petrophysics2004

~о=-.!_(dV).	(12.25)
v dp

Тогда при T=const с помощью уравнений (12.14) и (12.25) получим
-(~'J=~оdР=~скd<Р-Рм)+~твdРм·	(12.26)
Откуда
~О=~ск(1-d:; )+~твd:; ·	(12.27)

В замкнутой системе пор изменение объема пор dVn /V0 под влия­ нием среднего нормального напряжения должно быть равно измене­ нию объема жидкости dVжfVж=

(12.28)

Приравнивая (12.28) и (12.14) и преобразуя полученное, будем иметь для данных граничных условий деформаций:

dpiiJI-	~n	•
dp - ~n +~ж -JА.р~тв 1
dрм _	~ск -~тв

dp ~ск -~тв +kо~ж -J.Lр~тв) •

Подставив значение dрпл/dр в (12.27), найдем

(12.29)

(12.30)

kп~ск +~тв ~ск-~тв

~ _	~ж -J.Lр~тв
О-	ko + ~ск -~тв	(12.31)

~ж -J.Lр~тв

Вчастном случае для породы, не содержащей в порах глинистых

включений (JJ.p= 1), уравнение (12.31) превращается в известное урав­

нение Ф. Гассмана.

Вуравнении (12.31) ~ск:можно выразить через коэффициент сжи­ маемости пор ~n (см.12.15):

~О = (ko~n +~тв) @ж - J.l.р~тв)+ ~п~тв

~n +~ж - J.l.р~тв

Последнее равенство можно преобразовать:

(12.32)

300

Введем обозначение:
~ж -J.Lр~тв	1
<Хса = ~п +~ж -J.Lp~	l+~п/(~ж -J.Lр~тв)	(12.33)

Назовем <Хсакоэффициентом упругой связи фаз. Тогда оконча­ тельно получим уравнение для: коэффициента объемной сжимаемо­ сти пористых тел при колебательных нагрузках:

~о = «скkп~п +~тв ·

(12.34)

Анализ уравнений (12.33) и (12.34) позволяет найти предельные

условия: для: определения: ~0•

Рассмотрим четыре случая:.

1. Коэффициент пористости ku =0. Согласно (12.34), коэффициент объемной сжимаемости такой породы при колебательных нагрузках

~о=lirв· Это значение совпадает с коэффициентом объемной сжимае­

мости для низкопористых пород при статическихнагрузках [см. урав­ нения: (12.15) и (12.16)). Это означает, что для сплошных или низкопо­

ристых пород ~о мало зависит от изменения: напряжения:. Это усло­

вие дляидеально упругих тел. Следовательно, объемные деформации минералов, низкопористых магматических и метаморфических по­ род при колебательных нагрузках можно определять из условий де­ формацииидеально упругих тел. Учетвлияния:очень небольших зна­ чений пористости при необходимости производится при этом по урав­ нению (12.16), если напряжения: всестороннего сжатия: (растяжения:)

выше определенной величины, при которой происходит смыкание

микротрещин, возникших в породе после снятия: геостатического дав­

ления:. Для: магматических и метаморфических пород это напряже­ ние в среднем составляет 50-100 МПа.

2. Коэффициент сжимаемости пор~ значительно превосходит

эффективную сжимаемость заполняющего флюида с глинистыми

включениями: если~ /(~ж-J.I.р~тв) >>1, то «св=<~ж-J.I.р~тв)/~п·Урав­

нение (12.34) в этом случае примет вид:

Po=kuPж+(1-J.Lpkп) Ртв _(12.35)

Поскольку ~ж и lin. мало зависят от напряжения:, тоРотакже мало

от него зависит. Фактически это признак идеально упругой среды­ совершенная: упругая: связь между фазами (<Хса < < 1). Данному усло­ вию удовлетворяютводонасыщенные несцементированные и слабос­ цементированные породы, наход.я:щиес.я: при небольших напряжени­ ях (вблизи поверхности Земли).

