введение в тфп

1 Электростатическое поле	11
	11

с координатами (x,y,z), и затем вычислить поток вектора E(x,y,z) из бесконечно малого объема dV. Это должно, в соответствии с теоремой Гаусса, позволить определить значение заряда в бесконечно малом объеме.

Однако непосредственное применение теоремы Гаусса не приводит к решению задачи. Дело в том, что поток вектора через бесконечно малую замкнутую поверхность является также величиной бесконечно малой, причем третьего порядка малости.

Покажем это. Разложим вектор напряженности E(x,y,z)= Exi + Eyj + Ekk в ряд Тейлора в рассматриваемой области с объемом dV, ограниченного бесконечно

малой замкнутой поверхностью δS. Например, для компоненты Ex с учетом производной только первого порядка (остальные члены ряда имеют второй, третий и т.д. порядок малости) будем иметь:

Ex = Ex(0) + ∂∂Exx d x + ∂∂Eyx d y + ∂∂Ezx d z + … = Ex(0) + ∂∂Exx d x ,

т.к. ∂∂Eyx d y = 0, ∂∂Ezx d z = 0. Здесь член ряда Ex(0) – постоянная величина. Ана-

логичные выражения записываются для остальных компонент вектора E(x,y,z):

Ey = Ey(0) +	∂E y	d y ;	Ez = Ez(0) +	∂E	z	d z .
	∂y
				∂z

Все три разложения компонент можно совместно записать с использованием двух индексов (например, i и k). Запишем координаты (x,y,z) в виде (x1,x2 x3), имеем:

Ei = Ei(0) + 3 ∂Ei d xk ,

k =1 ∂xk

где: i = 1, 2, 3; k = 1, 2, 3. При i ≠ k член суммы равен нулю.

Определим поток E(x,y,z) через бесконечно малую замкнутую поверхность

δS: EndS =	Ei ni dS , где: dS – элемент бесконечно малой замкнутой поверх-
(δS )	(δS )

ности δS; единичный вектор n – нормаль к элементу поверхности dS. Имеем:

EndS = Ei ni dS =		(E i (0)			3	∂E	i d xk	)ni dS	=
				+
(δS )	(δS )	(δS )			k =1	∂xk
=	E i (0)ni dS +	3	∂E		i ni	d xk dS .
	(δS )	(δS ) k =1	∂xk

Поток постоянного вектора через замкнутую поверхность равен нулю:

E i (0)ni dS =0.

(δS )

Поток через бесконечно малую замкнутую поверхность δS ( охватывающую бесконечно малый объем d V) определяется только выражением

	3	∂E	i ni d xk dS . Видно, что этот объемный интеграл (произведение dxdS)
(δS ) k =1		∂xk

является величиной третьего порядка малости. Что и требовалось показать.

Рис. 5

12	12
	1 Электростатическое поле

Если взять отношение потока из бесконечно малого объема к этому объему (отношение потока как третьего порядка малости к объему также третьего порядка малости), то полученная величина будут конечной величиной и может служить величиной заряда в рассматриваемой точке пространства. Разделим теорему Гаусса (1.4) на объем, охватываемый поверх-

ностью, и возьмем предел этого отношения при V → 0:

	EdS		1		ρ dV
lim	(S )	=		lim	(V )	(1.6)
	V				V
V →0			ε0 V →0

Здесь правый предел есть объемная плотность заряда в рассматриваемой

				ρ dV
	точке:	lim		(V )		= ρ .
				V
		V →0
				EdS			ρ
	Следовательно, имеем:	lim		(S )		=		.
				V
		V →0					ε0

Левый предел в (1.6) называется дивергенцией (расхождением) вектора E в рассматриваемой точке:

	div E = lim	EdS
		(S )			.	(1.7)
			V
	V →0
Итак:	div E =		ρ	.		(1.8)
			ε0

Уравнение (1.8) является дифференциальной формой теоремы Гаусса (1.4).

