Линейная алгебра

							20			0						0					1		3
																				20
						4		(cos120			i sin120						) 4							i .
																					2		2
в) Если w3 z 0 , то w 3 z
					2 k				2 k									60	0	2 k					60	0	2 k
3	z	3	r			i sin							3	4									i sin						k Z.
				cos	3				3						cos					3							3	;

Задача 3. а) Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел. б) Записать комплексные числа z1 и z2 в тригонометрической и показательной форме.

z1 = 2 + 2i, z2 = - 1 - i

Решение.

а) Найдем сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел, используя соответствующие формулы (5.1-5.5)

z1 + z2 = (2 - 1) + i (2 - 1) = 1 + i; z1 - z2 = (2 + 1) + i (2 + 1) = 3 + 3 i; z1 z2 = (- 2 + 2) + i (- 2 - 2) = - 4 i;

z			2 2i 1 i			4			4
1											2 ;
			1 i 1 i			1 1				2
z	2
z	2		1 i 2 2i			4				4			1	.
z			2 2i 2 2i			4 4				8			2
	1

б) Запишем комплексные числа z1 и z2 в тригонометрической и показательной форме.

Для того чтобы перейти от алгебраической формы к тригонометрической и показательной необходимо найти:

- модуль комплексного числа r = х2 у2 ;

- аргумент комплексного числа Arg z или :

			у
	1) z1	= 2 + 2i	2
			b
				а 2 х

r = 22 22 2 2

Комплексное число z1 находится в первой четверти, значит аргумент

комплексного числа будет равен arg z arctg

y

= arctg1

.

4

1

x

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

z1

= 2 2 (сos

+ i sin

).

4

4

Показательная форма записи комплексного числа:

i

z1 = 2 2 е4 .

у

2) z2 = - 1 – i

-1

r = 1 2 1 2 2

-1

х

Комплексное число z2 находится в четвертой четверти, значит аргумент

комплексного числа будет равен arg z2 arctg

y

arctg1

=

.

x

4

Тригонометрическая форма записи комплексного числа:

z2 =

2 (сos

+ i sin

).

4

4

Показательная форма записи комплексного числа:

i z2 = 2 е4 .

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

ПРАВИЛО ВЫБОРА ВАРИАНТА

Вариант контрольной работы определяется по таблице в зависимости от двух последних цифр номера шифра личного дела студента. В колонке таблицы по вертикали расположены цифры от 0 до 9, каждая из которых - предпоследняя цифра номера шифра. В верхней строке по горизонтали размещены так же цифры от 0 до 9, каждая из которых - последняя цифра шифра.

Пересечение вертикальной и горизонтальной линий определяет номера заданий контрольной работы. Например, по последним двум цифрам номера шифра «78» находят вариант контрольной работы на пересечении строки с цифрой 7 и столбца с цифрой 8, то есть это номера: 5, 11, 27, 40, 41, 58, 79.

ТАБЛИЦА ВЫБОРА ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ №1

	П					Последняя цифра номера шифра
	р
	е			0	1	2	3	4	5	6	7		8			9
	д
	п			1	2	3	4	5	6	7	8		9			10
	о
				12	11	13	15	17	19	20	18		16			14
	с
				24	26	28	30	25	27	29	21		23			22
	л	0
				35	33	37	39	40	38	36	34		32			31
	е
	д			46	48	50	49	47	41	42	43		44			45
	н			53	55	57	59	60	58	56	54		52			51
	я
				61	63	65	67	69	70	68	66			64		62
	я
	Ц
				2	3	4	5	6	7	8	9		10			1
	и
				14	12	11	13	15	17	19	20		18			16
	ф
				26	28	30	25	27	29	21	23			22		24
	р
	А			33	37	39	40	38	36	34	32					35
		1											31
	ш			48	50	49	47	41	42	43	44		45			46
	и
				55	57	59	60	58	56	54	52		51			53
	Ф
	Р			71	73	77	75	79	72	78	76			74		80
	а
						Последняя цифра номера шифра
				0	1	2	3	4	5	6	7		8			9
				3	4	5	6	7	8	9	10		1			2
				16	14	12	11	13	15	17	19			20		18
		2		28	30	25	27	29	21	23	22			24		26
				37	39	40	38	36	34	32		31	35			33
				47	41	42	43	44	45	46	48		50			49
				57	59	60	58	56	54	52	51		53			55
				65	67	69	70	68	66	64	62			61		63
		3		4	5	6	7	8	9	10	1		2			3
				18	16	14	12	11	13	15	17		19			20
				30	25	27	29	21	23	22	24			26		28
				39	40	38	36	34	32	31	35		33			37