3. Эффективная: сжимаемость насыщающего флюида значительно

превосходиткозффициентсжимаемостипорпороды: Pu/(~-J.tp~) < <1,

«св=1, уравнение (12.34) принимает вид

~о=ku~+~тв

(12.36)

В этом случае коэффициент объемной сжимаемости породы не зависитот свойств насыщающего флюида, упругие свойства опреде­

ляются:только сжимаемостью скелета породы, т. е. деформациитвер-

301

дого скелета породы не вызывают деформаций насыщающего флюи­

да (отсутствие упругой связи между фазами «св= 1). Этот случай мо­

жет иметь место при деформации газонасыщенных пород.

4. Соотношение коэффициентов сжимаемости пор и флюида из­

меняется в диапазоне

_!_<	~n	<10.
10	~ж-~~тв

При насыщении пород пластовой водой или нефтью в этот диапа­ зон попадают все пористые породы с коэффициентом сжимаемости

пор от 5 · 10-5 до 500 · 10-5 мпа-1• Он охватывает практически все

водо-и нефтенасыщенные сцементированные песчаники, глинистые и карбонатные породы с любым видом пористости, находящиеся на

самых разных глубинах. Конкретное значение ~n в каждом отдель­

ном случае будет зависеть от литологии породы, вида пористости и

величины эффективного давления [15]. Коэффициент, характеризу­

ющий связь между двумя упругими фазами, изменяется в этом слу­

чае также широко: 0,09<~8<0,91. Его среднее значение (~8)ср=0,5

может быть получено, если ~0/(f3ж-J.I.р~тв)=1, т. е. при условии равен­

ства сжимаемости лорового пространства и эффективной сжимаемо­ сти насыщающего поры флюида.

Таким образом, можно принять, что плотные минералы и низкопо­ ристые магматические и метаморфические породы при колебательных

нагрузках, используемых при акустических исследованиях скважин,

деформируются подобно идеально упругим средам. Воданасыщенные

несцементированныеи слабосцементированные песчано-глинистыепо­

роды, в которых контактная упругость невелика, также приобретают

черты идеально упругих средих объемная упругость незначительно

зависит от величины приложеиных напряжений и определяется как средневзвешеннаяпообъемувеличинаупругостижидкойитвердойфаз.

В газонасьпценных сцементированныхпородах с межзерновымти­

пом пористости и некоторых трещиновато-кавернозных породах с не­

проницаемой матрицей коэффициент объемных деформаций практи­

чески не зависит от величины газанасыщения и определяется глав­

ным образом упругими свойствами сцементированногоскелета породы Большинствосцементированныхпористыхнефте-иводонасьпценных

обломочных,карбонатныхиглинистых, атакжепористыхмагматических

и метаморфических пород обладают значительной контактной упругос­

тью. Объемные деформации в них при колебательных нагрузках зависят

не только от упругих свойств твердой и жидкой фаз, но и весьма суще­

ственно crr пористости, соотношения упругостей сцементированного ске­

лета и жидкой фазы, эффективного напряжения и литиrипа.

11.3. СКОРОСТИ УПРУГИХ ВОЛН В МИНЕР.АЛ.АХ, НИЗКОПОРИСТЫХ

М.АГМ.АТИЧЕСКИХ, МЕТ.АМОРФИЧЕСКИХ И ОС.АДОЧНЫХ ПОРОД.АХ

Многообразие встречающихсяв природегорных пород, различиеих упругих свойствтребуют особого подхода к теоретическомуи экспери-

302

ментальиому изучению вОJiновых процессов в них. Так, для описания закономерностей распространения BOJIН в высокоупругих и малопогло­

щающих звук плотных минералах или изверженных породах моrутис­

ПОJiьзоваться с хорошим приближением методы механики сплопш:ых идеальноупругих сред. Втоже времядляописанияпроцессовраспрос­ транения упругих BOJIH в коллекторах, насьпценных нефтью, газом и водой, необходимо применение методов механики деформируемых по­ ристых сред и термодинамикинеобратимых процессов.

Сложность теоретического и экспериментального изучения акус­

тических свойств реальных горных пород, кроме того, заключается в

необходимости моделирования не только их физико-механических и фильтрационных емкостных свойств, но и условий естественного за­

легания пород.

