введение в тфп

4 Электродинамика	101
	101

Если сопротивление проводов ничтожно мала (близка к нулю), то у поверхности проводов есть только нормальная составляющая поля En, а тангенци-

альная практически равна нулю Eτ = 0. Наоборот, у нагрузки R основной компонентой является Eτ, а нормальной можно пренебречь En = 0.

	En
I	П1 а H

HП1

+ + + +

En

H

П2

П2

+ +а++

ПИЗЛ.

H

ПИЗЛ.

H

+

+

H

E

Eτ

R

Eτ

−

−

− −

− − E

E

−

б −

En

H

−−

−−

I

H

П1 б

П1

En

«а»

«б»

Рис. 44

Вектор напряженности E электрического поля в источнике постоянного тока направлен от положительной клеммы к отрицательной. Ток I во внешней цепи течет по часовой стрелке. Допустим, сопротивление подводящих проводов близка к нулю. Силовые линии электрического поля между проводами в сечении а-б (рис. 44-б) в этом случае перпендикулярны

поверхности проводов ( вектор Eτ). Направление вектора напряженности магнитного поля H определяется правилом правого винта.

Рассматривая направление векторов Eτ и H вблизи поверхности подводящих проводов, убеждаемся, что вектор Пойнтинга П1 направлен от источника постоянного тока к нагрузке R. Направление вектора П1 не зависит от направления тока I: и по нижней и по верхней по рисунку ветви поток энергии направлен к потребителю энергии R. Впрочем, независимость направления вектора П1 от направления тока должно быть понятно и из самых общих представлений о законах природы – эти законы не должны зависеть от субъективного (договорного) выбора положительного направления тока.

Вблизи нагрузки R вектор Пойнтинга П2 направлен в объем нагрузки. Вошедшая в нагрузку энергия электромагнитного поля может превращаться в другие виды энергии: например, в плитке электромагнитная энергия превращается во внутреннюю энергию нагрузки с выделением тепла; в электрическом двигателе – в механическую энергию вращения ротора двигателя и т.д.

В источнике питания поток электромагнитной энергии ПИЗЛ. направлен от источника во внешнюю среду, излучается во внешнюю среду.

102	102
	4 Электродинамика

Итак:

1)энергия от источника тока к нагрузке распространяется вдоль подводящих проводов в диэлектрической среде, окружающий провод. Подводящие провода служат направляющей осью распространения потока электромагнитной энергии от источника ( генератора) к нагрузке;

2)у нагрузки энергия входит в нагрузку. Реальные подводящие провода обладают конечным сопротивлением, поэтому в линии передачи часть энергии входит в объем подводящих проводов и выделяется в виде тепла. В линии передачи происходят потери, определяемые

тангенциальной составляющей Eτ электрического поля зарядов на поверхности подводящих проводов;

3)из источника питания поток электромагнитной энергии ПИЗЛ. выходит («излучается») во внешнюю среду.

Заметим, изложенная выше картина перемещения энергии от генера-

тора к нагрузке во всех линиях передачи в принципе похожи. Различия в линиях, разумеется, есть. Например, при передаче по линии переменных электромагнитных полей усложняется картина силовых линий полей; в зависимости от частоты волны явно или неявно изменяется элементная база линии.

4.9.4. Идеальная двухпроводная линия передачи электромагнитной энергии (переменные ток)

1. Волновое уравнение напряжения и тока в цепи переменного (квазистационарного) тока.

Выделим в цепи переменного тока

∂I

элемент идеальной линии передачи дли-

I

L0dx

I+

∂x d x

ной dx (рис. 45). В идеальной линии по-

U+ ∂U d x

тери отсутствуют ( R = 0). Переменный

U

C0dx

ток создает переменный магнитный по-

∂x

ток, и линия характеризуется некоторой

dx

индуктивностью на единице длины L0.

Рис. 45

Провода образуют конденсатор с емко-

стью C0 на единице длины линии.

На длине dx линии индуктивность L = L0dx, емкость C =

C0dx. На-

пряжение на длине dx изменяется на величину

∂U

d x , ток на

∂I d x . По за-

∂U

∂x

∂x

кону явления самоиндукции имеем:

d x

= − (L0 dx) ∂I

или

∂x

∂x

∂U

= − L0

∂I .

