Задача 6
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой .
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами и .
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболой и осью Оу.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми и.
-
Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки A(2;0) до точки B (6;8)
-
Вычислить длину кардиоиды .
-
Вычислить длину одной арки циклоиды .
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и локоном Аньези.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной эллипсом .
-
Вычислить длину кривой между точками пересечения с осями координат.
-
Вычислить длину полукубической параболы от точки O(0; 0) до точки M.
-
Найти длину дуги полукубической параболы , заключенной внутри окружности .
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой и осью Ох.
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами и .
-
Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды , расположенной над осью Оx.
-
Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды .
-
Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и осями координат Ох и Оу .
-
Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а = 2м, радиус r = 0.3м.
-
Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 3м и радиусом основания r = 1 м, на его стенки. Плотность бензина р.
-
В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка диаметром d = 1.5м, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давления жидкости на пластинку.
-
Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой от до .
-
Найти длину дуги кривой .
-
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой .
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и окружностью r = 4.
-
Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной цепной линией , осью Ох и прямыми х = ±1.
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами у = х2 .
-
Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной локоном Аньези , прямой и осью Оу.
-
Вычислить длину дуги полукубической параболы от x = 0 до x = 3.
-
Вычислить длину астроиды .
-
Вычислить длину кардиоиды .
-
Найти координаты центра тяжести однородной дуги цепной линии от точки (0, 1) до точки .
-
Найти координаты центра тяжести дуги астроиды , расположенной в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.
-
Деревянная прямоугольная балка, размеры поперечного сечения которой а = 0,4 м, b = 0,2 м, длина l = 4,5 м, плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева у = 0,8 Г/см3. Вычислить работу, необходимую для извлечения балки из воды.
-
Растяжение (удлинение) пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кГ, удлиняет ее на 1 см.
-
Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму прямого круглого конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз, если радиус основания конуса r = 2 м и высота h = 5 м.
-
Вертикальная плотина имеет форму параболического сегмента, высота которого h—12 м, а верхнее основание совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 30 м. Вычислить силу давления воды на плотину.
-
Вертикальная плотина имеет форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 50 м, нижнее основание b = 20 м, а высота h = 15 м. Вычислить силу давления воды на плотину.
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой косинусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .
-
Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами .
Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара Р. Удельный вес воды принять равным 9,81кН/м , = 3,14. (Результат округлить до целого числа.)
-
Р: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 5м.
-
Р: правильная четырехугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота — 6м.
-
Р: котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5м и радиус 1м.
-
Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м, дли на 5м.
-
Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1м, нижнего — 2м, высота — Зм.
-
Р: желоб, перпендикулярное сечение которого является параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м.
-
Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания ко торой 1м, длина 5м.
-
Р: правильная треугольная пирамида с основанием 2м и высотой 5м.
-
Р: правильная треугольная пирамида, обращенная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высота 6 м.
-
Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5м.
-
Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего — 1м, высота — 3м.
-
Р: конус с радиусом основания 2 м и высотой 5 м.
-
Р: правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижнего — 4 м, высота— 2м.
-
Р: параболоид вращения, радиус основания которого 2м, глубина 4м.
-
Р: половина эллипсоида вращения, радиус основания которого 1м, глубина 2м.
-
Р: усеченная четырехугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 4 м, высота — 1м.
-
Р: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м и высотой 2м.
-
Р: правильная шестиугольная пирамида с вершиной, обращенной вниз, сторона основания которой 2 м, высота 6м.
-
Р: цилиндр с радиусом основания 1 м и высотой 3 м.
-
Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м.
-
Р: желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1м, длина желоба 10 м.
-
Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 1м, высота — 2м.
-
Р: полусфера радиусом 2м.
Вычислить работу, затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения Q из некоторого материала, удельный вес которого - (Результат округлить до целого числа.)
-
Q: правильная усеченная четырехугольная пирами да, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего 4м, высота 2м; = 24кН/м3.
-
Q: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1м и высотой 2м; — 24кН/ м3 .
-
Q: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 4м; - 24кН/ м3.