Помимо классических работ по теории упругости сплошных сред С.П. Тимошенко {1937 г.), Л.С. Лейбензона {1947 г.), Л.Д. Ландау и

Е.М. Лившица {1965 г.) известны теоретические исследования акусти­ ческих полей в пористых средах. Теоретические работы, посвященные изучению акустических полейв пористыхнасыщенныхсредах, немно­

гочисленны. Среди них можно назвать исследования Я.И. Френкеля {1944 г.), М.А. Био {1952 г), Н.Р. Патереона {1956 г.), В.Н. НикОJiаевского

{1963 г.), П.П. Золотарева {1965 г.), Ф.М. Ляховицкого {1972 г.). Эти ис­

следования значительно продвинули наши представления о механиз­

ме распространения упругих волн в насыщенных пористых средах.

Однако в практике большее распространение получили исследования

кинематических характеристик волновых полей, основанные на ис­ пользовании упрощенных моделей пористых сред, выполненные, как правило, без учета влияния частоты волновых процессов на скорость упругих волн. Такие приближения делают попятным целый ряд важ­

ных явлений в механизме распространения упругих волн и очень по­

лезны на практике. Однако это все же частные решения и требуют эк­

спериментальной корректировки моделей в зависимости от конкрет­

ного объекта исследований. В этом направлении работы выполнены

Ю.В. Ризниченко {1949 г.), М.Р. Вилли, А.Р. Грегори, Г.Х. Гарднером

{1956 г.), Г.А. Брандтом {1956 г.), И. Гиртсма {1961 г.), Е.А. Козловым

{1965 г.), В.М.Добрыниным{1965г.),Г.И.ПеткевичемиТ.3. Вербитеким {1970 г.), О.Л. Кузнецовым {1967 г.) и другими исследователями.

12.3.1. Скорость воJIН в идеаJIЬно упругих средах

Под влиянием деформаций в твердых упругих бесконечных сре­ дах возникают волны продольные {Р) и поперечные {S). В жидкостях и газах поперечные волны отсутствуют. Продольные волны являют­ ся следствием деформаций расширениясжатия, а поперечные­ деформаций сдвига.

В теории упругости при выводе волновых уравнений для идеаль­

но упругих твердых тел делаются три следующих предположения:

1) длина упругой волны много больше размеров элементарных объе­

мов, из которых состоит среда {ионов, молекул или их ассоциаций-

303

кристаJIJiов)- признак сплошности среды; 2) до прихода волны сре­

да находитси в состоинии динамического равновесии; 4) теплообмен

между частицами сплошной среды (так же, как дли жидкостей и га­ зов), находищимиси в фазе сжатии и разрижении, в свизи с малой теплопроводностью пренебрежимо мал. Другими словами, тепло, вы­ делиемое при распространении волны в фазе сжатии (нагрев) за пе­ риод колебании, не успевает распространитьси к частицам, находи­ щимен в фазе растиженин (охлаждении). Последнее условие означа­ ет, что в сплошной идеально упругой среде затухании плоского фронта упругих волн не наблюдаетси.

Важнейший кинематический параметр упругих волн - их ско­ рость, измериемаи в системе СИ в м/с или кмjс.

Классическаи теории упругости сплошных сред определиет соот­

ношение скорости упругих волн с другими упругими константами

следующими формулами:

дли скорости продольных волн

\)	Р	=	E(l-v)	=	3(1-v)		(12.37)
			8(1+v)(l-2v)		~8(1+V} 1
гдеБ-плотность сплошной среды; дли скорости поперечных волн
		с=ж=		3 1 (1-2v)		fG	('		)
"• ='/Щl+V}= 2~Б (1 +v)						=Vб '		38
							12
где G - модуль сдвига; дли отношении скоростей
			uP --42	(1-v) .			(12.39)
			"·	(1-2v)

В идеально упругой среде, пересеченной цилиндром (скважиной),

заполненным также идеально упругой жидкой средой с продольной

скоростью u0, в скважине возникают волны Лэмба-Стоунли (труб­

ные волны):
Uo	(12.40)
\)L .J1+Б0/8(u0/u,f 1

где Б0 - плотность жидкости, заполниющей скважину.

