petrophysics2004
.pdfВ уравнении (12.4) наглядно проявилось основное свойство упру
гого тела при всестороннем сжатии: относительная объемная дефор
мация пропорциональна приложеиному напряжению. Другими сло
вами, коэффициент 13, так же, как Е и v, являются константами, ха
рактеризующими упругие свойства тела.
Однако в природе ничего нет идеального. Уже в 1935 г. П. Бридж
мен, изучая сжимаемость различных металлов и минералов при все
сторонних давлениях до 3000 МПа, обнаружил в поведении этих, ка залось бы, однородных и упругих материалов, отклонение от линей
ного закона Гука. Эмпирическое уравнение П. Бриджмена для
описания упругой деформации имеет вид:
lAV
--ру-=13=а-Ър, (12.5)
где а иЪпостоянные для: данного материала коэффициенты, при
чем Ь/а==1О-6+1О-5. Это было одним из первых исследований, пока
завших отклонение деформации реальных упругих тел от закона,
принятого в теории упругости.
В минералах и реальных горных породах всегда имеются включе ния, поры, каверны Поэтомунеливейность деформаций должна в них
проявляться еще ярче.
Рассмотрим деформацию среды, состоящую из большого числа шаров одинакового диаметра D, размещенных по закону кубической упаковки. Объем элемента такой модели пористой среды V0, включа
ющей N3 шаров, найдем из выражения
V0=Nз Dз |
(12.6) |
При приложении всестороннего напряжения р объем среды без
смещения центров шаров уменьшается и его новое значение в упру
гой области деформаций
V=Nз (D-a1)3==Nз Dз-3Nз D 2 a 1, |
(12.7) |
где а1 - уменьшение диаметра шара при деформации. |
|
На основании формул (12.6) и (12.7) получим |
|
AV =-Заl |
(12.8) |
||
v,о |
D" |
||
|
Для определения а1 используем решение контактной задачи Гер
ца, найденное А.И. Динником (1952 г.) для: случая сжатия двух упру гих шаров под действием сосредоточенной силы F:
(12.9)
где Етв и vтвмодуль Юнга и коэффициент Пуассона материала ша
ров.
Так как напряжение, приходящееся на каждую плоскость выде ленного нами куба, равно
290
N2F F
р= N2Ji- = Dz'
то, подставляя это равенство в (12.9) и затем в (12.8), найдем
AV =-З[3(1-V2тв)]2/3р2/3 . |
(12.10) |
||
V |
Етв |
||
|
Дифференцируя (12.1О) пор, получим выражение для.коэффици
ента объемной сжимаемости рассматриваемой модели осадочной по
роды:
13(р)=-_!_dV =2 |
[3(1-V2та)]2/3р-1/3 . |
(12.11) |
VQ dp |
Ета |
|
Из этого простого решения следует, что коэффициент объемной
сжимаемости модели осадочной породы, так же как и ее модуль
объемного сжатия К, не являются по существу модулями, а зависят от величины среднего нормального напряжения р. Закон Гука в этом случае можно применить только к бесконечно малым изменениям деформаций и напряжений [15]. Другими словами, в каждой точке деформационной кривой будет существовать соотношение, устанав
ливаемое этим законом, но все упругие характеристики среды пере менныони изменяются в зависимости от приложеиного напряже
ния:
At |
)=3[1- 2v(p)] . |
(12.12) |
1-'\Р |
Е(р) |
|
При такой форме записи закона Гука величины [3(р), Е(р) и v(p) не
являются модулями в прямом смысле этого слова - они зависят от
механического напряжения. Любое фиксированное значение этих ве
личин может характеризовать среду, находящуюся только в опреде
ленном напряженном состоянии. При изменении напряжения изме
няется и значение этих величин.
Другими словами, закон Гука как линейная зависимость между напряжением и деформацией остается справедливым лишь в преде лах бесконечно малых приращений напряжений и деформаций.