-
Q: правильная шестиугольная усеченная пирамида, сторона верхнего основания которой равна 1 м, нижнего 2м, высота — 2м; = 24кН/м3.
-
Q: правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 м и высотой 6м; = 20кН/м3 .
-
Q: конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м; = 20 кН/м3.
-
Q: усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м; — 21 кН/ м3
Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями.
-
Ф — треугольник, стороны которого лежат на прямых х + у = a, x = 0 и y = 0.
-
Ф ограничена эллипсом х2/а2 + у2/b2 = 1 и осями координат (х 0, у 0).
-
Ф ограничена первой аркой циклоиды
х — a(t — sin t), у = a(l — cost) и осью Ох.
-
Ф, ограничена кривыми у = х2, .
-
Ф ограничена дугой синусоиды у = sin x и отрезком оси Ох ().
-
Ф ограничена полуокружностью и осью Ох.
-
Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Ох и прямой х = b.
-
Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Оy и прямой y = b.
-
Ф ограничена замкнутой линией у2 = ах3 - х4.
-
Ф ограничена осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте.
-
Ф — сектор круга радиусом R с центральным углом, равным 2а.
-
Ф ограничена кардиоидой = а(1 +cos).
-
Ф ограничена первой петлей лемнискаты Бернулли = a2cos2.
-
Ф ограничена осями координат и параболой.
-
Ф ограничена полукубической параболой ау2 = х3 и прямой х = а (а > 0).
-
-
-
-
r = 3 + sin2 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
-
r = 2 — cos3 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.
Задача 7. Определить и изобразить область существования следующей функции:
7.1. ; 7.2. ;
7.3. ; 7.4.;
7.5.; 7.6.;
7.7.; 7.8.;
7.9.; 7.10.;
7.11.; 7.12.;
7.13.; 7.14.;
7.15.; 7.16.;
7.17.; 7.18.;
7.19.; 7.20.;
7.21.; 7.22.;
7.23.; 7.24.;
7.25.; 7.26.;
7.27.; 7.28.;
7.29.; 7.30.;
7.31.; 7.32.;
7.33.; 7.34.;
7.35.; 7.36.;
7.37.; 7.38.;
7.39.; 7.40.;
7.41.; 7.42.;
7.43.; 7.44.;
7.45.; 7.46.;
7.47.; 7.48.;
7.49.; 7.50.;
7.51.; 7.52.;
7.53.; 7.54.;
7.55.; 7.56.;
7.57.; 7.58.;
7.59.; 7.60.;
7.61.; 7.62. ;
7.63.; 7.64.;
7.65.; 7.66.;
7.67.; 7.68.;
7.69.; 7.70.;
7.71.; 7.72.;
7.73.; 7.74.;
7.75.; 7.76.;
7.77.; 7.78.;
7.79.; 7.80.;
7.81.; 7.82.;
7.83.; 7.84.
7.85.; 7.86.;
7.87.; 7.88.;
7.89.; 7.90.;
7.91.; 7.92.;
7.93.; 7.94.;
7.95.; 7.96.;
7.97.; 7.98.;
7.99.; 7.100..
Задача 8. Найти частные производные 1-го порядка следующей функции:
8.1.; 8.2.;
8.3.; 8.4.;
8.5.; 8.6.;
8.7.; 8.8.;
8.9.; 8.10.;
8.11.; 8.12.;
8.13.; 8.14.;
8.15.; 8.16.;
8.17.; 8.18.;
8.19.; 8.20.;
8.21.; 8.22.;
8.23.; 8.24.;
8.25.; 8.26.;
8.27.; 8.28.;
8.29.; 8.30.;
8.31.; 8.32.;
8.33.; 8.34.;
8.35.; 8.36.;
8.37.; 8.38.;
8.39.; 8.40.;
8.41.; 8.42.;
8.43.; 8.44.;
8.45.; 8.46.;
8.47.; 8.48.;
8.49.; 8.50.;
8.51.; 8.52.;
8.53.; 8.54.;
8.55.; 8.56.;
8.57.; 8.58.;
8.59.; 8.60.;
8.61.; 8.62.;
8.63.; 8.64.;
8.65.; 8.66.;
8.67.; 8.68.;
8.69.; 8.70.;
8.71.; 8.72.;
8.73.; 8.74.;
8.75.; 8.76.
