лин с пр частью
.pdfИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
9.3.10. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ СО СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙЧАСТЬЮ
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №1
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k |
= ±1, |
k |
3,4 |
= 0, f (x) = ex − x2 |
|
1,2 |
|
|
|
|
|
1.2. k1,2 |
= ±2, |
k3,4 |
= ±2i, |
f (x) = −Sin3x |
|
1.3. k |
=±3i, k |
|
=3 ±i, |
f (x) =e3xCosx |
|
1,2 |
|
3,4 |
|
|
2. Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу Коши:
2.1. y |
′′ |
+ y = 4e |
x |
, y(0) |
= 4, |
′ |
= −3 |
|
|
y (0) |
2.2.y′′+ y = 2Cosx −Sinx
2.3.y′′+ y = exCosx
2.4.y′′+ y= x3e2 x
2.5.y′′−5y′+6y = 4e−2x , y(0) =0, y′(0) =1
2.6.y′′−5y′+6y= 2xe2x
2.7.y′′−5y′+6y =Cos3x +2Sin3x
2.8.y′′−5y′+6y=e3x Sin2x
2.9.y′′−2 y′+ y = x2ex
2.10.y′′−2 y′+ y = ex Sinx
2.11.y′′−2 y′+ y= x3 +1
2.12.y′′−2 y′+ y = Cos2x +1
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №2
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k1,2 = ±i, k3,4 = 0, f (x) = −2Cosx
1.2. k |
= 3, k |
2 |
= 0, |
k |
3 |
= −1, |
f (x) = ex +3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
1.3. k |
|
= −2 |
±i, k |
3,4 |
|
= ±2, |
f (x) = e−2 x Sinx |
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
2. Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу Коши:
2.1. y |
′′ |
−4 y = 4, |
y(0) = 4, |
′ |
= −3 |
|
y (0) |
2.2.y′′−4 y = 5x
2.3.y′′−4 y = 2x2e−2 x
2.4.y′′−4 y = e2 x Sin2x
2.5. y |
′′ |
−4 y |
′ |
+5 y = xe |
2 x |
′ |
= 0 |
|
|
|
, y(0) = y (0) |
2.6.y′′−4 y′+5 y = e2 xCosx
2.7.y′′−4 y′+5 y =1− x2 +e−2 x
2.8.y′′−4 y′+5 y = ex (Sin2x −3Cos2x)
2.9.y′′+2 y′+ y = x3 −1
2.10.y′′+2 y′+ y = 5e−x
2.11.y′′+2 y′+ y = 2e−2 x −3e3x
2.12.y′′+2 y′+ y = e−xCosx
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №3
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k1,2 |
= 0,k3,4 |
= 2 ±i, |
f (x) = −2Sinx |
|||
1.2. k |
= 0,k |
3,4 |
= ±i, |
f (x) = e2 x +2x |
||
1,2 |
|
|
|
|
||
1.3. k = 2,k |
2,3 |
= 2 ±i, |
f (x) = e2 xCosx |
|||
1 |
|
|
|
|
2. Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу Коши:
2.1. y |
′′ |
+4 y =8x, |
y(0) = 0, |
′ |
= 4 |
|
y (0) |
2.2.y′′+4 y = 2xe−2 x
2.3.y′′+4 y = 3Cos2x −Sin2x
2.4.y′′+4 y = ex Sin2x
2.5.y′′+4y′−5y =x2 +Sin5x,
′′ |
′ |
−5x |
, |
y(0) =2, |
′ |
=0 |
2.6. y |
+4y |
−5y =3e |
y (0) |
2.7.y′′+4y′−5y =x2ex
2.8.y′′+4y′−5y =exSin5x
2.9.y′′−4 y′+4 y = e2 x Sin2x
2.10.y′′−4 y′+4 y = x3 −3x2 +5
2.11.y′′−4 y′+4 y = 4
2.12.y′′−4 y′+4 y = 4e2 x
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №4