И обратно, значение скоростей упругих волн может быть исполь­ зовано дли определении важнейших модулей упругих сред:

модулиЮнга

Е ОО2в(3U2р -4U2в) ,

(12.41)

(U2p -U2s) 1

коэффициента Пуассона

(12.42)

модули сдвига

{12.43)

304

модуля объемного сжатия (расширения)

к=.!.=Б('л-!u2. )		.	(12.44)
13	3

12.3.2. Минералы, жидкости и газы

Большинство породообразующих минералов обладает анизотроп­ ным кристаллическим строением. Кристаллические решетки мине­ ралов характеризуются особого рода элементами симметрии (оси сим­

метрии или перпендикуляры к плоскостям симметрии). Скорости

продольных и поперечных волн в различных кристаллических на­

правлениях моrут существенно различаться[7]. Эrо свойство исполь­

зуется при изучении кристаллов.

Однако в горных породах оси симметрии кристаллов минера,лов часто ориентированыхаотически в разные стороны Поэтомуприизу­

чении влияния минерального состава горных пород на величину ско­

рости обычно пользуются средними значениями скоростей в минера­

лах.

Скорость продольных волнв минералах изменяется от 2 до 18 кмjс,

поперечныхот 1,1 до 10 кмjс. Низкие скорости характерны для самородных металлов (золото, платина), высокиедля алюмосили­ катных и окисных безжелезистых минералов (топаз, шпинель, ко­ рунд); наибольшая скорость -в алмазе.

Представление о величине и изменениях скорости упруrих волн в элементах, минералах и горных породах можно получить из рис. 100,

где выделяются два типа связей между скоростью и плотностью.

К первомутипу связи, характеризуемому резким возрастанием ско­ рости с увеличением плотности, относится зависимость для большин­ ства твердых петрогеиных элементов (Na, Са, Al, Si) и породообразу­ ющих силикатных и частично окисных минералов. В этой же группе

находятся такие мономинеральные хемогенные осадочные породы,

как каменная соль (галит), rипс и ангидрит. Скорость упругих волн и плотность этих элементов и минералов в значительной степени зави­

сят от плотности упаковки атомов в кристаллах и ero структуры.

Уравнение связи имеет вид:

up=Upo [ехр 0,5 {Бм-2,6)+0,2 (20-ma.cp)] [км/с],

где up0=6 км/с, ma.ce- средняя атомная масса элемента, минерала

или горной породы; бмплотность минерала.

Для минералов, образующих связь первого типа, характерно уве­

личение модуля Юнга и модуля сдвига по мере возрастания плотно­ сти. Это связано с увеличением плотности упаковки атомов в крис­

таллах. При этом сама плотность минералов изменяетсяв относитель­

но меньших пределах. Ко второмутипу связиотносится зависимость

для тяжелых металлов, сульфидов, окисных рудных минералов и са­ мородных металлов. Это обусловлено значительным увеличением

средней атомной массы ma.cp от 20 до 200 в этих элементах в связи

20- Петрафизика

305

AnJ.AOJ 1

		Шлинель
		fleJJи/U103
		!Гионит
9		5i	•Тоnо3
		Форешерит
						.	q_Лирит
		nироп		,
		/103сит 0		ъ	"	0	лромит
		Aмf/IUooл				ь	омоенетит
		.1/о_Одоi/ор		Фонлит			fемотит
	L'
		lf68PЦ					Ge V	Cr8
	~	Оливоклоа							еМо
	Аfи/fрО!rдин						•		Mn	w
						о Сrролерит			•'Ъ{JFe-Ni J!етеориты
5	firлитAI.		Холмонирит Rирротин						~~	•
		м				о •o1i		Zn	•Fe Nb
	fi/OifJ.u.								~u
	.1/ei/ оСа		о	?			Zre	\
								0 {олsнит
			Коменнь~емете- ~						Hg	Au
		0/l.иm/JI(JO					Sn
			1	1					-----.:!:.../1--•
		rиloov8

Рис. 100. Диаграмма связи скорости продольных волн uP и плотности эле­

ментов 5 (1), минералов (2), горных пород (3) (по Н.Б. Дортман, М.Ш. Магид)

с заменой легких катионов на более тяжелые, а также некоторым

уменьшением плотности упаковки атомов в веществе.

