют комплексно-сопряженные пары
f ( t ) exp ( - s t ) dt = L { f ( t )} (2.14)
(область интегрирования - интервал [ 0, + ∞ ]). Обратное преобразование Лаплпса имеет вид
f
( t ) = 1 / ( 2
π
j
)
F
( s ) exp ( + s t ) dt,
где областью интегрирования служит интервал [ σ - j ∞, σ + j ∞ ]. При решении большинства практических задач используются таблицы преобразований Лапласа, полученные на основании выражения (2.14). В таблице 2.3 приведены основные прямые и обратные преобразования Лапласа, а более подробную таблицу можно найти на Web-сайте MCS.
<стр. 65>
Переменную s в преобразовании Лапласа можно рассматривать как оператор дифференцирования, т.е.
s = d / dt (2.16)
Аналогично можно ввести оператор интегрирования
1
/ s
=
[
0, t
]
dt
(2.17)
Обратное преобразование Лапласа обычно находят путем разложения F(s) на простые дроби с помощью правила Хевисайда. Этот метод, в частности, полезен при анализе и синтезе систем управления, т.к.он позволяет легко выявить влияние каждого корня характеристического уравнения системы.
Чтобы проиллюстрировать преимущества преобразования Лапласа, рассмотрим еще раз механическую колебательную систему, описываемую уравнением (2.1), которое имеет вид
M ( d2y ( t ) / dt2 ) + b ( dy ( t ) / dt ) + k y ( t ) = r ( t ) (2.18)
Нам необходимо получить решение этого уравнения, т.е.выраженную y(t). Преобразование Лапласа уравнения (2.18) имеет вид:
M [ s2 Y ( s ) - s y ( 0 ) - dy ( 0 ) / dt ] + b [ s Y ( s ) - y ( 0 ) ] + k Y ( s ) = R ( s ). (2.19)
Если r ( t ) = 0, y ( 0 ) = y0 и ( dy / dt ) |t = 0 = 0, то мы получим:
M s2 Y ( s ) - M s y0 + b s Y ( s ) - b y0 ( 0 ) + k Y ( s ) = 0. (2.20)
Выражая отсюда Y ( s ), получим:
Y ( s ) = ( M s + b ) y0 / ( M s2 + b s + k ) = p ( s ) / q ( s ). (2.21)
Если полином q ( s ), стоящий в знаменателе, приравнять к нулю, то мы получим характеристическое уравнение, названное так потому, что его корни определяют характер движения системы. Корни характеристического уравнения называют также полюсами системы. Корни полинома p ( s ), стоящего в числителе, называют нулями системы; например, выражение (2.21) имеет нуль s = - b / M. В полюсах функция Y ( s ) обращается в бесконечность, а в нулях она становится равной нулю. Расположение полюсов и нулей на комплексной s-плоскости определяет характер собственного (свободного) движения системы.
Рассмотрим частный случай, когда k / M и b / M = 3. тогда выражение (2.21) примет вид:
Y ( s ) = ( s + 3 ) y0 / (( s + 1 ) ( s + 2 )) (2.22)
Положение полюсов и нуля этой функции на s-плоскости показано на рис.2.7. Разложив (2.22) на элементарные дроби, получим:
Y ( s ) = k1 / ( s + 1 ) + k2 / ( s + 2 ) (2.23)
<Стр.66 Волосач Сергей УИТС-08-1>
Рис. 2.7
Расположение полюсов и нуля на s плоскости/
Где k1 и k2 есть коэффициенты расположения. Коэффициенты ki называются вычетами и определяются путем умножения(2.22) на член знаменателя, соответствующий ki и присваивания переменной s значения, равного данному полюсу. Так, если положить y0 = 1, то вычисление коэффициента k1 даёт
k1 = (( s - s1 ) p ( s ) / q ( s )) |s = s1 = (( s + 1 ) ( s + 3 ) / (( s + 1 ) ( s +2 ))) |s1 = - 1 = 2
(2.24)
Аналогичным образом получим значение k2 = - 1. Другой способ нахождения вычетов Y ( s ) в соответствующих полюсах основан на графических операциях, производимых на s-плоскости. Так, например, (2.24) можно записать виде:
k1 = (( s+3 ) / ( s + 2 )) |s = s1 = -1 = ( s1 + 3 ) / ( s1 + 2 )) |s1 = -1 = 2 (2.25)
Графическое представление выражение(2.25) приведено на рисунке 2.8. Графический способ нахождения вычетов имеет особую ценность в тех случаях, когда характерестическое уравнение имеет высокий порядок и когда некоторые полюсы образуют комплексно-сопряженные пары