				41		42	43	44	45	46	48	50	49		47
				59		60	58	56	54	52	51	53	55		57
				75		77	80	79	78	73	74	72	71		76
				5		6	7	8	9	10	1	2	3		4
				18		16	14	12	11	13	15	17	19		20
		4		25		27	29	21	23	22	24	26	28		30
				40		38	36	34	32	31	35	33	37		39
				50		49	47	41	42	43	44	45	46		48
				58		56	54	52	51	53	55	57	59		60
				69		70	68	66	64	62	61	63	65		67
				8		9	10	1	2	3	4	5	6		7
				19		20	18	16	14	12	11	13	15		17
		5		27		29	21	23	22	24	26	28	30		25
				38		36	34	32	31	35	33	37	39		40
				49		47	41	42	43	44	45	46	48		50
				60		58	56	54	52	51	53	55			59
													57
				79		80	76	78	74	77	71	73	75		72
							Последняя цифра номера шифра
				0		1	2	3	4	5	6	7	8		9
	П
				6		7	8	9	10	1	2	3	4		5
	р
				17		19	20	8	16	14	12	11	13		15
	е
				29		21	23	22	24	26	28	30	25		27
	д	6
				40		38	36	34	32	31	35	33	37		39
	п
				42		43	44	45	46	48	50	49	47		41
	о
	с			56		54	52	51	53	55	57	59	60		58
	л			68		66	64	62	61	63	65	67	69		70
	е
				7		8	9	10	1	2	3	4	5		6
	д
				15		17	19	20	18	16	14	12	11		13
	н
				21		23	22	24	26	28	30	25	27		29
	я	7
				36		34	32	31	35	33	37	39	40		38
	я
				43		44	45	46	48	50	49	47	41		42
	Ц			54		52	51	53	55	57	59	60	58		56
				78		76	72	74	71	80	75	77	79		63
	и
				9		10	1	2	3	4	5	6	7		8
	ф
				13		15	17	19	20	18	16	14	12		11
	р
	а	8			23	22	24	26	28	30	25	27	29		21
				34		32	31	35	33	37	39	40	38		36
				44		45	46	48	50	49	47	41	45		43
	ш			52		51	53	55	57	59	60	58	56		54
				64		62	61	63	65	67	69	70	68		66
	и
	Ф
				10		1	2	3	4	5	6	7	8		9
	р			11		13	15	17	19	20	18	16	14		12
	а	9		22		24	26	28	30	25	27	29	21		23
				32		31	35	33	37	39	40	38	36		34
				43		44	45	46	48	50	49	47	41		42
				51		53	55	57	59	60	58	56	54		52
				74		72	73	71	75	76	79	80	78		77

							Задачи для контрольных заданий
										Задачи 1-10
Даны матрицы:
1		1		B			3	2	;	2	0
A			;							C	.
0			3				1	4		3	4
Найти матрицу D и вычислить её определитель
1. D (2A 3B)C										2.		1	B
											D	2		A 2C
	1									4. D 3A(B 2C)
3. D	3	A 2B 3C
			2B	1						6.			1		A C
5. D 3A				3	C						D 3B
													3
7. D B(2C 3A)										8.						1
											D 2C B					2	A
9. D C 2AB															1				2A
										10. D C					2	3B

Задачи 11-20

Найти матрицу, обратную данной. Сделать проверку.

	1		0	2					1		2	2
11.		3	2					12.			3	1
	A			1					A 1
		4	1							5	3	4
				2
	3		0	1					1		0	1
13.			3	1				14.		1	2	5
	A 1								A
		2	3	4							3	4
									0
		2	1	1					1		1	1
15.		1	2	0				16.		1	2
	A								A			5
			3	3							4	3
	1								1
	1		2			6			0		5	3
17.		3	2			0		18.		3	9	1
	A								A
		5	2			3				0	1	3

	1		2	3			3		2	4
19.		3	0			20.		2	1	5
	A			1			A
		2	1	3					1	0
							1

Задачи 21-30

Решить систему линейных уравнений тремя способами: по формулам Крамера, матричным методом и методом последовательного исключения неизвестных ( методом Гаусса)

x1 2x2 4x3 17

3x1 x2 x3 4

21.

2x1

3x2

2x3

2

22. x1 5x2

x3 6

x

x

3

2

x

x

2

3x

3

8

1

1

x1 5x3 13

3x1 x2 x3 2

23.

2x1

2x2

3x3

14

24. 3x1

2x2

4x3 2

2x

x

2

5x

3

17

2x

x

2

x

3

2

1

1

3x1 x2 x3 7

2x1 3x2 x3 11

25.

4x1

6x2

8

26. 5x1

7x2

4x3 29

x2 x3 2

5x2 9x3 33

2x1

8x1

6x2 2x2 30

2x1 x2 1

27.