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k1,2 |
= −1, |
k3,4 |
= ±3i, f (x) = 2Sin3x |
|
1.2. k |
= ±1, |
k |
3,4 |
= 0, f (x) = e−x −3 |
1,2 |
|
|
|
1.3.k1,2 =0,k3,4 =1±i, f (x) =ex (2Cosx−Sinx)
2.Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу
Коши:
2.1.y′′−4y′+4y = x2e−2x
′′ |
′ |
+4y =3e |
2x |
′ |
=12 |
2.2. y |
−4y |
|
, y(0) =2, y (0) |
2.3.y′′−4y′+4y =e2xCos2x
2.4.y′′−4y′+4y = xSin2x
2.5. y |
′′ |
+2 y |
′ |
= 5, y(0) |
=1, |
′ |
= 0 |
|
|
y (0) |
2.6.y′′+2 y′ = x2 −e x
2.7.y′′+2 y′ = e−2 x Sinx
2.8.y′′+2 y′ = x3e−2 x
2.9.y′′−6 y′+10 y = ex Sin3x
2.10.y′′−6 y′+10 y = xe3x
2.11.y′′−6 y′+10 y = e3x (Cosx +2Sinx)
2.12.y′′−6 y′+10 y = x +ex
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №5
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k |
|
= 1 |
±2i, k |
|
=2, k =0, |
f (x) = 1 Cos2x |
||||
|
1,2 |
2 |
3 |
|
|
|
4 |
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.2. |
k |
=0, |
k =2, k |
|
=±2i, |
f (x) =x2 +e2x |
||||
|
1 |
|
|
2,3 |
|
|
4,5 |
|
|
|
1.3. k |
|
= −1±2i, |
k |
3,4 |
= −1, f (x) = e−x (Sin2x +Cos2x) |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу Коши:
2.1. y |
′′ |
′ |
+6y = −7e |
−2x |
, |
′ |
=1 |
|
+5y |
|
y(0) = y (0) |
2.2.y′′+5y′+6y =e−3x (Cos2x −2Sin2x)
2.3.y′′+5y′+6y =(x2 +1)e−x
2.4.y′′+5y′+6y =3
2.5.y′′−6 y′+9 y = 5Cos3x −2Sin3x
2.6.y′′−6 y′+9 y = x3
2.7.y′′−6 y′+9 y = xe3x −2x
2.8. y |
′′ |
−6 y |
′ |
+9 y = e |
3x |
Cos2x, |
y(0) = 0, |
′ |
= 2 |
|
|
|
y (0) |
2.9.y′′+16 y = e2 xCos2x
2.10.y′′+16 y = 5 −7x
2.11.y′′+16 y = 4e4 x +e−4 x
2.12.y′′+16 y = 5Sin4x
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №6
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k1,2 |
= |
1 , k3,4 = ±2i, f ( x) = 1 Sin 2 x |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1.2. k =1, |
k |
2,3 |
= 0, |
k |
4 |
= 2, |
f (x) = ex −1 |
||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1.3. k |
= ±3i, |
k |
3,4 |
= 3 ±i, |
f (x) = e3x (Sin3x +Cos3x) |
||||
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу Коши:
2.1.y′′− y′ = 5x2 , y(0) = y′(0) = 0
2.2.y′′− y′ = Sinx −2Cosx
2.3.y′′− y′ = ex Sin2x
2.4.y′′− y′ = e2 x +ex
2.5.y′′−6 y′+10 y = 2e3 x
2.6. y′′−6 y′+10 y = 7, y(0) = 2, y′(0) = −2
2.7.y′′−6 y′+10 y = e3 x Cosx
2.8.y′′−6 y′+10 y = (5 − x 2 )e x
2.9.y′′−10 y′+ 25 y = 7e5 x
2.10. y′′−10 y′+ 25 y = 23 − x 3
2.11. y′′−10 y′+ 25 y = e5 x Sin 2 x
2.12. y′′−10 y′+ 25 y = xe x − x 2
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №7
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k1,2 = ±2i, |
k3,4 = 0, |
f (x) = Cosx |
|||||
1.2. k |
=1, |
k |
2 |
= −3, |
k |