Таким образом, скорость упругих волн элементов и минералов

увеличивается с ростом плотности упаковки атомов и уменьшается с

увеличением средней атомной массы, являющейсямерой инерцион­ ности вещества [6].

В связи с неоднородностью строения (наличие включений, мик­

ротрещин) средняя скорость упругих волн в минералах может зна­

чительно увеличиваться с ростом среднего нормального напряже­

ния от О до 100 МПа. При более высоких напряжениях ее рост за­ медляется [7].

В жИдкостях и газах распространяются только продольные вол­ ны. В идеальных газах и жидкостях при отсутствии затухания иv= 0,5 скорость продольных волн согласно (12.37) равна:

UP = ~Б~а ,

(12.45)

где Ваадиабатическая сжимаемость; 8 - плотность флюида.

306

Однако скорость продольных волн в реальных минерализованных

водах значительно растет с увеличением минерализации и давления

и сложно зависит от температуры [1].

Средняя: скорость в нефти при Т=20 ·с и Рпл=0,1 МПа uP =1300 м/с

значительно зависит от плотности и газанасыщенности нефти; в воз­ духе- 330 м/с, в метане- 490 м/с.

12.3.3. Магматические иметаморфические породы

Упругие свойства и скорость волн в магматических и метаморфи­

ческих породах зависит от химического и минерального составов по­

род, вида парового заполнителя и температурно-структурных осо­

бенностей пород.

Как следует из уравнения (12.16}, сжимаемость низкопористыхмаг­ матических и метаморфических пород зависит от сжимаемости твер­ дой фазы, заполнителя пор (включения} и количества пор. Использо­

вание этого выражения в уравнениях (12.37) и (12.38} позволяет теоре­

тически оценить роль каждого из перечисленных факторов в

отдельности. Эти исследования показывают, что в магматических по­

родах влияние химического и минерального составов на скорость уп­

ругих волн доминирует. Наименьшей скоростью обладают минералы,

Vp,KM/C

8

		5
		б
	7	~
		9

1~

13

14

б

5~--~----~----~----~~
О	1	2р,ГПа

Рис. 101. Зависимость средних скоростей упругих BOJIH в магматических и метаморфических породах от давления всестороннего сжатия:

1 - ОJiививит; 2 - перидотит; 3 - эклоrит; 4 - пироксенит; 5 - rаббро; б - сланец

параллельной слоистости; 7 - диабаз; 8 - амфиболит; 9 - диорит; 10 - rранодио­

рит; 11- сланец перпендику.-rяриой слоистости; 12- rраиитоrнейс; 13- гнейс; 14- rраиит[6]

307

Т а блиц а 30. Скорость ynpyrиx ВOJIB в маrматических породах [6]

	Порода				'Up,lt'Jff./C	'U8,КМ/С			ар, см-1	бср• rfcм3
	Гранит
	биотитавый и		5,60			3,20	0,028			2,62
	биотит-амфиболавый					-	-
	рапакиви		5,55							2,62
	лейкакратавый					2,85	-			2,61
					5,35
	Гранита-rнейс				5,65	2,80		0,037		2,65
	Гранодиорит				5,95	3,35		-		2,67
	Кварцевый диорит				6,10	-		-		2,70
	~орит,rнейсо-диорит				6,20	3,55		-		2,80
	Анортозит				6,00	-		-		2,73
	Габбро				6,40	3,65		0,023		2,94
	Габбро-норит, ОЗiивиновый норит				7,25	4,10		0,014		3,07
	!dетаrаббро,метагаббро-норит							-		2,96
					6,60	3,80
	Диабаз				6,40	3,65			0,019	3,02
	Гипербазит (пироксеиит и перидо-				8,20·	4,60			0,013	3,31
	тит)								-
	Гипербазит амфибОЗiизироваиный				7,45	4,15				3,20
	Серпеитивит				5,30	-			-	2,60
	Талькит				5,30	-			-	2,90
	Сиенитнефелиновый сиевит				6,15	3,25			-	2,66
	ИйОJIИТ лейкакратавый				6,05	3,45			-	2,80
	Ийолит мезократовый				6,65	-			-	3,03
	Ийо.пит-уртит				6,25	-			0,020	2,91
	Липарит				5,00	3,00			-	2,35
	Андезито-базальт				5,05	2,90			-	2,71
	Базальт				5,50	2,95			-	2,81
	Обсидиан				5 80	345			-	2,33

