3.5.4 Доверительный интервал для дисперсии и среднего квадратического отклонения

Пусть из некоторой генеральной совокупности значений X, распределенной по нормальному закону N(m;), взята случайная выборка объемом n, для которой вычислены выборочные дисперсии: смещеннаяи несмещенная (исправленная). Найдем с заданной надежностью интервальные оценки для генеральной дисперсии D и среднеквадратичного отклонения .

Случайная величина (3.22)

имеет распределение Пирсона () сn-1 степенями свободы, поскольку:

а) все величины распределены стандартно нормально, т.е.A_iN(0;1),

б) ,

в) существует уравнение линейной связи: .

Это означает (см.[1, п.2.1.1.]) .

Т.к. распределение неотрицательное, то можно построить как односторонние (и), так и двусторонниедоверительные интервалы.

Построим односторонние доверительные интервалы для дисперсии по заданной надежности =1-. Заметим, что правостороннему по интервалу соответствует левосторонний поa интервал, и наоборот. Тогда для определения правостороннего по интервала имеем:

или ,

где – функция распределения Пирсона сn-1 степенями свободы. Из этого уравнения находится критическое значение . Также значения «Хи – квадрат» при заданном уровне значимости и объеме выборки n можно найти в таблице 8 приложения 1. Тогда с вероятностью  имеем

. (3.23)

Соответственно, для среднеквадратичного отклонения  получится правосторонний интервал .

Для определения левостороннего по интервала имеем:

.

Из этого уравнения находится критическое значение .

. (3.24)

Соответственно, получаем левосторонний интервал .

Видно, что корни интегральных уравнений связаны соотношением , поэтому в таблицах критических показателей распределения Пирсона (Таблица 8, приложение 1) дается общая границакак решение уравнения, но для значений уровня значимости, близких как к 0, так и к 1. Часто встречается обозначениедля корней распределениясk степенями свободы.

Построим двусторонние доверительные интервалы для дисперсии по заданной надежности =1-.

Итак, .

Заметим, что т.к. распределение Пирсона асимметрично, то правая и левая критические области могут быть взяты с произвольным соотношением вероятностей, поскольку определена только полная вероятность попадания в них:. Обычно берут обе критические области с одинаковой вероятностью/2, тогда границы доверительного интервала надо искать отдельно:

. (3.25)

Тем самым, задача сведена к двум односторонним интервалам с половинным уровнем значимости :

, . (3.26)

Отсюда можно получить двойной интервал для среднеквадратического отклонения: . (3.27)

Очевидно, что границы доверительного интервала не симметричны относительно исправленного значения дисперсии.

По формуле (3.25) можно решить также и обратную задачу – по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии определить доверительную вероятность .

Существует и другой способ найти границы доверительного интервала для дисперсии, в основе которого лежит выбор доверительного интервала, симметричного относительно . Доверительный интервал для среднеквадратического значения в таком случае можно найти, зная вероятность  и число степеней свободы, n по формуле

s(1-q)<  <s(1+q), (3.28)

где q=q(,n) – некоторое число, которое затабулировано (Таблица 4, приложение 1). Причем, если 1- q <0, то интервал имеет вид 0<  <s(1+q).

Задача 13. Осуществляя контроль качества выпускаемых болтов, было проверено 15 штук. Предполагая, что ошибка при их изготовлении подчинена нормальному закону распределения, причем выборочное среднее квадратичное отклонение _B равно 5мм, определить с надежностью =0.95 доверительный интервал для неизвестного параметра .

Решение. Т.к. по условию задачи n=15<30, то воспользуемся полученными формулами. Найдем пограничные значения вероятности для =1-=0.05. Тогда имеем

.

По таблицам -распределения найдем пограничные значенияпри заданной вероятности для=n-1=14 числа степеней свободы: и, тогда. Отсюда границы интервала представим в виде двойного неравенства:

или 3.78  8.17 (мм).

Если решать эту задачу по формулам (3.28), то

1. найдем исправленную дисперсию , отсюдаs=5.17;

2. по таблицам (Таблицы 4 «Приложение» 1) найдем значение q по надежности =0.95 и числу степеней свободы n=15: q_15,0.95=0.46;

3. доверительный интервал для  построим по формулам (3.28):

5.17(1-0.46)< <5.17(1+0.46) или 2.79< <7.58.

Как видно из вычислений, величина доверительного интервала зависит от способа его построения и дает близкие между собой, но не одинаковые ответы.

Задача 14. По данным Гидрометцентра за последние 25 лет средняя температура в середине октября в нашем регионе имеет среднеквадратичное отклонение _B=8 градусов. Учитывая, что ошибка подчинена нормальному закону распределения, определить с надежностью =0.9 доверительный интервал для неизвестного параметра .

Решение. Т.к. по условию задачи n<30, то воспользуемся формулами .

1)Найдем пограничные значения вероятности для =1-=0.1: .

4. по таблицам - распределения (Таблица 7, приложение 1) найдем пограничные значениядля=n-1=24 числа степеней свободы: зная, что иимееми.

2. Найдем значения для : .

3. Найдем границы интервала или 6.63 << 12.73.