3,4 |
= 0, f (x) = ex +5x |
1 |
|
|
|
|
|
1.3.k1 =1, k2 =3, k3,4 =−1±4i, f (x) =2e−xCos4x
2.Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу
Коши:
2.1.y′′− y′=ex , y(0) = y′(0) =0
2.2.y′′− y′= x3 −5x
2.3.y′′− y′=exCos2x
2.4.y′′− y′=ex x
′′ |
′ |
−3x |
2 |
′ |
=2 |
2.5. y |
+6y |
+10y =e |
x , |
y(0) =1, y (0) |
2.6.y′′+6y′+10y =Cosx−2Sinx
2.7.y′′+6y′+10y =e−3xSinx
2.8.y′′+6y′+10y =23
2.9.y′′+36 y′+324 y = 3x3 −5
2.10. y |
′′ |
+36 y |
′ |
+324 y = e |
−18x |
, y(0) = 0, |
′ |
=1 |
|
|
|
y (0) |
2.11.y′′+36 y′+324 y = e−18x (Cosx −2Sinx)
2.12.y′′+36 y′+324 y = e−9 xCos2x
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №8
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k = 1 , |
k |
2,3 |
= ±1 i, k |
4 |
=0, |
f (x) =Cos 1 x |
|||
|
1 |
3 |
|
3 |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.2. k |
=2(1±i), k =0, k =2, |
f (x) =e2xSinx |
|||||||
|
1,2 |
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
1.3. |
k |
=1, |
k |
|
=±4i, |
k |
=0, |
f (x) =2ex −4 |
|
|
1,2 |
|
3,4 |
|
5 |
|
|
|
2. Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу Коши:
2.1. y |
′′ |
+ y = 2Cosx, |
y(0) =1, |
′ |
=0 |
|
y (0) |
2.2.y′′+ y =ex Sinx
2.3.y′′+ y =ex x +x2
2.4.y′′+ y = 25
2.5.y′′+36y′+325y =x2 +5x
′′ |
′ |
−18x |
, |
′ |
=0 |
2.6. y |
+36y |
+325y =e |
y(0) =y (0) |
2.7.y′′+36y′+325y =e−18x(Sinx−2Cosx)
2.8.y′′+36y′+325y =e2x +x2
2.9.y′′+2y′+ y =e2x x2
2.10.y′′+2y′+ y =e−2x x
2.11.y′′+2y′+ y =e−2xCos2x
2.12.y′′+2y′+ y =Sinx
ИрГУПС Кафедра «Высшая математика» 9.3.10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения со специальной правой частью
______________________________________________________________________________________
ВАРИАНТ №9
1. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x). Восстановить вид дифференциального уравнения:
1.1. k |
=1, k |
2 |
= −1, k |
3 |
= 0, f (x) = e−x |
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
1.2. |
k |
|
= ±i, |
k |
3,4 |
= 0, |
f (x) = Sinx + x2ex |
||
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
1.3.k1,2 =1, k3,4 =2 ±5i, k5 =2, f (x) =e2xSin5x
2.Проинтегрировать следующие уравнения и, где указано, решить задачу
Коши:
2.1.y′′+6 y′+9y =10Sinx
2.2.y′′+6 y′+9y = e−3xCosx
2.3.y′′+6 y′+9y = x3 −e3x
2.4. y |
′′ |
+6 y |
′ |
+9 y = e |
−3x |
′ |
= 2 |
|
|
|
, y(0) = y (0) |
2.5.y′′−5 y′ = ex (x2 −5)+ x2 +5
2.6.y′′−5 y′ = e5 x (x2 −1)
2.7.y′′−5 y′ = e5 xCosx
2.8. y |
′′ |
−5 y |
′ |
= Sin5x, |
′ |
|
|
y(0)= 0, y (0)=1 |
2.9.y′′−8 y′+17 y = e4 x (x −2)
2.10.y′′−8 y′+17 y = e4 x (5Cosx −3Sinx)
2.11.y′′−8 y′+17 y = x3
2.12.y′′−8 y′+17 y =14Sinx