47. Определение параметров уравнения парной регрессии.

Важнейший частный случай стат. связи – корреляционная связь. При корреляц. связи разным значениям одной переменной соответствуют различные ср. значения др. переменной, т.е. с изменением значения признака х изменяется ср. значение признака у.

В статистике принято различать след. виды зависимости:

4. парная корреляция – связь между 2^мя признаками результативным и факторным, либо м-ду двумя факторными.

5. частная корреляция – зависимость м-ду результативным и одним факторным признаком при фиксир. значении др. факторного признака.

6. множественная корреляция – зависимость результат. признака от двух и более факторных признаков.

Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид . Где- ср. значение разультативного признакаy, при определеных значениях признака x; a – свободный член уравнения; b – коэф-фициент регрессии, показывает вариацию приз-нака y, приходящуюся на единицу вариации x.

Параметры уравнения находятся с помощью метода наименьших квадратов. Исходным методом наименьших квадратов для прямой линии является следующее:

С помощью преобразований получаем систему нормальных уравнений:

an + bx_i=y_i

ax_i + bx_i²=x_iy_i

Если первое уравнение системы разделить на n:

, откуда

Для расчета параметра b используется формула:

Коэффициент парной регрессии, обозначенный b имеет смысл показателя силы связи между показателями факторного признака x и вариаций результативного признака y. Положительный знак при коэффициенте регрессии говорит о прямой связи между признаками, знак «-» говорит об обратной связи между признаками.

48. Множественное уравнение регрессии.

Важнейший частный случай стат. связи – корреляционная связь. При корреляц. связи разным значениям одной переменной соответствуют различные ср. значения др. переменной, т.е. с изменением значения признака х изменяется ср. значение признака у. Множественная корреляция – зависимость результат. признака от двух и более факторных признаков.Матем. корреляц. зависимость результат. переменной от нескольких факторов опис-ся ур-нием множеств. регрессии:

y(x₁,x₂…x_k)= a+b_1.2…kx₁+b_2.13…kx₂+….+b_k.12…k-1x_k

Уравнение множеств. регрессии характ-т ср. изменение y с изменением признаков факторов. При построении уравнения множественной регрессии нужно решить две задачи:

1. Выбрать признаки – факторы, включенные в регрессию.

2. Выбрать тип уравнения регрессии.

Решение 1-ой задачи основ-ся на рассмотрении матрицы парных коэф-тов корреляции и выделении тех переменных, для кот. выполняется правило: Ryx_j > Rx_iy_j (где i≠j)

Кроме того, не рекоменд-ся включать во множеств. регрессию переменные, тесно связанные м-ду собой.

Решение 2-ой задачи основыв-ся на соотношении: чем проще тип ур-ния множеств. регрессии, тем очевиднее интерпретация его параметров, тем лучше для использ-ния регрессии с целью анализа и прогноза. Параметры множеств. ур-ния регрессии так же, как и в парном уравнении регрессии расчитыв-ся методом наим. квадратов.

(y_i-a-b₁x₁-b₂x₂-…-b_kx_k)→min

Получаем систему уравнений:

an + b₁x₁+ b₂x₂+_…+ b_kx_k =y

ax₁ + b₁x_i²+ b₂x₁x₂+…+ b_kx₁x_k = yx₁

………………………………………………………

ax_k + b₁x₁x_k + b₂x₂x_k+…+ b_kx_k² = yx_k

Отсюда a= y(ср.) -  b_j x_j(ср.)

Коэффиц-ты b_j наз-ся коэфф-ми условно чистой регрессии.

Термин условно-чистая регрессия означает, что каждая из величин измеряет среднее по совокупности отклонение результ. признака от его ср. величины на ед-цу его измерения и при условии, что все прочие факторы, входящие в уравнение регрессии не изменяются и не варьируют. Коэффициенты условно-чистой регрессии явл. именованными величинами, поэтому их преобразуют в сравнимые величины. Полученные показатели наз-т стандартизированными коэфф-ми регрессии (- коэффициенты). β_j= b_j*σ_xj / σ_y

- коэффициенты показывают на ск-ко отклоняется от своего ср. значения в средних квадратических отклонениях результат. признак y при отклонении факт. признака от своего ср. значения на 1 среднее квадратическое отклонение.

Коэффициенты эластичности показывают на сколько % изменится результ. признак при изменении факторного на 1%: Э_j= b_j*( x_j(ср.) / y_(ср.))

Коэффициент совокупной детерминации: R²= Ryx_i β_i

Важно знать вклад каждой объясняющей переменной, он измер-ся коэф-ми раздельной детерминации:D_i²= Ryx_i β_i