8.77.; 8.78.;
8.79.; 8.80.;
8.81.; 8.82.;
8.83.; 8.84.;
8.85.; 8.86.;
8.87.; 8.88.;
8.89.; 8.90.;
8.91.; 8.92.;
8.93.; 8.94.;
8.95.; 8.96.;
8.97.; 8.98.;
8.99.; 8.100..
Задача 9.. Дано: функция z=f(x,y), точка , вектор .
Найти:
1) grad z в точке А;
2) производную функции f(x,y) в точке А в направлении ;
3) уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке . Добавить дифференциальные операции поля
9.1.;
9.2.;
9.3.;
9.4.;
9.5.;
9.6.;
9.7.;
9.8.;
9.9.;
9.10.;
9.11.;
9.12.;
9.13.;
9.14.;
9.15.;
9.16.;
9.17.;
9.18.;
9.19.;
9.20.;
9.21.;
9.22.;
9.23.;
9.24.;
9.25.;
9.26.;
9.27.;
9.28.;
9.29.;
9.30.;
9.31.;
9.32.;
9.33.;
9.34.;
9.35.;
9.36.;
9.37.;
9.38.;
9.39.;
9.40.;
9.41.;
9.42.;
9.43.;
9.44.;
9.45.;
9.46.;
9.47.;
9.48.;
9.49.;
9.50.;
9.51.;
9.52.;
9.53.;
9.54.;
9.55.;
9.56.;
9.57.;
9.58.;
9.59.;
9.60.;
9.61. ;
9.62.
9.63.;
9.64.;
9.65.;
9.66.;
9.67.;
9.68.;
9.69.;
9.70.;
9.71.;
9.72.;
9.73.;
9.74.;
9.75.;
9.76.;
9.77.;
9.78. ;
9.79.;
9.80.;
9.81.;
9.82.;
9.83.;
9.84.;
9.85.;
9.86.
9.87.;
9.88.;
9.89.;
9.90.;
9.91.;
9.92.;
9.93.;
9.94.;
9.95.;
9.96.;
9.97.;
9.98.;
9.99.;
9.100..
Задача 10. Найти экстремумы функции:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами:
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
-
;
-
;
-
;
-
;
-
;
-
.
Задача 12. Вычислить повторные интегралы
00; 34; 68 ; |
01; 35; 69 ; |
02; 36; 70 ; |
03; 37; 71 ; |
04;38;72 ; |
05; 39; 73 ; |
06;40;74 ; |
07; 41; 75 ; |
08; 42; 76 ; |
09; 43; 77 ; |
10; 44; 78 ; |
11;45;79; |
12;46;80; |
13; 47; 81 |
14;48;82 ; |
15; 49; 83 ; |
16; 50; 84 ; |
17;51; 85 ; |
18; 52; 86 ; |
19; 53; 87 ; |
20; 54; 88 ; |
21;55; 89 ; |
22; 56; 90 ; |
23;57; 91; |
24;58;92; |
25; 59; 93 ; |
26; 60; 94 ; |
27; 61; 95 ; |
28;62;96 ; |
29;63;97 . |
30; 64; 98 |
31; 65; 99 |
32; 66 |
33; 67 |
Задача 13. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.