Для рассмотренной нами модели пористой горной породы, пред ставленной упругими шарами равного радиуса в кубической упаков ке, найдена связь между упругими параметрами модели в целом и
материала сфер. Это сделано с использованием аппарата классичес
кой теории упругости применительно к модели дискретной среды.
К сожалению, строение реальных горных пород значительно много
образнее. Трудно построить такую универсальную детерминирован ную упругую модель, а значит, и использовать приемы классической
теории упругости. В этой связи уравнение (12.11) следует рассмат
ривать лишь как простейший пример, указывающий на возможность такого подхода, а также на то, что для реальных горных пород необ-
291
ходимо каждый раз устанавливать зависимость упругих свойств от
напряженного состояния.
12.1. О&ЬЕМНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ГОРНЫХ ПОРОД
Физические свойства горных пород при всестороннем напряже
нии, не превышающем предела упругости, изменяются в результате
объемных деформаций. С этим видом напряженного состояния чаще всего приходится сталкиваться при изучении упругости в петрофи зике. Деформации сдвига, характеризующие изменение формы твер дого тела, сложнее определить экспериментально. Ими более широ ко пользуются в механике грунтов при изучении прочностных свойств
горных пород. В последующем изложении настоящего раздела мы бу
дем из практических соображений по возможности не прибегать к
понятиям о сдвиговых деформациях в горных породах.
12.2.1. Понятие о дифференциально-упруrих средах
Трудности, с которыми встретились исследователи при изучении
деформации пористых тел, заставили искать новые приемы. В этом
отношении большого интереса заслуживают работы М. Био (1941 г.) и
Ф. Гассмана (1951 г.). В частности, Ф. Гассман предложил рассматри вать пористые породы как дифференциально-упругие тела, т. е. та кие, отдельные компоненты которых можно уподобить порознь уп
ругим телам и применить к ним зависимости из теории упругости
сплошных сред в дифференциальной форме. В последующем И. Гир стма (1957 г.) показал, что несмотря на кажущееся различие моделей М. Био и Ф. Гассмана, математически они эквивалентны.
М. Био и Ф. Гассман рассмотрели деформацию пористых пород,
не содержащих помимо воды других минеральных включений в по
рах. В. М. Добрынин (1970 г.), используя подход Ф. Гассмана, рассмот рел более общий случай, когда в порах породы находятся минераль ные включения (глина), отличающиеся по упругим свойствам от ске
лета, и не связанные с ним механически.
Горные породы в общем случае - довольно сложные образова
ния. Объем породы V, равный по величине объему твердого скелета Vск• складывается из объема породообразующих минералов Vтв и объема пустот или пор V п• заполненных флюидом (водой, нефтью,
газом или смесью их):
V=Vcк=Vn+Vтв· |
(12.13) |
Внутри пор породы могут находиться включения (Vвк), представ ленные минеральным веществом (глинами) или флюидом, отличным по свойствам от пластовой воды (нефти, газа).
Термином «скелет породы» (Vск> будем пользоваться в тех случа
ях, когда требуется определить деформацию породы без учета упру гих свойств насыщающих породу флюидов, т. е. только при изучении
деформаций. Термин «объем породы» (V) применяется в более ши роком смысле, когда требуется определить деформацию породы с уче
том упругих свойств флюидов.
292
Объемнаядеформацияскелетапородыскладываетсяиздеформации породообразующих минералов и поровоrо пространства при изменении среднеrо нормальноrо напряжения (dp), обусловленноrо весом вышеле жащейТОJПЦИ пород, пластовоrо давления (dpiJJI) и температуры (d'Г).
