Значения функции интеграла вероятностей ф(х) для нормального закона распределения

Пример 5. Определить вероятность повреждения энергоблока, представляющего собой последовательное соединение парового котла, паровой турбины и электрического генератора. Паровая турбина получает весь пар от котла. Генератор расположен на одном валу с турбиной, то есть использует всю ее мощность. Вероятность повреждения отдельных элементов: котлаq_к = 0.02; турбиныq_т = 0.01; генератораq_г = 0.001.

Энергоблок представляет из себя систему из трех последовательно соединенных элементов, то есть аварийный выход из работы хотя бы одного элемента приводит к отказу энергоблока.

Вероятности безотказной работы отдельных блоков составляют соответственно

р_к = 1 - q _к= 1 - 0.02 = 0.98;

р_т = 1 - q_т = 1 - 0.01 = 0.99;

р_г = 1 - q _г= 1 - 0.001 = 0.999.

Можно решить эту задачу анализом всех возможных сочетаний повреждения элементов блока. Всего их семь: 1) котла; 2) турбины; 3) генератора; 4) котла и турбины; 5) котла и генератора; 6) турбины и генератора; 7) котла, турбины и генератора.

При этом соответствующие вероятности отказа энергоблока в этих ситуациях составят:

q₁ = 0.02 x 0.99 x 0.999 = 0.198;

q₂ = 0.98 x 0.01 x 0.999 = 0.0098;

q₃ = 0.98 x 0.99 x 0.001 = 0.001;

q₄ = 0.02 x 0.01 x 0.999 = 0.0002,

q₅, q₆иq₇практически равны 0.

Вероятность отказа энергоблока равна сумме вероятностей отказов элементов в этих семи ситуациях.

q_эб = 0.0198 + 0.0098 + 0.001 + 0.0002 = 0.0308.

Задача может быть решена и более простым способом.

Вероятность безотказной работы энергоблока равна произведению вероятностей безотказной работы отдельных элементов:

р_эб = 0.98 х 0.99 х 0.999 = 0.9692.

Вероятность отказа:

q_эб =1 - р_эб = 1 - 0.9692 = 0.0308.

Пример 6. Найти наименьшее число испытаний, при котором со статистической вероятностью= 0.99 разность относительной частоты и вероятности отказа не превышает 0.01. Статистические значения вероятности отказа и безотказной работы соответственно равныq= 0.02;p= 0.98. Распределение случайной величины статистической вероятностисчитать нормальным.

Если известна статистическая вероятность отклонения частоты и вероятности отказа , то по таблице интеграла вероятностей или приближенно по рис.5 следует найти х из:

Ф(х) =  ,то есть при = 0.99х = 2.58.

Далее по формуле [2]:

2,58²x 0.98 x 0.02/0.01²=1305.

Аналогично с помощью таблицы интеграла вероятностей или приближенно построенных графиков решаются и две обратные задачи

1. Нахождение статистической вероятности отклонения вероятности отказа от его относительной частоты при известныхиN: находится величинах

,

а затем по таблице интеграла вероятностей находится Ф(х)= .

2. Нахождение максимального отклонения относительной частоты отказов от заданной вероятности () при известныхиN.

Сначала по таблице интеграла вероятностей находят хкак в прямой задаче, а затем находятпо формуле:

.

Пример 7. В течение пяти месяцев объем электропотребления завода (W) и число отключений в системе автоматики (N) имели следующие значения:

Месяцы

1 2 3 4 5

W, тыс.кВт.ч 1455 1380 1500 1390 1440

N, шт. 6 5 8 6 7

Найти коэффициент корреляции между WиN, составить уравнение регрессии между ними. Определить (если это допустимо) возможное число отключений, если план электропотребления на некоторый месяц определен 1450 тыс.кВт.ч.

Определим математические ожидания и среднеквадратические отклонения переменных WиN.

M_W =(1455 + 1380 + 1500 + 1390 + 1440)/5 = 1433, тыс.кВт.ч;

M_N = (6 + 5 + 8 + 6 + 7)/5 = 6.4, шт.

_W={[(1455-1433)²+(1380-1433)²+(1500-1433)²+(1390-1433)²+(1440-1433)²]/4}^0.5=

49.19, тыс. кВт. ч;

аналогично _N= 1.14, шт.

Следует обратить внимание, что сумма квадратов отклонений делится по условию применения оценки среднеквадратического отклонения, то есть не на 5, а на 4, что связано с явной малостью объема выборки [2].

Коэффициент корреляции:

r_WN=[(1455-1433)(6-6.4)+(1380-1433)(5-6.4)+(1500-1433)(8-6.4)+(1390-1433) x

x (6-6.4)+(1440-1433)(7-6.4)]/(4 x 49.19 x 1.14) = 0.865.

Снова используем оценку коэффициента корреляции, то есть делим на n-1=4, а не наn=5.

Уравнение регрессии:

N= r_WN(_N /_W)( W - M_W) + M_N =0.0205W - 22.33, шт.

Коэффициент корреляции составляет 0.865, то есть достаточно высок, поэтому при заданном плане электропотребления 1450 тыс. кВт. ч, значение которого входит в интервал изменения величины W, допустимо определить возможное число отключенийN:

N= 0.0205 x 1450 - 22.33 = 6.74, шт.