- •1.Случайные события, действия над событиями
- •2.Классическое определение вероятности и ее свойства.
- •4.Формулы комбинаторики, гипергеометр. Распределение.
- •6. Формула полной вер-сти. Ф-ла Байеса.
- •7. Схема независимых испытаний Бернулли
- •8. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
- •9. Функция распределения вероятности и ее свойства.
- •10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
- •11.Математическое ожидание и его свойства.
- •12. Дисперсия и её свойства.
- •13.Коэффициент корреляции и ковариация
- •14. Моменты
- •15. Основные дискретные распределения св.
- •16.Равномерное распределение.
- •Показательное распред. Наз.Распред.Вер-тей св,к-рое опис-ся плотностью
- •17. Нормальное распределение.
- •18. Двумерная функция распределения и ее свойства.
- •19. Двумерная плотность вероятности и ее свойства.
- •20. Независимость случайных величин
- •21. Условный закон распределения.
- •22. Неравенство Чебышева. Сходим.Случ.Посл-тей
- •23. Теорема Чебышева.Теорема Берелли.
- •24. Центральная предельная теорема.
- •25. Выборочный метод
- •26. Эмпирическая функция распределения.
- •27. Гистограмма и полигон.
- •28. Числовые характеристики выборки.
- •29.Точечное оценивание
- •30. Доверительные интервалы.
- •31.Стандартная ошибка точечной оценки
- •32. Распределение , Стьюдента и Фишера.
- •33.Довер.Интервалы для оценки мОпри известном
- •33. Доверит.Интервалы для оценки мо нормального распределения при неизвестном
- •35.Проверка статистических гипотез.
- •36. Построение критической области.
- •37. Критерий согласия Пирсона.
- •38.Вычисление теоретич.Частот для норм.Распр-ния.
- •39. Сравнение дисперсий двух нормальных выборок.
- •40.Сравнение средних 2х норм.Выборок(Крит.Стьюдента)
- •41. Дисперсионный анализ
- •42.Парная регрессия
- •43. Парный коэффициент корреляции.
- •44. Проверка гипотез о достоверности коэфф.Корреляции.
10. Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
Плотностью распределения вер-тей СВ наз.производная функции распределения:.
Свойства.
1. ,, т.к.это производная неубыв.функции.
2. , т.к.
3. .Следует из определения и свойства 2.
4. Свойство нормировки: .
В частности,если все возможные значения СВ заключены в интервале от a до b, то .
СВ наз.распределенной по равномерному закону, если ее плотность вер-ти принимает постоянное значение в пределах заданного интервала.
11.Математическое ожидание и его свойства.
Мат.ожиданием дискретной СВ наз.сумма произведений всевозможных её значений на вероятности этих значений =,если этот ряд сходится абсолютно.If мат.ожид.(МО)=бесконечности,то гов., что оно не существует.МО хар-ет среднее знач.СВ,взвешенное по вероятности.
МО непрерывной СВ с плотностью вероятностей p(x) назыв-ся.интеграл =, если он сходится абсолютно.
Свойства МО:
1. MC=C;
2. МО суммы СВ равно сумме их МО: M()=M+M;
3. Для независимых СВ и МО произведения равно произведению МО: M()=M* M.
Следствие: постоянный множитель выносится за знак МО: М(a*)=a*M().
12. Дисперсия и её свойства.
Дисперсией наз.мат.ожидание квадрата отклонения СВ ξ от своего мат.ожидания: .
Выполним преобразования:
Для дискретн.СВξ с з-ном распред.(xi,pi) дисперсия равна
или
Для непрерывной СВ ξ с плотностью вер-ти p(x) дисперсия равна ,
Дисперсия характ.рассеяние возможных знач-й ξ вокруг своего МО. Средним квадрат.отклон.-корень квадратн.из дисперсии .
Свойства дисп.:
1) =0.DC=M(C-MC)2=M(C-C)2=0
2)Для независ.СВ дисп.сумы= суме дисп-й:
3)Если a и b = const, то
Следствие
Постоянный множитель выносится за знак дисп.в квадрате
.
13.Коэффициент корреляции и ковариация
К числов.хар-кам связи относ.ковариацию, коэфф.корр-ции.
Ковариацией СВ 1, 2 -МО произведения отклонений СВ от своих МО. Свойства ковариации:
1.
2. Для независимых СВ ковариация =0. Обратное не верно.
3. Пост.множитель выносится за знак ков-ции.
4.
Ковариация служит для качеств.хар-ки зависимости м/у СВ.
Коэфф.корреляции наз..
Свойства коэфф.корреляции:1. .
2. Если и независимы, то коэфф.корреляции = 0. Обратное не верно, если p=0 – некоррелированны.
3. Если 1 и 2 связаны линейной зависимостью , тоПричем, еслито; если, то.
Если , то говорят, что 1 и 2 связаны корреляционной зависимостью, тем более тесной, чем ближе к 1.
Коэффициент корреляции служит для количественной характеристики меры линейной зависимости случайных величин.
14. Моменты
МО и дисперсия явл.частными случаями моментов СВ.
Начальным мом.порядка k СВ X наз-тся МО k-й степени этой величины. α k = М(Xk )
Для дискр. СВ x нач.мом.:α k =∑ хik*pi , а для непрер. СВ:
α k =∫ х k * f (х) dх. α=MX, α2=MX2
Центральным мом.порядка k СВ наз.МО в степениk отклонения СВ от своего МО. µ k = М(– М)k
В частности , µ 2 = D, т.е. центр.мом.2го пор.-дисперсия;
µ 1 = М(– М) =0
Любой центр.мом.можно выразить ч/з нач. мом. µk=f(υ1,…,υk)
15. Основные дискретные распределения св.
1. Биноминальное распределение. Рассмотрим схему Бернулли. Производится послед-ность n независ.испытаний в каждом из кот-х возможно только 2 исхода:соб.А появ.с вер-ю p: P(A)=p, и не появ с вер-ю q:P()=q. p+q=1
Число появлений соб.А в серии из n незав.испыт.может принимать знач.
Вер-сть этих знач.вычисл.по форм.Берн.
Найдем МО: Mµi =0*q+1*p=p; Mµ =np
Чтобы найти дисперсию: Mµ 2=02*q+12*p=p
Dµ = Mµ2 -(Mµ)2=p-p2=p(1-p)=pq
Так как дисперсии независимы Dµ =npq
2. Распределение Пуассона-наз.распределение вер-тей дискр.СВξ, определяемое формулой P(=m)=P(m)=
m=0,1,...,n ; где а-параметр распределения Пуассона.
, , тогда D=а
В распределении Пуассона МО и Дисперсия =а
3. Геометрическое распределение - наз.распределение дискр.СВξ, определяемое формулой Pm=qm-1p
M=1/p; D= .