Дифферен~ирование уравнения (12.13) позволило получить сле
дующие выраЖения для определения относительных деформаций
скелета dV/V, поровоrо пространстваdV0 /Vп• твердой фазыdVтв/Vтв•
породы [15]:
dV
-V=~cкd(p-pПJJ)+~твdpiiJI-a.ТВdT;
- ~п =~пd{P-Pп.n)+JLn~твdpiiJI-JLтrJ.твdT; |
(12.14) |
п |
|
где
J.l.p=(1-flrJJ~вкf~тв)/(1-тtrJJ) JLт=(1-тtrJJrJ.вк/«тa)/(1-тtrJJ),
~ск• Рпи~тв-коэффициентысжимаемостисоответственноскелета, пор и твердой фазы породы; Рак - то же для. глинистых включений; «вк•
«та - коэффициенты тепловоrо расширения глинистых включений и минералов твердой фазы породы; тtrJJотносительная глинистость.
Коэффициенты J.l.p и JLтв уравнении (12.14) отражают влияние рас сеянной глинистости в порах породы на деформацию поровоrо про странства и твердой фазы породы.
Рекомендуемые значения коэффициентов J.l.p и JLт приведеныв табл. 28; более подробные графики в работе [15].
Между коэффициентами сжимаемости имеет место связь
~ск=kп~n+~тв |
(12.15) |
Т а б зх и ц а 28. Рекомендуемые значении коэффициентов J.lp и 11т в порис
тых горных породах [15]
Порода
Газовасыщеввав |
-1 |
-1 |
Водовасыщеввая: ма |
-1 |
-1 |
зхозагзхивизироваввая: |
|
|
(ТirJJ< 0,2; Рвк/Ртв< 3; |
|
|
<Хвк/СХ,.8< 10) |
|
|
Водовасыщеввая:rзхи |
J.Lp>O изхи 11в< О в зави |
J.Lт<O |
вистая: ('11r.п>0,2) |
симости от '11r.n |
|
293
12.2.2. Однофазные и низкопористые породы
Многие минералы, магматические и метаморфические горные по
роды, как известно, имеют весьма низкую пористость, измеряемую
единицами процентов. Такие породы можно рассматривать как одно фазные. Их упругие свойства могут меняться в зависимости от крис таллической или структурной анизотропии, но свойства этих телв на
пряженном состоянии, характеризующие объемные деформации (на пример, объемная сжимаемость), подобны идеально упругим средам.
Из уравнения (12.15) следует, что если в пористой среде k0 --+0, то f3ск--+ 13тв· Другими словами, объемная сжимаемость такой сложно по
строенной породы приближаетсяк сжимаемости ее твердой фазы. Это
предельный случай использования полученных уравнений для оп ределения деформаций горных пород, поэтому он требует некоторой детализации деформационной модели.
В реальных минералах, в магматических и метаморфических по
родах, а также в солях всегда имеется небольшое (до 1- 3 %) количе
ство включений или пор. Наличие таких «дефектов» несколько уве
личивает сжимаемость таких тел, сохраняя общие черты деформа
ции сплошных тел.
Коэффициент сжимаемости таких низкопористых тел можно оце
нить с помощью модели 3. Хашина, представляющей собой сплошное
упругое тело с равномерно распределенными в нем шаровыми вклю
чениями, занимающими лишь небольшой объем этого тела:
3(1-vтв>(A...-1Jku
~=1+ |
(1+Vтв)_/3тв |
_ |
, |
J3тв |
1+2(1-2vтв)[A_-(A...-1)ku] |
(12.16) |
|
|
|
|
|
|
(1 + 2vтв) 13тв |
/3тв |
|
где /30, 13тв• /33 - коэффициенты сжимаемости соответственно тела в
целом, твердой фазы и заполнителя пор; vтвкоэффициент Пуассо
на твердой фазы.
Расчеты показывают, что даже при (:33 /13тв=10 и k0 =2% величина (:30 превышает /3тв за счет пористости менее чем на 5% и практически
не зависит от величины напряжения [15].