00; 36; 72 ; |
01; 37; 73 ; |
02; 38; 74 ; |
03; 39; 75 ; |
04; 40; 76 ; |
05; 41; 77 ; |
06;42; 78 ; |
07; 43; 79 ; |
08; 44; 80 ; |
09; 45; 81 ; |
10; 46; 82 ; |
11; 47; 83 ; |
12;48;84 ; |
13; 49;85; |
14;50;86 ; |
15; 51; 87 ; |
16;52; 88 ; |
17; 53; 89 ; |
18; 4;90; |
19;55;91 ; |
20;56;92; |
21;57;93; |
22; 58; 94 ; |
23; 59; 95 ; |
24; 60; 96 ; |
25; 61; 97 ; |
26; 62;98 ; |
27;63;99; |
28; 64 ; |
29; 65 . |
30; 66 |
31; 67 |
32; 68 |
33; 69 |
34; 70 |
35; 71 |
Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл
по контуру треугольника , где
00; 34; 68 |
|
|
|
01; 35; 69 |
|
|
|
02; 36; 70 |
|
|
|
03; 37; 71 |
|
|
|
04; 38; 72 |
|
|
B(4;1) |
05; 39; 73 |
|
А(1;5) |
B(5;1) |
06; 40; 74 |
|
A(1;6) |
B(6;1) |
07; 41; 75 |
|
A(1;7) |
B(7;1) |
08; 42; 76 |
|
A(1;8) |
B(8;1) |
09; 43; 77 |
|
A(1;9) |
B(9;1) |
10; 44; 78 |
|
A(2;0) |
B(0;2) |
11; 45; 79 |
|
A(2;1) |
B(0;2) |
12; 46; 80 |
|
A(5;1) |
B(3;4) |
13; 47; 81 |
|
A(4;2) |
B(5;5) |
14; 48; 82 |
|
A(5;1) |
B(3;6) |
15; 49; 83 |
|
A(7;2) |
B(2;4) |
16; 50; 84 |
|
A(4:1) |
B(-1;5) |
17; 51; 85 |
|
A(-1;5) |
B(-4;1) |
18; 52; 86 |
|
A(1;-6) |
B(4;-1) |
19; 53; 87 |
|
A(4;4) |
B(-2;2) |
20; 54; 88 |
|
A(1;0) |
B(-1;7) |
21; 55; 89 |
|
A(-2;-5) |
B(4;8) |
22; 56; 90 |
|
A(-2;6) |
B(4;2) |
23; 57; 91 |
|
A(7;7) |
B(0;4) |
24; 58; 92 |
|
A(1;-6) |
B(5;5) |
25; 59; 93 |
|
A(-1;6) |
B(-3;-3) |
26; 60; 94 |
|
A(5;1) |
B(-1;5) |
27; 61; 95 |
|
A(-7;2) |
B(1;4) |
28; 62; 96 |
|
A(6;1) |
B(-1;4) |
29; 63; 97 |
|
A(-5;-5) |
B(1;-2) |
30; 64; 98 |
|
A(-1;6) |
B(2;6) |
31; 65; 99 |
|
A(-2;-4) |
B(3;-4) |
32; 66 |
|
A(-3;-5) |
B(5;0) |
33; 67 |
|
A(1;-5) |
B(5;-2} |
Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл
,
пробегая по часовой стрелке нижнюю дугу эллипса , , если
№ варианта |
а |
b |
00; 31; 62; 93 |
1 |
2 |
01; 32; 63; 94 |
1 |
4 |
02; 33; 64; 95 |
1 |
3 |
03; 34; 65; 96 |
1 |
5 |
04; 35; 66; 97 |
1 |
6 |
05; 36; 67; 98 |
1 |
7 |
06; 37; 68; 99 |
1 |
7 |
07; 38; 69 |
1 |
9 |
08; 39; 70 |
3 |
1 |
09; 40; 71 |
3 |
9 |
10; 41; 72 |
3 |
7 |
11; 42; 73 |
3 |
5 |
12; 43; 74 |
3 |
6 |
13; 44; 75 |
3 |
8 |
14 45; 76 |
2 |
1 |
15; 46; 77 |
2 |
3 |
16; 47; 78 |
2 |
4 |
17; 48; 79 |
2 |
5 |
18; 49; 80 |
2 |
6 |
19; 50; 81 |
2 |
7 |
20; 51; 82 |
4 |
1 |
21; 52; 83 |
4 |
2 |
22; 53; 84 |
4 |
3 |
23; 54; 85 |
4 |
5 |
24; 55; 86 |
4 |
6 |
25; 56; 87 |
5 |
1 |
26; 57; 88 |
5 |
2 |
27; 58; 89 |
5 |
3 |
28; 59; 90 |
5 |
4 |
29; 60; 91 |
6 |
2 |
30; 61; 92 |
6 |
3 |