(4.101)

∂x

∂x

4 Электродинамика

103

103

Входное напряжение элемента цепи равно U. Часть тока

∂I

d x идет на за-

∂x

рядку конденсатора до напряжения U, и конденсатор приобретает заряд

q = C dxU. Имеем: dI =

∂q

=

∂

(C

d xU ). Имеем: − ∂I d x =

∂

(C

d xU )

или

∂t

∂t

∂t

0

0

∂x

0

− ∂I

= C0

∂U

.

(4.102)

∂x

∂t

Дифференцируя уравнение (4.101) по x, а уравнение (4.102) – по t, получим волновое уравнение напряжения:

∂2U	= L0C0	∂2U	.	(4.103)
∂t2		∂t2

Дифференцируя уравнение (4.101) по t, а уравнение (4.102) – по x, получим волновое уравнение тока:

∂2I	= L0C0	∂2I	.	(4.104)
∂t2		∂t2

Итак, колебания носителей заряда в линии передачи порождают волны напряжения и тока. Скорость распространения волны напряжения и тока в линии передачи определяется погонной индуктивностью ( магнитной «инерцией») и емкостью (способностью накапливать энергию) линии:

	v =	1		.	(4.105)
		L C	0
		0

2. Волновое сопротивление линии передачи. Отражение волны на нагрузке.

Решение уравнений типа (4.103) и (4.104) ранее было получено, и имеют для волны, распространяющейся в положительном направлении x, вид

	U = U0 cos[	2π	(vt – x)]	и I = I0 cos[	2π	(vt – x)].	(4.106)
		λ			λ

Если волна распространяется в одном направлении ( например, положительном относительно x), то волна напряжения и волна тока согласно (4.106) находятся в фазе. В этом случае энергия от генератора все время поступает в линию передачи. Амплитуды напряжения U0 и тока I0 по всей линии передачи постоянны ( потерь нет!). Это аналогично тому, что наблюдается в цепи постоянного тока без потерь. Вектор напряженности поверхностных зарядов перпендикулярны поверхности проводов линии пе-

редачи, тангенциальная составляющая отсутствует Eτ = 0.

Подставим решения волновых уравнений (4.106) в (4.101), получим:

U = vL0 I.

собственной характеристикой линии передачи.

104	4 Электродинамика									104
Отношение			Z0 = U = vL0 =	1		L0 =	L0		(Ом)	(4.107)
			I	L C	0		C	0
				0
измеряется в единицах сопротивления.
Величина Z0 =		L0	называется волновым сопротивлением линии передачи.
		C0

Обратите внимание, Z0 не зависит от длины линии, т.к. величины L0 и C0 относятся к единице длины линии. Волновое сопротивление Z0 является

Обратим внимание на следующее обстоятельство. Индуктивность и емкость определяется геометрией проводников ( вспомним, например, формулу

индуктивности соленоида L =μμ0n2V, емкость плоского конденсатора C = εεd0S ).

В цепи переменного тока индуктивность и емкость цепи определяется не только установленными дросселями и конденсаторами, но и взаимным расположением подводящих проводов. В этой связи, L0 и C0 будут изменяться, если случайно (или намеренно) изменить топологию электрической схемы (изменить взаимное расположение элементов цепи на плате) даже без изменения принципиальной электрической схемы. Это особенно будет проявляться при высоких частотах (СВЧ-диапазон, КВЧ-диапазон) переменного тока.

Пусть в конце линии передачи содержится нагрузка с импедансом Z (рис.46). Например, если нагрузкой является плитка, то модуль импеданса такой нагрузки, при последовательном соединении ее элементов, выража-

ется формулой Z = R2 + (ωL − ω1C )2 , где R – активное сопротивление спи-

рали плитки, L и C – индуктивность и емкость спирали, а Xp = ωL − ω1C есть

реактивное сопротивление плитки.

Волна, бегущая в положительном направлении, может отразиться от нагрузки, и по линии побежит волна напряжения и тока в отрицательном направлении относительно x – побежит отраженная волна:

	Uотр = U0 cos[	2π	(vt + x) + α ] и	Iотр = I0 cos[	2π	(vt + x) + α].	(4.108)
		λ			λ

Напомним, на границе «линия передачи – нагрузка» происходит сдвиг фа-

зы α между падающей и отраженной волны (при отсутствии потерь при отражении α = π).