Таким образом, минералы и низкопористые горные породы можно
при инженерных расчетах объемных деформаций рассматривать как идеально упругие тела. Для них характер нагрузок (статические или колебательные) не имеет большого значения. Другое делопористые
породы, содержащие в порах значительное количество флюидов.
12.2.3. Деформация при статических вагружениях
Система уравнений (12.14) позволяетопределить упругие свойства горных пород при статических нагружениях. Имеются в виду лабо
раторные изучения пород на установках, имитирующих естествен
ное залегание пород.
294
Вид уравнений в этом случае зависит от граничных условий опы
тов. Рассмотрим некоторые из них.
1. В процессе деформации эффективное напряжение и темпера
тура постоянны (р-рпл)=const и T=const. Частным случаем этого на гружения является исследование в сосуде высокого давления образ ца, не закрытого эластичной оболочкой (р-Рол)=О.
Уравнения (12.14) в этом случае принимают вид:
(dV) |
(dVп) |
( 1-~ |
) |
|
V (р-р,..),Т= |
Vn (р-Рп.),Т= |
1-J,Lp~ |
Х |
|
J ~~) |
|
=-f3~dp=-~dPм |
· |
|
"l ~ (р-Рп.).т |
|
|
|
Этот прием используетсядляопределения 13твпо результатам из
мерения объема образца.
Коэффициентсжимаемоститвердойфазы 13твхарактеризуетсжи
маемость минеральных зерен, слагающих скелет породы, поэтому он
близок к коэффициенту сжимаемости сплошного упругого тела.
Рассмотрение результатов экспериментальных определений ко
эффициентов сжимаемости твердой фазы некоторых горных пород
(табл. 29) показывает, чтокоэффициент 13твхарактеризуетсянеболь
шой величиной, практически не зависящей от приложеиного давле ния. Его среднее значение на один-два порядка ниже коэффициента
сжимаемости пор обломочных и карбонатных пород.
2. В процессе деформации температура и давление насыщающей
порыпородыжидкостипостоянны (Т=const, Pnл=const). Система урав
нений (12.14) в этих условиях принимает вид:
-(dV) =f3cкd(P-PмJ=~dp; |
|
|
V |
Рп.•Т |
|
|
-(~п) =f3ndp; |
(12.17) |
|
n Рп.•Т |
|
-(~,:В1...т= (1-1ko)f3~dp;
Этот способ нагружения часто используют для определения ко
эффициентов сжимаемости породы и в частности коэффициента (30 •
На рис. 99 представлены результаты экспериментального изуче ниябольшойколлекции горных пород с гранулярной пористостью. Для
всех изученных пород наблюдается закономерное уменьшение сжи
маемости пор с увеличением всестороннего эффективного давления:
А |
А |
(p-piJJI)min |
|
(12.18) |
Jo'n=Jo'nmax |
(p-piJJI } |
• |
|
295
N
\0
О\
/3п, · 10-з Мпа-1 |
|
|
|
д |
|
б 1- |
а |
б |
в |
.\ |
|
|
|
|
|
.\ |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
·\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
..., |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
.\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..... ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ .:.·~ |
|
о |
|
|
|
|
|
|
:..... __!•• |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б 1 е |
|
ж |
|
з |
и |
:\ |
IC |
||
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
:.\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
::1 |
~ |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
•: . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
! ., |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
.\, |
|
. |
:! |
|
|
|
|
|
|
|
• |
1: |
|
2 |
|
|
|
|
|
~~~ |
|
\t•• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
!-: |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 бО |
о 40 бО |
о |
40 бО |
о 40 бО |
|
:Р-Рп,Мпа |
Рис. 99. Результаты эксnериментального изучения коэффициента сжимаемости nop Рп различных осадочных nород в за
висимости от эффективного наnряжения (Р-Рпл):
а - песчаники хорошо отсортированные и окатанные, б - песчаники глинистые, плохо отсортированные; в - песчаники и алевролиты низкопористые с глинисто-карбонатным цементом, г - арГИJIJlИТЫ СИJIЬИО уплотненные, д - известияки и мергели плотные, иизкопори стые, е- известияки и доломиты плотные, кавернозные, ж- песчаники полимиктовые (Западная Сибирь); з- алевролиты полимикто
вые (Западная Сибирь), и- песчаники кварцевые (Волгоградская обл.); 1епесчаники полимиктовые (Южный Мангышлак).