обогащенные леrки:ми окислами кремния, калия и натрия (кварц, ка­ лиевый полевой шпат, альбит, олигоклаз и др.).

С увеличением содержания тяжелых окислов :магния, кальция,

железа, входящих в состав :минеральных ассоциаций основного со­

става, скорость возрастает.

С увеличением основкости магматических пород средняя продоль­

ная скорость упругих волн возрастает: гранит -+ габбро -+ пирокее­ вит-+ перидотит-+ оливинит (рис. 101).

В :метаморфических породах также отмечается зависимость ско­ рости от минерального состава, но имеет:место и влияние других фак­

торов. Например, в породах близкого минерального состава скорость

упругих волн увеличивается от низших к высшим за счет уплотне­

ния пород. Значительное влияние благодаря пористости метаморфи-

308

ческих пород оказывает воданасыщенность-скорость воданасыщен­

ных пород значительно выше сухих. На сланцевых породах весьма существенна анизотропия упругих волн (см. рис. 101).

В метаморфических породах средняя продольная скорость в раз­

нообразных гнейсах 6,1-6,3 км/с, в амфиболитах 5,5-7,2 км/с, в основных гранулитах 6,3-7,2 км/с, в эклогитах 6,6-7,5 км/с.

Магматические и метаморфические породы наряду с первичной пористостью часто имеют и вторичную (трещиноватость). Имеются

данные о том, что влияние трещиноватости пород уменьшает скорость

и увеличивает затухание упругих волн, увеличивает анизотропию

пород по скорости, влияние напряженного состояния.

В табл. 30 и 31 представлены результаты изучения скорости уп­ ругих волн воданасыщенных образцов пород из скважин различных регионов. Исследования более 4000 образцов показывают, что между скоростью и плотностью магматических и метаморфических пород имеется корреляционная связь. Для пород, не измененных вторич­ ными процессами, коэффициент корреляции равен 0,9 [6]:

Up=Upo [ехр 0,5 (бп-2,6)] ± ~uт,

(12.46)

где '~>ро=5,45 км/с; ~uт- текстурно-структурный коэффициент, обус­

ловленный влиянием трещиноватости (~Uт=± 0,5 кмjс).

Т а блиц а 31. Скорость упругих волн в метаморфических породах [6]

Порода	1	RM/C	'1>	, КМ/С	licp• r/см	3	kп,%
	'l>p		5
Гнейс
биотитавый и	5,80			3,05	2,62		1,3
биотит-амфиболовый, миrма-
тизированный
биотит-амфиболавый и амфи-	5,85			3,3	2,80		1,2
боловый
Амфиболит полевашпатовый	6,20			3,6	2,97		1,0
Амфиболит	6,80			4,2	3,09		0,8
Горнблендит	6,40			-	3,16		-
Гнейс высокоглиноземистый	5,75			3,2	2,78		1,1
Кальцит	5,85			3,5	2,67		-
Гранулит
плаrиоклазовый	5,80			3,1	2,83		0,4
среднеrосостава(гиперсте-	6,20			3,5	2,81		1,0
новый)
основного состава	7,0			4,3	3,02		0,6
Эклогит (Кольский полуостров,	7,15			4,2	3,35		1,2
Кокчетавская глыба)				-
Эклогит (кимберлитовые труб-	7,45				3,27		0,7
ки)

309