Подставив (4.108) в (4.101), получим:

Uотр			L				U, I
		= − vL0 = −	0	= − Z0.	(4.109)	Z0		Z
	Iотр
			C0
Напряжение и ток в любой точке линии передачи оп-							Uотр. , Iотр.
ределяется суммой падающей и отраженной волн:							Рис. 46

4 Электродинамика	105
	105

(U + Uотр) и (I + Iотр).

Из условия непрерывности напряжения и тока на границе «линия передачи – нагрузка» имеем соотношения: U + Uотр = Uz и I + Iотр = Iz ,

где Uz и Iz – напряжение в нагрузке Z на границе, причем U z = Z – импеданс

I z

нагрузки (потребителя энергии). Из приведенных соотношений после несложных преобразований получаем:

1) амплитудный коэффициент отражения по напряжению и току

Uотр

=

Z

0

− Z

,

Iотр

=

Z

0

− Z

;

(4.110)

U

Z0

+ Z

I

Z0

+ Z

2) амплитудный коэффициент пускания ( прозрачности) по напряжению

и току	U z =	2Z	,	I z		=		2Z	.	(4.111)
		Z0 + Z					Z0 + Z
	U			I
При	Z = Z0 коэффициент отражения				Uотр			= 0, т.е. энергия, поступаю-
					U

щая к нагрузке от генератора по линии передачи, полностью поглощается нагрузкой: при Z = Z0 линия передачи и нагрузка согласованы. При отсутствии согласования (Z ≠ Z0), часть энергии, поступающая в нагрузку, отражается вновь в линию передачи. Например, антенну приемника радиоволн можно рассматривать как генератор. Для согласования антенны и радиоприемника следует выбирать антенну с волновым сопротивлением, равным входному сопротивлению приемника (в России используется стандарт потребительских антенн с волновым сопротивлением в 50 Ом и 75 Ом).

Обратите внимание, в цепи постоянного тока поступающая к нагрузке энергия полностью поглощается этой нагрузкой, а при переменном токе для этого необходимо согласование линии передачи и нагрузки.

4.9.5. Реальная двухпроводная линия передачи электромагнитной энергии (переменные ток)

Рассмотрим элемент реальной линии передачи длиной dx (рис. 47). Если сопротивление единицы длины линии R0, то выделенный элемент длиной dx обладает сопротивлением R = R0dx. Реальный диэлектрик между проводами линии обладает определенной проводимостью, поэтому существует определенный ток и поперек линии передачи. Если проводимость единицы длины диэлектрика между проводами g0, то проводимость

элемента длиной dx равна g = g0dx. Отметим, что g0 = 1 , где R0,Д

R0,Д

тивление диэлектрика на единичной длине линии передачи. Представим входное в выделенный элемент синусоидальное

жение и ток в комплексной форме:

сопро-

напря-

106	4 Электродинамика									106
			U = U0 eiωt, I = I0 eiωt.							(4.112)
Изменение напряжения на длине dx равно:
		∂U	d x = − (L0 dx)					∂I	− R0dx I
		∂x						∂x
или				∂U	= − L0	∂I		− R0I.		(4.113)
						∂x
				∂x

Убыль тока на длине dx обусловлена теперь не только зарядкой конденсатора, но и током в диэлектрике между проводами линии:

−

∂I

d x =

∂

(C0 d xU )+ g0dxU

∂t

∂x

или

∂I

= − C0

∂U

− g0U.

(4.114)

∂x

∂t

I

R0dx

L0dx

I+

∂I

d x

∂x

∂U d x

U

C0dx

g0dx

U+

∂x

dx

Рис. 47

Принимая во внимание (4.112), имеем:

∂I

iωt

и

∂U

iωt

.

L0

=

iω L0 I0

e

C0

= iω C0 U0 e

∂x

∂t

Подставим эти соотношения соответственно в (4.113) и (4.114), получим:

	∂U			= − (R0 + iω L0) I,	(4.115)
	∂x
		∂I		= − (g0 + iω C0)U,	(4.116)
		∂x

где для краткости записи снова использованы уравнения напряжения и то-

ка (4.112).