где ~nmax и (P-Pм>mln"'2 МПакоординаты точки на эксперимен
тальной кривой, начина.я с которой становитс.я справедливым урав
нение (12.18).
Величина коэффициента сжимаемости пор ~nmax .явл.яетс.я слож
ной функцией литологического состава. Его величина закономерно
увеличиваетс.я с ростом глинистости пород и ухудшением ее отсор
тированности [15]. По мере увеличени.я эффективного напр.яжени.я вли.яние литологии и пористости пород нивелируетс.я. Роль темпера
туры в пределах от О до 200 ·с относительно невелика.
3. Большой интерес дл.я подземной гидродинамики представл.яет изучение объемной деформации горизонтального пласта пород в ре зультате падени.я в нем пластового давлени.я (p=const, T=const). С этой целью пользуютс.я пон.ятием коэффициента сжимаемости пор
породы в дренируемом пласте:
~ |
=...!_ dVn |
• |
(12.19) |
|
ILIUI |
VП dprш |
|||
|
Подставим, согласно (12.14), значение (1/V0 ) (dV0 /dрм) при усло
вии p=const и T=const в уравнение (12.19):
~ILIUI=~n(1- d~)-~рfJтв · |
(12.20) |
Практическое использование уравнени.я (12.20) станетвозможным, если определена величина dp/dprur Дл.я случа.я тонкого горизонталь ного пласта бесконечного простирании можно пренебречь относитель
ными боковыми смещени.ями при деформации. Решение этой задачи
Т а блица 29. Значении коэффициентов сжимаемости твердой фазы не
которых пород
|
|
Рт81о-5 мпа-1 |
|
|||
Порода |
|
p=l2 |
р=60 |
Разные |
Исследователь |
|
р=О |
интервалы |
|||||
|
МПа |
МПа |
|
|||
|
|
давлевий |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Доломит. |
1,17 |
1,17 |
1,17 |
- |
|
|
Мрамор |
1,36 |
1,85 |
1,24 |
- |
Ф.Берчидр. |
|
Известняк |
2,42 |
2,40 |
2,36 |
- |
|
|
,. |
2,86 |
2,70 |
2,30 |
- |
|
|
,. |
- |
- |
- |
2,5 |
Л.А. Шрейнер |
|
Песчаник кварцитовый |
2,62 |
2,60 |
2,55 |
- |
Ф.Берчидр. |
|
Песчаник кварц-полево- |
- |
- |
- |
3,1 |
И.Фетт |
|
шпатовый |
|
|
- |
|
|
|
Песок кварцевый |
- |
- |
4,3 |
Г.В.Исаков |
||
Кварц |
- |
- |
- |
3,0 |
|
|
,. |
- |
- |
- |
2,7 |
Д.А. Антонов |
297
для частного случая несжимаемой твердой фазы (~тв=О) дано в работе
И. Гиртсма (1957 г.). Рассмотрим это решение для более общего случая.
Согласно первому уравнению (12.14) при изотермическом сжатии
имеем
-(d:)T =~скdр-(~ск-~тв)dрПJJ ·
Рассматривая пласт как упругое тело, это уравнение можно с по
мощью выражения {12.12) преобразовать, опустив для простоты ин дексы при коэффициенте Пуассона и модуле Юнга:
-(~)т =3(1-:v)dp-[3(1-:v)_~твJdpм.