5x1

2x2

x3

27

28. x1

x2

2x3

8

x3 10

2x2 x3 4

3x2

3x1

2x1 3x2 2x3 6

x1 3x2 4x3 16

29.

x1 2x2

3x3

5

30. x1 2x2

3x3

12

4x2 x3 5

2x2 5x3 14

3x1

3x1

Задачи 31-40

		Доказать, что векторы					a1 , a2 , a3		не лежат в одной плоскости, (образуют
базис), разложить вектор b							по векторам a1 , a2 , a3 (по базису).
31.	a1	(1;1;2)	,	a2 (2; 1;0)	,	a3 ( 1;1;1) ,			b(6; 1;3)
32.	a1	(2;2;1)	,	a2 ( 1; 1;0)	,	a3 ( 1;1;1)		,	b(2;4;3)
33.	a1	(1;1; 1)	,	a2 (1; 2;0)	,	a3 ( 1;1;1)		,	b( 3;2;4)
34.	a1	(6;6;7)	,	a2 ( 1;1;1)	,	a3 (7; 1;0)		,	b( 12;6;1)

35.	a1 ( 1;1;1)		,	a2 (5;5;6)	,	a3 (6; 1;0)	,	b(10;5;1)
36.	a1 (1;1;8)		,	a2 ( 1;1;1)	,	a3 (8; 7;0)	,	b( 1;7;14)
37.	a1	(1; 1; 1)		, a2 (1;1; 2)		, a3 (2; 3;0)		,	b( 2; 6;3)
38.	a1	(4;1;0)	,	a2 (5;5;4)	,	a3 ( 2;2;2)	,	b(5; 5; 4)
39.	a1 (7;7;6)		,	a2 (1; 1;1)	,	a3 (6;1;0)	,	b(7;7;2)
40.	a1	(2; 1;3)	,	a2 (5;1;0)	,	a3 (2;0; 2)		,	b(13;2;7)

Аналитическая геометрия на плоскости

Задачи 41-50

Даны вершины A(xi;yi), В(х2;у2) С(х3;у3) треугольника. Сделать чертеж и найти:

1)длину стороны АВ;

2)внутренний угол А в радианах с точностью до 0,01;

3)уравнение высоты, проведенной через вершину С;

4)уравнение медианы, проведенной через вершину В;

5)точку пересечения медианы BE и высоты CD;

6)длину высоты, проведенной через вершину С.

41.	А(4;1);	В (-4; 7);	С (0; 9)
42.	А(10;0);	В (2; 6);	С (6; 8)
4З. А(8;2);		В(0;8);	С (4; 10)
44.	А(5;-1);	В(-3;5);	С (1; 7)
45.	А (6; 2);	В (-2; 8);	С (2; 10)
46.	А(7;3);	В(-1;9);	С (3; 11)
47.	А(8;3);	В(0;9);	С (4; 11)
48.	А (12; -2); В (4; 4);		С (8; 6)
49.	А(14;-1);	В (6; 5);	С (10; 7)
50. А(9;3);		В(1;9); С (5; 11)

Задачи 51-60

Найти уравнение линии как геометрического места точек и построить эту линию.

51.Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F(3/2;0) и до прямой x 6 равно 1/2.

52.Составить уравнение геометрического места точек, отношении

расстояний которых до точки F (7; 0) и до прямой x 1,4 равно 5 .

53.Составить уравнение геометрического места точек, равноотстоящих от точки F (-2; 0) и от прямой y 2

54.Составить уравнение геометрического места точек, отношение

расстояния которых до точки F(-2;0) и до прямой x 10 равно 5 5

55. Составить уравнение геометрического места точек, равноотстоящих

от точки

F(-3;-1) и от прямой x 1

56.Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F (4.5; 0) и до прямой x 0,5 равно 3

57.Составить уравнение геометрического места точек, равноотстоящих от точки F(2;4) и от прямой y 3

58.Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F(l; 0) и до прямой x 6 равно 6 /6

59.Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до точки F (6; 0) и до прямой x 1 равно 6

60.Составить уравнение геометрического места точек, равноотстоящих от точки F (4; 1) и от прямой x 0

Задания 61-80.

Найти сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел. Записать комплексные числа z1 и z2 в тригонометрической и показательной форме.

61.

z1 = 3

- 3i, z2 = - 1 – i.

62.

z1 = 3i, z2 = - 1

+ i.

63. z1 = - 2 - 2 3 i, z2 = - 1 – i.

64.

z1 = -

3

+ 3i, z2 = 2 – 2i.

65.

z1 = - 2i, z2 = - 3 – i.

66.

z1 = -

5

+ 5i, z2 = –2 i.

67.

z1 = 6

+ 6i, z2 = - 3 + i.

68.

z1 = 2

- 2 3 i, z2 = 1 – i.

69.

z1 = - 4 + 4i, z2 = 2 + 2i.

70.

z1 = 2i, z2 = 2 – 2i.

71.

z1 = 5i, z2 =

3 – i.

72.

z1 = 7

-

7i, z2 = – i.

73.

z1

= 1

- i, z2 =

3 - i.

74.

z1

= 3

- 3 3 i, z2 = 3 i.

75.

z1

= 4i, z2 = 2 - 2i.

76.

z1

= 2

-

2i, z2 = 1 +

3 i.

77.

z1

= 2

+ 2i, z2 = - 2 + 2i.

78.

z1

= -

5i, z2 =

3 + i.

79.

z1

= - 7 + 7i, z2 = 7 i.

80.

z1

= 1

+ i, z2 = - 3 +

3 i.