Дифференцируя (4.115) по x и применяя (4.116), получим:

∂2U	= − (R0	+ iω L0) ∂I	= (R0 + iω L0) (g0 + iω C0)U.
∂x2		∂x

Введем обозначение γ2 = (R0 + iω L0) (g0 + iω C0), имеем:

∂2U	= γ2U.	(4.117)
∂x2

4 Электродинамика	107
	107

Дифференцируя (4.116) по x и применяя (4.115), получим:

∂2I	= γ2I.	(4.118)
∂x2

Уравнения вида (4.117) и (4.118) называются уравнениями Гельмгольца. Решение, например, уравнения (4.117) имеет вид:

U = U0 e−γx eiωt.

(4.119)

Уравнение затухающей волны (4.119) соответствует волне, распространяющейся в положительном направлении x. Аналогичный вид имеет решение уравнения (4.118) для тока:

	I = I0 e−γx eiωt.	(4.120)
Величина γ	− комплексная величина, представим ее в стандартной
форме:	γ = α + ik.
Теперь уравнения волны (4.119) и (4.120) примут вид:
	U = U0 e−αx ei(ωt − kx) и I = I0 e−αx ei(ωt − kx) ,	(4.121)

где α – коэффициент затухания, k – волновое число. Величина γ носит на-

звание константы распространения.

Решения (4.121) аналогичны уравнению затухающей электромагнитной волны в среде с проводимостью (уравнения (4.83) и (4.85), § 4.8.2).

Итак, в реальной линии передачи наблюдается затухание волны напряжения и тока. Затухание обусловлено тангенциальной составляющей

Eτ ≠ 0 вектора напряженности поверхностных зарядов на провода линии передачи.

В завершении параграфа приведем без вывода волновое сопротивление реальной двухпроводной линии передачи, показанной на рис. 47:

Z0 =	R0 +iωL0	.
	g0+iωC0

В практически важных случаях активное сопротивление проводов линии

передачи много меньше его индуктивного сопротивления (R0<<ωL0); проводимость диэлектрической среды между проводами линии, как правило,

незначительна (g << ωC0). С учетом приведенных оценок можно утверждать, что в большинстве практически важных случаях имеем:

Z0 =	R0 +iωL0	=	L0	.
	g0+iωC0		C0

Полученный результат практически совпадает (при выполнении приведенных оценок) с волновым сопротивлением идеальной линии передач, т.е. определяется индуктивностью и емкостью линии передачи.

108

4

Электродинамика

108

4.9.6. Оценка распределение плотности потока переносимой

электромагнитной энергии в пространстве

около проводов линии передачи

Электромагнитная энергия переносится вдоль проводов во всем ок-

ружающем пространстве. Однако наибольшая плотность энергии имеет

место в непосредственной близи к поверхности проводов линии передачи.

Приведем количественную оценку данного факта на известном примере

линии передачи в виде коаксиального кабеля (рис. 48).

Ток в центральном проводе диаметром

•

2а направлен за чертеж, во внешнем цилин-

•

•

дрическом проводе диаметром 2b (в оплетке

E

•

кабеля) ток направлен к нам. На расстоянии

•

H

r от оси кабеля показана одна силовая линия

H

магнитного поля тока. Между центральным

r

проводом и внешним цилиндрическим про-

E

×

•

•

водом кабель залит диэлектриком с диэлек-

dr

трической проницаемостью ε. В диэлектри-

ческой среде кабеля имеется электрическое

•

dϕ

•

поле

E и магнитно поле H. Из

теоремы

о циркуляции

магнитного

поля

следует,

•

•

•

что магнитное поле вне кабеля отсутствует.

2a

Следовательно, вектор Пойнтинга вне кабе-

ля равен нулю. Таким образом, электромаг-

2b

нитная энергия переносится только в ди-

Рис. 48

электрической среде внутри кабеля. Из ри-

сунка видно, что вектор Пойнтинга П = [E, H] направлен за чертеж.

На расстоянии r напряженность электрического и магнитного полей

определяются, соответственно, формулами:

E =

τ

,

H =

I

,

2πεε0r

2πr

где I – сила тока в кабеле, τ – линейная плотность поверхностных зарядов.

Модуль вектора Пойнтинга

τ I

П = EH =

.

