3.5. Интервальные оценки параметров распределения

3.5.1 Доверительная вероятность. Доверительные интервалы

Если точечные оценки вычисляются по выборке небольшого объема, то статистика * может значительно отличаться от истинного значения параметра  и, следовательно, приводить к грубым ошибкам. В таких случаях более точный (т.е. более надежный, вызывающий доверие) ответ дают интервальные оценки.

Путь имеется выборка объема n и статистическая оценка * неизвестного параметра . Т.к. статистика * получена эмпирически (по выборке), то она также является случайной величиной. Если неизвестный параметр  оценивается с помощью значения *, полученного статистическим путем, то чем меньше модуль разности -^, тем точнее * описывает оцениваемый параметр . Введем определения.

Интервальной называется статистическая оценка, определяемая двумя числовыми значениями – концами исследуемого интервала. Число >0, при котором -^ , характеризует точность интервальной оценки.

Доверительным называется интервал _, который с заданной вероятностью  покрывает неизвестное значение параметра . Дополнение доверительного интервала до множества всех возможных (реализуемых с ненулевой вероятностью) значений параметра  называется критической областью. Если критическая область расположена только с одной стороны от доверительного интервала, то доверительный интервал называется односторонним: соответственно, левосторонним, если критическая область существует только слева, и правосторонним – если только справа. В противном случае доверительный интервал называется двусторонним.

Надежностью или доверительной вероятностью оценки  (с помощью ^) называют вероятность , с которой выполняется неравенство

 – ^ : . (3.11)

Чаще всего доверительную вероятность  задают заранее (априорно) и на нее накладывают требования быть близкой к единице. Общепринятые значения надежности – 0.95; 0.99; 0.999, которые определяются в зависимости от конкретных условий. Например, надежность =0.99 означает, что мы пренебрегаем вероятностью α=1–=0.01 совершить ошибку. Вероятность α=1– называют вероятностью ошибок или уровнем значимости, а доверительную вероятность  – уровнем значимости.

Пусть  – ^ , тогда –  -^ , или ^–   ^+. Это означает, что с вероятностью  можно утверждать, что истинное значение параметра  принадлежит интервалу (^– ; ^+). Точность оценки * зависит от заданной доверительной вероятности : оценка * тем точнее, чем меньше величина отклонения .

Границы (концы) доверительного интервала называют доверительными границами или критическими значениями.

Значения границ доверительного интервала зависят от закона распределения параметра , т.е., вообще говоря, границы различны для различных распределений. Доверительный интервал носит случайный характер и по расположению (относительно *), и по ширине (т.к. границы зависят от данных выборки). Т.к. доверительный интервал – тоже случайная величина, то принято говорить не о вероятности попадания параметра  в некоторый построенный доверительный интервал, а о том, что построенный доверительный интервал покроет параметр  с доверительной вероятностью (надежностью) .

Величину отклонения , равную половине ширины доверительного интервала, называют точностью оценки.

Методы доверительных интервалов впервые были разработаны американским статистиком Ю. Нейманом.

Точность оценки , доверительная вероятность  и объем выборки n связаны между собой. Поэтому, зная конкретные значения двух величин, всегда можно вычислить третью по сделанному предположению относительно вида статистики. Обычно в эксперименте непосредственно наблюдаемыми величинами являются n, иs.

Сформулируем правила построения доверительных интервалов для отдельных параметров распределения.

Рассмотрим дисперсию среднего выборочного:

.

Тогда стандартное отклонение и “исправленное” стандартное отклонение выборочного среднего, равны:

, (3.12)

В зависимости от того, известно ли точное значение генеральной дисперсии или нет, но найдена ее оценкаs², рассмотрим задачи определения интервального значения для генерального среднего (математического ожидания соответствующего закона распределения).

Алгоритм построения доверительного интервала имеет вид:

1. Извлечем выборку объема n из генеральной совокупности с известным распределением f(x, ) случайной величины X.

2. По данным выборки находим точечную оценку * неизвестного параметра .

3. Составим СВ U(), связанную с параметром , имеющую заданную плотность вероятности f(u, ).

4. Зададим надежность (доверительная вероятность)  или уровень значимости α.

5. Определим границы интервала (^– ; ^+), используя плотность вероятности, из условия , причем обычно выбирают. Полученный интервал (^– ; ^+) с доверительной вероятностью 1- α покрывает неизвестный параметр  и является его интервальной оценкой.