Введем прямоугольную систему координат и направим ось z пер пендикулярно к плоскости пласта. В силу симметрии задачи направ ления главных нормальных напряжений совпадут с направлениями осей координат. Тогда выражение для горизонтальной составляющей относительной деформации ех пласта при изменении среднего нор
мального напряжения на величину dp можно с учетом предыдущего
уравнения записать:
-е |
х |
= dpx -~(dp |
+dp )-.!.[3(1-2v) _А |
Jdp |
пл· |
(12.21) |
|||
|
Е Е у |
z |
3 |
Е |
1-'тв |
|
|
Поскольку в силу осевой симметрии задачи Рх=Ру• и напр~жение, создаваемое весом вышележащих пород, постоянно (dp2 =0), то, пре
небрегая боковыми относительными деформациями в пласте беско
нечного простирания ех=еу=О, уравнение (12.21) можно преобразо
вать:
(12.22)
Поскольку р = 1/3(рх+Ру+Р2)=2/3 Рх+ 1/3 Pz и p 2 =const, то
dp=2/3dpx;
из уравнения (12.22) найдем:
dр _2 |
(1-2v-Е~тв) |
|
|
3 |
(12.22) |
||
dp[JJJ -3 |
(1-u) |
||
|
Последнему уравнению с помощью равенств (12.4) и (12.15) можно
придать вид
(12.23)
298
Если в уравнении (12.23) пренебречь сжимаемостью зерен поро
ды, то оно перейдет в известное уравнение И. Гиртсма.
В песчано-глинистых высокопористых коллекторах (см. рис. 83) k0
~п > > ~тв• ~тв/ k0 ~п--+ О и уравнение (12.24) принимает вид |
|
|
dp |
2{1-2v) |
(12.24) |
--=---- |
||
dpn |
3 {1-v) |
|
При значении коэффициента Пуассона v = 0,2; dp/dрм=0,5, т. е. ко
эффициент сжимаемости пор такой породы, определенный по паде нию пластового давлении, равен половине коэффициента сжимаемо сти пор той же породы, найденного при всестороннем сжатии:
~п.пп=0,5 ~п·
В трещиноватых породах, открытая пористость которых очень
низка (kт= ш-3), а роль твердой фазы играет непроницаема.я «матри ца», ~111>~тв• отношение~~https://studfile.net/(k,.~т) оказатьс.ясущественнобольше еди
ницы. Тогда dp/dpм--+ О и согласно (12.20) ~пл--+(~0 - ~~тв>·
Результаты исследований, приведеиные в настоящем разделе,
свидетельствуют о том, что при объемных деформациях, в условиях
статических нагрузок упругие характеристики горных пород зави
сит от конкретных напряженных состояний. Это обстоятельство не
обходимо учитывать при исследованиях.
12.2.4. Деформация при колебательных динамических
нагрузках
При изучении упругих свойств горных пород в скважинах стан
дартными акустическими приборами используются колебательные
поли напряжений с частотой 20-30 кГц. Если учесть достаточно
высокое гидравлическое сопротивление порового пространства у
большинства пород в естественном залегании, а также кратковре менность действии колебательных напряжений, можно допустить,
что в пористых породах насыщающая вода не сможет перетекать
в порах под действием таких динамических нагрузок. Следователь
но, в этом случае поры можно считать гидраолически изолирован
ными. Это предположение не .явл.яетс.я строгим, так ~ак оно сдела но без учета неравновесных термодинамических процессов и не учитывает вливнии частоты колебательного процесса. Однако дли вычислений, припитых в практике, такое приближение позволнет
воспользоваться простыми деформационными моделями при изу
чении закономерностей, связанных с кинематическими характе
ристиками волновых процессов (скорость упругих волн). Это при
ближение не может использоваться при изучении динамических характеристик (затухание упругих волн), требующего учета вли
внии неравновесных термодинамических процессов в поровом про
странстве породы.
Воспользуемся пон.ятием о коэффициенте объемной сжимаемо
сти пористого тела, имеющего систему гидраолически изолирован
ныхпор:
299