Теорема Гаусса-Остроградского. Исходя из определения дивергенции (1.7), получим важную интегральную теорему векторного анализа – теорему ГауссаОстроградского.

Рассмотрим конечный объем V, ограниченный поверхностью с площадью S (рис. 5). Разобьем этот объем на бесконечно малые параллелепипеды, площадь

поверхности которых δS и объем dV. Из (1.7) следует, что бесконечно малый

	поток через δS из бесконечно малого объема параллелепипедов dV определяется
	выражением	dV
	EdS= div E dV.
			S
	(δS )

Просуммируем потоки от всех параллелепипедов, получим:EdS= divEdV

δS

Левая сумма в этом выражении является суммой потоков

вектора E из бесконечно малых параллелепипедов. Нормали к смежным граням соседних бесконечно малых параллелепипедов направлены навстречу, поэтому соответствующие потоки компенсируются. Остаются некомпенсированными

1 Электростатическое поле	13
	13

потоки через внешнюю поверхность S. Из этого следует, что левая сумма равна потоку E через внешнюю поверхность S рассматриваемого объема V:

EdS= EdS.

δS (S )

Правая сумма divEdV есть объемный интеграл от дивергенции по всему

рассматриваемому объему V:
divEdV =	divEdV .
	(V )

Итак, приходим к теореме Гаусса-Остроградского:
EdS=	divEdV .	(1.9)
(S )	(V )

Теорема Гаусса-Остроградского (1.9) позволяет преобразовать объемный интеграл в поверхностный интеграл. Разумеется, функция E(x, y, z) должна быть конечной и непрерывной вместе со своими первыми производными во всех точках рассматриваемого объема V.

Теорема Гаусса-Остроградского также приводит к уравнению (1.8). Действительно, из сравнения (1.9) и теоремы Гаусса для вектора E (1.4) непосредственно следует уравнение (1.8):

div E = ρ .

ε0

Сравнивая (1.9) с теоремой Гаусса для вектора D (1.5), получим дифференциальную форму этой теоремы:

div D = ρ(своб.)

(1.10)

Дивергенция инвариантна относительно преобразования координат. Относительно декартовой системы координат дивергенция вектора E имеет вид (вывод несложный, который можно найти в курсе общей физики):

div E =∂∂Exx + ∂∂Eyy + ∂∂Ezz .

Теперь уравнение (1.8) можно записать в развернутом виде:

∂E	x +	∂E y	+	∂E	z =	ρ	.	(1.11)
		∂y				ε0
∂x				∂z

Итак, заряды ρ в данной точке пространства порождают дивергенцию вектора E из данной точки.

Аналогичный развернутый вид имеет и уравнение (1.10):

∂D	x	+	∂Dy	+	∂D	z	= ρ(своб.).	(1.12)
			∂y		∂z
∂x

14	14
	1 Электростатическое поле

Поставленная выше задача решается с помощью уравнений (1.11) и (1.12). Действительно, например, по заданным значениям компонент

(Ex, Ey, Ez) можно рассчитать плотность зарядовρ (x,y,z) в пространстве. В частности, если сумма производных ∂∂Exx + ∂∂Eyy + ∂∂Ezz =0, то это означает, что в рассматриваемой точке заряды отсутствуют (ρ =0).

Рассмотрим простой пример расчета распределения заряда по заданному полю вектора D. Допустим, вектор D направлен везде по радиус-вектору r, причем:

1) D = br при 0 ≤ r ≤ R ; 2) D = b Rr33 r при R ≤ r ≤ ∞,

где: r = xi + yj + zk; b – постоянный коэффициент; R – заданный радиус. Для области пространства 0 ≤ r ≤ R имеем:

Dx = bx; Dy = by; Dz = bz.

Для области пространства R ≤ r ≤ ∞ имеем:

Dx = b

R3

x;

Dy = b

R3

y;

Dz = b

R3

z,

где r3

= (x2 + y2 + z2 )32

r3

r3

r3

Для области 0 ≤ r ≤ R

∂D

∂Dy

∂D

∂D

∂Dy

∂D

x =

=

z = b, поэтому в этой области divD=

x

+

+

z

= 3b = const.

∂y

∂y

∂x

∂z

∂x

∂z

Для области R ≤ r ≤ ∞

∂D

3

1

3x2

∂Dy

3

1

3y2

∂D

3

1

3z2

x

= bR

−

;

= bR

−

;

z = bR

−

.

∂x

3

r

5

∂y

3

r

5

∂z

3

r

5

r

r

r

∂D

∂Dy

∂D

1

3(x2 + y

+ z2

В этой области

divD =

x

+

z

=

−

2

= 0.

+

3

5

∂x

∂y

∂z

r

r

Итак, в первой области 0 ≤ r ≤ R во всех точках содержится заряд с однородной плотностью заряда ρ = 3b. В области R ≤ r ≤ ∞ заряды отсутствуют. Таким образом, первая область представляет собой однородно заряженный шар радиуса R.

Дивергенцию вектора E можно записать с помощью векторного оператора набла (оператора Гамильтона):

= ∂∂x i + ∂∂y j + ∂∂z k.

Оператор рассматривается как вектор, точнее – символический вектор. Запишем скалярное произведение символического оператора набла

=

∂

i +

∂

j +

∂

k

на вектор E = Exi + Eyj + Ezk:

∂x

∂y

∂z

E = (

∂

i +

∂

j +

∂

k) (Exi + Eyj + Ezk)

=

∂E

x

+

∂E y

+

∂E

z

.

∂x

∂y

∂z

∂y

∂x

∂z

1 Электростатическое поле	15
	15

Полученный результат есть div E. Итак, уравнение (1.8) можно записать в форме

E =		ρ	,					(1.13)
а уравнение (1.10) в форме		ε0
D = ρсвоб..								(1.14)
Заметим, выражение типа E =	(Exi + Eyj + Ezk) (			∂	i +	∂	j +		∂	k)
				∂x		∂y
									∂z

не является числом, а все еще остается некоторым оператором.

1.4.Работа электростатического поля. Потенциал электростатического поля

Работа электростатического поля. Потенциал и разность потен-

циалов. Встречающиеся в практике законы сил обычно являются или функциями координат ( радиус-вектора) F(r), или функциями относительной скорости F(v) взаимодействующих тел. «Экзотические» силы,

зависящие от ускорения − силы вида F(а), в практике встречаются весьма редко. Примером силы вида F(а) является так называемое радиационное сопротивление. Примерами сил вида F(r) является гравитацион-

	ная	сила F				= γ	m1m2	, сила упругости F = − kx. Кулоновская сила
							r2
		1		q1q2
	F =					также, разумеется, относится к силам вида F(r). К силам
		4πε0		r2

вида F(v), относятся, например, сила вязкого трения Стокса F = 6πηRv,

сила Лоренца F = qvB sinα.

Напомним, важной особенностью силовых полей вида F(r) является тот факт, что каждая точка такие поля обладают скалярной характери-

стикой − скалярным потенциалом ϕ(x,y,z). В этой связи силовые поля вида F(r) называют потенциальными полями. Покажем, что работа стационарного (постоянного во времени) электростатиче-

ского поля определяется начальным и конечным						r2 2
положениями перемещающегося тела, и не за-
висит от вида траектории тела.						r+dl
Поместим заряд Q в начало системы отсче-
						dl
та, тогда электростатическое поле, создаваемого			y
зарядом Q, в выбранной системе отсчета будет	Q				r	•	F
						q dr
стационарным ( рис.10). Вычислим работу элек-	•		x
	z		r1	1
тростатического поля, создаваемого зарядом Q,						l
при перемещении заряда q в этом поле по траек-
тории l из точки (1) в точку (2). По определению		Рис. 10

16		16
	1 Электростатическое поле
конечная работа
	A = Fdl=	F dl cosα ,
	(l )	(l )

где α − угол между векторами F и dl. Из рисунка видно, что (dl cosα) = dr. Величина dr – это бесконечно малое изменение расстояния между Q и q при перемещении заряда q по траектории на величину d l (перемещение dl – бесконечно малая величина). Итак, имеем:

r2

1

Q

1

Q

−

1

Q

= q (ϕ1 − ϕ2). (1.14)

A = F dr = qE dr = q

4πε

r2

dr = q

4πε

r

4πε

r

(l )

(l )

r1

0

0 1

0 2

Итак,

A = q (ϕ1 − ϕ2) = − q

ϕ .

(1.14*)

Напомним, символом (дельта) принято обозначать приращение величины, т.е. разность между конечным и начальным значением величины:

ϕ = (ϕ2 − ϕ1).

Величина (ϕ1 − ϕ2) = − ϕ называется убылью величины ϕ.

Элементарная порция работы поля δA на элементарном перемещении dl определяется бесконечно малым приращением потенциала:

δA = − q dϕ.

Как видно из (1.14), работа стационарного электростатического поля не зависит формы траектории (или, как говорят, не зависит от формы пути), а определяется начальным ( r1) и конечным ( r2) положениями заряда q. В частности, на замкнутой траектории при возвращении заряда q в начальное положение, работа поля равна нулю.

Определение. Стационарное потенциальное поле, работа которой не зависит от пути перехода из начального положения в конечное положение и определяется только этими начальным и конечным положения-

ми, называется консервативным полем. Стационарное электростатическое поле является консервативным полем.

Замечание.

1.Не всякое потенциальное поле является консервативным. Например, работа

поля, в которой проекции силы зависят от координат по закону Fx = ay; Fy = ax; Fz = 0 (а – положительная константа), на замкнутой траектории не равна нулю (проверьте).

2.Магнитная сила Лоренца F = q[v, B] является функцией скорости, поэтому магнитное поле не является потенциальным полем. Следовательно, у магнитного поля не существует скалярной характеристики – скалярного потенциала. Однако работа магнитной силы Лоренца равна нулю не только на замкнутой траектории, но и на любом участке движущегося заряда, т.к. везде dl B

(ибо v B). Вследствие равенства нулю работы силы Лоренца на замкнутой траектории, эту силу называют псевдоконсервативной силой.

1 Электростатическое поле	17
	17

Потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r, определяется (с точностью до произвольной кон-

станты С) формулой ϕ =4πε1 0 Qr + С. Это не приводит к недоразумениям,

т.к. физика процессов зависит не от потенциала, а от разности потенциалов. Разность потенциалов не зависит от выбора постоянной константы

[(ϕ1 + C) − (ϕ2 + C)] = (ϕ1 − ϕ2).

Если принять некоторую точку поля за нулевой уровень потенциала, тогда потенциал принимает однозначный вид:

	ϕ =	1	Q .	(1.15)
		4πε0
			r

В физике за нулевой уровень потенциала поля заряда принят потенциал в бесконечности. В радиотехнической и электротехнической практике за нулевой уровень потенциала обычно принимается потенциал Земли. При заземлении кожух и несущие конструкции прибора приобретает потенциал Земли, что обеспечивает безопасность эксплуатации.

Из выражения A = q (ϕ1 − ϕ2) следует, что разность потенциалов двух точек поля равна работе поля по перенесению единичного заряда из

первой во вторую точку: (ϕ1 − ϕ2) = qA . Таким образом, единицей потен-

циала служит 1 ДжКл . Единица потенциала (1 ДжКл ) имеет собственное назва-

ние – вольт:

1 В = 1 ДжКл .

Полезно обратить внимание на структурную и содержательную аналогию в формулах для электростатического поля

F = qE и A = q (ϕ1 − ϕ2),

и поля силы тяжести (поле силы тяжести также потенциальное поле)

F = mg и A = m(gh1 − gh2).

1.5. Потенциальная энергия взаимодействия зарядов

Потенциальная энергия взаимодействия системы из двух зарядов.

Из уравнения (1.14) следует, что работу можно представить убылью скалярной функции W(r) = 4πε1 0 qQr :

A =	1		qQ −	1 qQ			= W(r1) − W(r2) = − W.
				4πε		r
	4πε	0	r		0
			1			2

18	18
	1 Электростатическое поле

Функция W(r) называется потенциальной энергией взаимодействия заря-

дов Q и q, а работа равна убыли потенциальной энергии (− W) взаимодействия зарядов.

Потенциальная энергия взаимодействия системы, содержащей более двух зарядов. Вначале рассмотрим пример системы из трех взаимодействующих зарядов. Потенциальная энергия такой системы

W = W12 + W13 + W23,

где: W12 – потенциальная энергия взаимодействия первого и второго зарядов; W13 – первого и третьего; W23 – второго и третьего. Воспользуемся очевидным фактом, что энергия взаимодействия, например, первого заряда со вторым равна энергии взаимодействия второго заряда с первым, т.е. W12 = W21 . Таким образом можно записать Wik = Wki (члены вида Wii отсутствуют, т.к. считается, что заряд сам на себя не действует). Имеем:

Wik =Wik + Wki ,

2

Следовательно, W = W12 + W13 + W23 =	1	(W12 + W21 + W13 + W31 + W23 + W32).
	2

Сгруппируем члены суммы с одинаковыми первыми индексами:

W = 12 [(W12 + W13) + (W21 + W23) + (W31 + W32)] = 12 ( W1 + W2 + W3).

Здесь W1 = W12 + W13 = q1ϕ1 – потенциальная энергия взаимодействия первого заряда с остальными двумя – вторым и третьим зарядами; ϕ1 − потенциал электростатического поля, созданного совместно двумя остальными зарядами q2 и q3 в том месте, где находится заряд q1. Аналогично: W2 = W21 + W23 – энергия взаимодействия второго заряда с первым и третьим; W3 = W31 + W32 – энергия взаимодействия третьего заряда с первым и вторым.

Можно сказать и так: например, член суммы W1 = W 12 + W13 – это потенциальная энергия первого заряда в поле, созданного совместно вторым и третьим зарядами. Аналогично по остальным членам суммы W2 и W3.

Итак, потенциальная энергия замкнутой системы из N взаимодействующих зарядов выражается соотношением:

	1 n=N		1 n=N		(1.16)
W =	2	Wn =	2	qnϕn ,
		n=1		n=1

где: Wn = qnϕn – потенциальная энергия заряда qn в электростатическом поле, созданного всеми остальными зарядами системы; ϕn – потенциал электростатического поля, созданного всеми остальными зарядами в том месте, где находится заряд qn.

Энергия уединенного заряженного проводника, энергия конденсатора.

Пусть уединенный проводник заряжен зарядом q. Заряды, в соответствии с законом обратного квадрата электростатической силы – законом Кулона,

1 Электростатическое поле	19
	19

находятся на поверхности проводника. Электрический ток в уединенном проводнике отсутствует, т.е. все точки поверхности проводника имеют одинаковый потенциал, т.е. поверхность заряженного проводника является эквипотенциальной поверхностью. Любой выделенный элементарный за-

ряд q на поверхности проводника находятся в поле остальных зарядов, создающий потенциал ϕ на поверхности уединенного проводника. Таким образом, энергия уединенного заряженного проводника, в соответствии с (1.16), определяется выражением:

	W =	1		q ϕ =	1	ϕ	q=	qϕ	.
		2			2			2

Воспользовавшись понятием электрической емкости уединенного заряженного проводника C =ϕq , выражение для энергии W запишется в форме

	W =	qϕ	=	q2	=	Cϕ 2 .	(1.17)
		2		2C
						2

Энергия заряженного конденсатора. Обозначим потенциал положи-

тельно заряженной обкладки (+q) конденсатора через ϕ1, отрицательно заряженной (−q) – через ϕ2. В соответствии с (1.16) имеем:

W =

1

[ (+q) ϕ1 + (−q) ϕ2] =

1 q (ϕ1 – ϕ2) =

q2

=

C(ϕ1 − ϕ2)2

,

(1.18)

2

2C

2

2

где C =

q

− емкость конденсатора (заряд q берется по абсолютному

ϕ1

− ϕ2

значению). Разность потенциалов между обкладками конденсатора (ϕ1 − ϕ2) обычно называют напряжением на конденсаторе. Напомним, единицей

емкости служит 1 КлВ и имеет собственное название − фарад (Ф): 1Ф = 1 КлВ .

1.6. Энергия электрического поля

Ранее было получено, что электрическое поле конденсатора сосредоточено между обкладками конденсатора, и вне конденсатора поле отсутствует (§ 1.3). Формула (1.18) определяет энергию конденсатора через заряды на обкладках конденсатора. Выразим энергию конденсатора

через характеристики поля. Емкость плоского конденсатора C = εεd0S ;

напряженность поля в конденсаторе E = ϕ1 −dϕ2 , где d – расстояние между обкладками. Подставим в (1.18) эти соотношения, получим:

W =C(ϕ1 − ϕ2 )2	=	εε0S (Ed)2	=	εε0E2	V ,	(1.19)
2		2d		2

20	20
	1 Электростатическое поле

где V = Sd – объем конденсатора, равный объему, занимаемый электрическим полем конденсатора. Формула W = εε02E2 V связывает энергию кон-

денсатора уже не с зарядами, а с напряженностью поля E в конденсаторе. W – Плотность энергии w электрического поля (энергии в единице объема)

в среде с диэлектрической проницаемостью ε				определяется выражением:
w = W =	εε0E2		.			(1.20)
V		2
Разумеется, формулы W = C(ϕ1 − ϕ2)		2				2
		и W =			εε0 E	V при расчетах при-
2					2

водят к одному и тому же результату. Однако возникает вопрос, что является носителем электрической энергии – заряды на обкладках конденсатора или поле конденсатора? Вопрос можно поставить по-другому: где сосредоточена энергия – в зарядах или в поле?

В рамках электростатики на этот вопрос ответа нет, т.к. заряды и создаваемое им поле существуют совместно, т.е. электростатическое поле как бы привязано к зарядам. На этот вопрос можно получить при рассмотрении переменного электрического поля, которое может существовать независимо от зарядов, и распространяться в виде электромагнитной волны. Опыт показывает, что энергия сосредоточена в поле, т.к. именно электромагнитная волна как материальный объект переносит энергию.

1.7.Материальное физическое поле. Скалярные и векторные поля

Вэтом параграфе, для исключения досадных недоразумений, уточним содержание термина « поле». В научной литературе термин « поле» употребляется, в зависимости от контекста, в одном из двух смыслов: или в объектно-материальном понимании этого термина, или формальноматематическом. Кратко остановимся на содержательном различии этих двух смыслов термина «поле».

Объектно-материальное содержание термина «поле».

Различают четыре вида фундаментальных взаимодействия материи: гравитационное, электромагнитное, слабое и сильное взаимодействия. Взаимодействия осуществляются посредством соответствующих материальных силовых полей: гравитационного, электромагнитного, слабого и сильного полей. Перечисленные взаимодействия относятся к фундаментальным в том смысле, что частные виды взаимодействий сводятся к этим четырем. Например, сила упругости и сила трения сводятся, в конечном счете, к электромагнитному взаимодействию между атомами. По современным представлениям взаимодействие носит обменный характер, т.е. взаимодействие осуществляются обменом материальными переносчиками,