4π

2εε0r2

Для определения потока энергии за единицу времени, т.е. мощность потока

P, умножим вектор Пойнтинга на элементарную площадь d S = rdϕ d r и проинтегрируем по всему сечению кабеля

2π b

τ I

τ I

b

dr

τ I

b

P =

r dϕ dr =

2π

=

ln

. (*)

4π

2

εε0r

2

4π

2

εε0

r

2πεε0

a

0 a

a

Преобразуем полученный результат в удобный для анализа вид. Пусть разность потенциалов (напряжение) между центральным проводом

			4 Электродинамика					109
								109
	и оплеткой равно U, тогда емкость единицы длины кабеля C =					τ	. Выраже-
						U
	ние (*) можно записать в виде:
	P =	I	СU ln	b	.			(**)
		2πεε0		a

Емкость цилиндрического конденсатора единичной длины определяется

формулой: C = 2πεε0 , ln ab

Следовательно, передаваемая мощность (**) можно выразить формулой

P = U I,

Передаваемая в диэлектрической среде кабеля электромагнитная мощность равна произведению тока на напряжение в кабеле. Это и следовало ожидать.

Теперь приведем оценку плотности потока энергии по сечению кабеля. Рассчитаем поток мощности, переносимый через часть сечения кабеля, ограниченную радиусами a и r:

						2π r		τ I		r dϕ dr = U I	ln(r /a)
				Pr =
							4π	2	2		ln(b /a)
						0 a		εε0r
	Отношение	Pr	=	ln(r /a)		определяет долю энергии, переносимую через се-
		P		ln(b /a)

чения кабеля, ограниченную радиусами a и r. Приведем численный пример. Пусть a = 0,1 см, b = 10 см, тогда при r = 1см

PPr = lnln10010 = PPr = 12 ,

т.е. вблизи центрального провода через площадь, составляющую всего 0,01 часть общей площади сечения кабеля, переносится 50% энергии.

4.10.Отражение и преломление плоской электромагнитной волны на границе раздела сред

4.10.1. Отражение и преломление плоской электромагнитной волны при нормальном падении на границу раздела сред

Напомним, любую реальную среду − реальный диэлектрик или проводник − можно рассматривать как диэлектрик с комплексной диэлектрической проницаемостью εк (§ 4.8.1, п.2). Комплексное волновое сопротивление

	110	4			110
			Электродинамика
			E		μμ0 ; постоянная распространения волны γ = α + ik, где
	среды Z 0	=		=
					ε к
			H

α - коэффициент затухания, k – волновое число.

На рис. 49 показаны две среды, граница раздела сред соответствует координате y = 0. Электромагнитные свойства сред выражены соответствующими характеристиками: комплексными волновыми сопротивлениями

Z 01	и Z 02 ; комплексными постоянными распространения γ1 = α1 + ik1
и γ2	= α2 + ik2.
	Пусть плоская волна распро-				y
страняется из первой среды во вто-				Z 02, γ2			Z 01, γ1
рую	в	отрицательном направлении			H2		H1/
оси 0Z.		Волновой фронт параллелен		П2		П1/
плоскости раздела сред, координата					• E2		• E1/
которого z = 0. Векторы напряжен-						E1//•	П1//
ности электрического поля падаю-
щей волны E1/, отраженной E1// и							H1//
прошедшей во вторую среду E2 на-
правлены к нам и параллельны гра-					0		z
нице сред. Соответствующие векто-
				Рис. 49
ры напряженности магнитного поля
(H1/, H1// и H2)также параллельны границе сред, т.к. волна плоская и падает
перпендикулярно границе раздела сред. Направления векторов H1/, H1//
и H2 должны быть согласованы с направлением соответствующих векторов
Пойнтинга. Падающая волна (вектор П1/ = [E1/, H1/]) и прошедшая волна
(П2= [ E2, H2]) распространяются в отрицательном					направлении оси 0Z,
следовательно, векторы H 1/ и H2			должны быть направлены по рис. 49
вверх; отраженная волна (П1// = [			E1//,	H1//]) распространяется в положи-
тельном направлении оси 0Z, следовательно, вектор H1//						должен быть на-

правлен вниз. Приведенное направление векторов E и H в первой и второй среде должно также согласоваться с условиями равенства тангенциальных составляющих этих векторов на границе раздела сред.

Представим комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля падающей волны в первой среде в виде:

	/	=		eγ1z .
E			E /
1			01

Падающая на границу раздела сред волна E1/ распространяется в отрица-

тельном направлении оси 0Z, поэтому показатель степени взят со знаком плюс.

Аналогично, комплексная амплитуда вектора напряженности магнитного поля падающей волны в первой среде имеет вид: