Линейная алгебра

Замечание. Возьмите себе за правило проверять полученные результаты, причем это следует делать не простым повторением проделанных действий, а каким-либо другим способом. Например, полученное уравнение высоты СD проверьте, подставив в него координаты точки С, при этом должно получиться тождество.

Действительно: 2 (- 1) – 5 + 7 = 0.

4. Уравнение медианы ВЕ, проведенной из вершины В, составляется по координатам двух точек В и Е. Координаты точки В известны, а координаты точки Е находим как координаты середины отрезка АС по формулам деления отрезка пополам:

xE		xA xC	;	yE	yA yC
					2
	2

В рассматриваемой задаче

xE		2 1		1 2 ;	yE		1 5	3
		2					2

Имея две точки В(-4;4) и Е (1/2;3), запишем уравнение ВЕ:

		x xE				y yE
		xB xE				yB yE
а именно:
1
	x 2			y 3			; или
1
				4 3
	4 2
2x 1 9 y 27; или					2x 9 y 28 0 (BE)

5. Координаты точки пересечения высоты СD и медианы ВЕ найдем, решив систему уравнений СD и ВЕ:

(x0 ; y0 )

2x y 7 0			y 2x 7		y 2x 7
	0
2x 9 y 28		2x 9(2x 7) 28 0		20x 35 0
		35
		x 20	1,75
	y 2( 1,75) 7 7 3,5 3,5

Итак, К(-1,75; 3,5), что соответствует чертежу на рис. 1.

6. Длина высоты СD есть расстояние от вершины С до стороны АВ. Поэтому длину высоты находим по формуле расстояния от точки до прямой Ax By C 0 :

d Ax0 Bx0 C .

A2 B2

В данной задаче С(-1;5), а уравнение стороны АВ можно составить, используя уравнение пучка прямых:

y yA k AB (x xA ) ,

где A(2;1) и k AB 12 .

Тогда

	CD				xC	2 yC 4)				1 2	5 4			5		5 2,24 .
					12 22					5				5

Задачи 51-60

Предварительно ознакомьтесь со следующими вопросами по теме «Кривые второго порядка»

1.Что называется кривой второго порядка?

2.Канонические уравнения кривых второго порядка. Графики этих

кривых:

а) окружность: x2 y 2 R2 ;

	б) эллипс:	x2		y2	1;
		a2		b2

	в) гипербола:	x2		y 2	1;
		a2		b2

г) парабола: y ax2 (с осью симметрии Оу), x by2 (с осью симметрии Ох).

З. Параллельный перенос системы координат. Приведение уравнения второго порядка к каноническому виду.

Указанные виды кривых исчерпывают все виды кривых второго порядка (исключая случаи вырождения).

В результате решения задачи вы должны получить одну из названных кривых и построить ее в прямоугольной системе координат.

Задача. Составить уравнение линии, для каждой точки которой отношение расстояний до точки F(5;0) и до прямой x 1 равно 5 .

Решение. Построим в системе координат точку F(5;0) и вертикальную прямую Х=1(рис.2).

Рис.2.

Пусть М (х,у) - произвольная (текущая) точка искомой линии.

На рис. 2 изображены расстояния от этой точки до заданной точки F, то есть MF, и до заданной прямой: х=1, то есть MN. Обратите внимание, что MN - перпендикуляр к заданной прямой и поэтому точка N имеет (как и точка М)

ординату, равную у: N(1 ;у).

По условию задачи MNMF 5 .

Выразим длины отрезков MF и MN через координаты их концов по формуле расстояния между точками:

MF (x 5)2 ( y 0)2 ;

MN (x 1)2 ( y y)2 (x 1) .

Тогда по условию

	(x 5)2 y 2	5 .
	(x 1)2

Это и есть уравнение искомой линии. Упростим его, возведя в квадрат обе части уравнения и сделав другие преобразования:

(x 5)2 y 2

5 ;

(x 1)2

(x 5)2 y 2 5(x 1)2 ;

x2 10x 25 y 2 5x2 10x 5 ;

4x2 y 2

20

Разделим обе части уравнения на 20:

x2

y 2

1

5

20

Это каноническое уравнение гиперболы. Из него видно, что дей-

ствительная

полуось

гиперболы

a

5 2,25,

мнимая

полуось

b 20 2 5 2 2,25 4,5 .

Центр симметрии гиперболы находится в начале координат. Для построения гиперболы отложим на осях координат в обе стороны от начала координат полуоси гиперболы a 5 и b 2 5 .

Через полученные точки «-а» и «а» на оси Ох и точки «-b» и «b» на оси Оу построим вспомогательный прямоугольник (рис. 3). Проведем диагонали этого прямоугольника, которые являются асимптотами гиперболы: к ним

будут неограниченно приближаться ветви гиперболы, Построим кривую, как указано на рис. 3. Задача решена.

Рис. 3

Замечание. Если бы в этой задаче после преобразований вы получили уравнение

x2		y 2	1,
5
	20

то оно определяет эллипс, порядок построения которого ясен из рис.4.

Рис.4

Замечание. Если в задаче вашего варианта после преобразований в

уравнении наряду	с	членами x2 и y 2 присутствуют члены, содержащие
первые степени	x	или	y ,	то следует выделить	полный квадрат
(соответственно по	x	или по	y ).
Например, в уравнении			x2	8x 2 y 0 выделим полный квадрат по x ,
для чего прибавим и отнимем половину коэффициента при					x , возведенную
в квадрат:

x2 8x	2 y;	x2 2 4x 42	42	2 y;(x 4)2	2 y 16;
(x 4)2	2( y 8);

Обозначим y 8 Y ; x 4 X ,

тогда

X 2

2Y

или Y 0,5X 2 - это

ка-

ноническое уравнение параболы.

Построим

новые

и

,

которые

смещены относительно

оси O X

O Y

старых осей Ox

и Oy

так, что новое начало координат будет находиться в

точке

,

где и

расположена

вершина

параболы. Ось симметрии

O (4 8)

,

ветви ее направлены вверх, так как коэффициент при

X

2

параболы O Y

положительный.

Полезно

найти

точки

пересечения

параболы x2 8x 2 y 0

со

старыми осями координат Ox и Oy .

При x 0

получим 02 8 0 2 y 0 ,

откуда y 0 , таким образом, пара-

бола проходит через точку O(0;0)

- в старой системе координат.

При y 0

получаем уравнениеx2 8x 0 ,

откуда x1 0, x2 8, т.е. пара-

бола пересекает ось Ox в точках O(0;0) и (8;0) (рис.5)

Рис.5 Задачи № 61-80.

Комплексным числом z называется выражение z a ib , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:

i2 1; i 1.

z a ib

При этом число a называется действительной (вещественной) частью числа z (a = Re z), а b- мнимой частью (b = Im z).

Такую форму записи называют алгебраической формой записи

комплексного числа.

С геометрической точки зрения, всякому комплексному числу

соответствует точка M (a;b) плоскости (или вектор OM ) и, наоборот, всякой точке M (a;b) соответствует комплексное число z a ib . Между множествами комплексных чисел и точек плоскости установлено взаимно однозначное соответствие, поэтому данная плоскость называется комплексной и обозначается символом (z). Множество всех комплексных чисел обозначается буквой С. Точки, соответствующие действительным числам z a , расположены на оси Ox, которая называется действительной осью комплексной плоскости, а точки, соответствующие мнимым числам z ib , на оси Oy, которую называют мнимой осью комплексной плоскости.

Числа	z a ib		и
z a ib называются		комплексно	–			М
				b			z a ib
сопряженными.					r
Два комплексных числа z1 a1			ib1			a
и z2 a2 ib2 называются равными, если
									a ib
соответственно равны их действительные				b				z
						М
и мнимые части: a1 a2 ;
		b1 b2 .
Понятие комплексного числа			имеет	геометрическое		истолкование.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел.

С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.

Из геометрических соображений видно, что a r cos ; b r sin . Тогда комплексное число можно представить в виде:

z a ib r cos ir sin r(cos i sin )

Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа. При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол наклона - аргументом комплексного числа.

r		z		;	Arg z .

Из геометрических соображений видно:

r		a ib			a2 b2 ;	Arg z arctg b	;
						a

Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.

z z ; Arg z Arg z.

Действия с комплексными числами.

Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.

1) Сложение и вычитание.

z z1 z2 (a1 ib1 ) (a2 ib2 ) (a1 a2 ) i(b1 b2 )

z (a1 a2 )2 (b1 b2 )2

2) Умножение.

z z1 z2 (a1 ib1 )(a2 ib2 ) a1a2 ia1b2 ib1a2 i2b1b2

zz1 z2 (a1a2 b1b2 ) i(a1b2 b1a2 )

Втригонометрической форме:

z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) ,

z2 r2 (cos 2

i sin 2 ).

z z1 z2

r1r2 (cos( 1

2 ) i sin( 1 2 ))

3) Деление.

z a1a2 b1b2

i a2b1 a1b2

a2

b2

a2

b2

2

2

2

2

В тригонометрической форме:

z

z1

r1

(cos(

2

) i sin(

2

))

z2

r2

1

1

4) Возведение в степень.

z n r n (cos n i sin n ) ,

где n – целое положительное число. Это выражение называется формулой

Муавра.

5) Извлечение корня из комплексного числа.

	2 k	i sin	2 k
n z n r(cos i sin ) n r cos	n		n

Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

Кроме алгебраической и геометрической, существует показательная

форма записи комплексного числа.
Рассмотрим показательную функцию w ez ;	z x iy.

Можно показать, что функция w может быть записана в виде: w ex iy ex (cos y i sin y)

Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

eiy cos y i sin y

Для комплексно – сопряженного числа получаем: e iy cos y i sin y

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

zr(cos i sin )

ивоспользуемся формулой Эйлера: ei cos i sin

z rei .

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного

числа.

Задача 1. Даны два комплексных числа z1	1	7 i;	z2 7 2i . Найти
		2

	1	7	i	4
		2
значение выражения				.
	7
			2i

Решение.

Очевидно, справедливо следующее преобразование:

	1	7	i	4				4				4				4
		2				2 7i				14 4i				7 2i
										2 7i			16	2 7i
	7
			2i			14 4i

Далее производим деление двух комплексных чисел:

	7 2i				( 7 2i)(2 7i)		14 49i 4i 14		53i	i.
		2 7i			(2 7i)(2 7i)		4 49		53
Получаем значение заданного выражения: 16(-i)4 = 16i4 =16.
	1	7	i	4
		2
Ответ.					16
	7 2i
Задача 2.
Для числа z 2				2	3i найти:

а) Тригонометрическую форму записи числа;

б) z20;

в) Все корни уравнения w3 z 0.

Решение.

а) Число z 2 2 3i представим в виде z r(cos i sin ) ,

где r		z			4 12 4;		arctg b		arctg	3
								a			3
Тогда					z 4(cos		i sin	) .
						3		3

б) Для нахождения z 20 воспользуемся формулой Муавра.

z 20 420 (cos12000 i sin12000 ) 420 (cos(3 2 1200 ) i sin(3 2 1200 ))