- •1.Дифференциальные уравнения(д.У.) первого порядка. Общее и частное решение д.У. Задача Коши.
- •2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения (д.У.) первого порядка.
- •2.Однородные ду
- •5.Ду высшихпорядков: постановка задачи Коши, теорема сущ-ния и един-ти решения задачи Коши.
- •8.Линейная зависимость,независимость ф-ий. Определитель вронского.
- •9.Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэф-тами. Характеристическое ур-е Зависимость общего решения от корней характер-го ук-я.
- •12Линейные однородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами
- •13.Линейные неоднородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы со специальной правой частью.
- •15 Устойчивость по Ляпунову
- •16 Устойчивость по первому приближению
- •19.Предел и непрерывность функций комплексной переменной.
- •22.Элеменарные функции комплексной переменной.
- •25.Теорема Коши и интегральная формула Коши.
- •26. Cтепенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля, радиус сходимости
- •27. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора
- •28. Нули аналитических функций. И их классификация.
- •29. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.
- •32. Вычет аналитических функций.
- •35.Классификац.Ур. Матфизики.
- •42. Оригинал и изображение. Св-ва преобразования Лапласа: линейность, подобие.
- •44. Формулы обращения преобразования Лапласа.
- •45. Применение преобразования Лапласа: теоремы обращения.
- •46. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных д. У. С помощью преобразований Лапласа.
- •47. Применение преобразования Лапласа к решению физических задач.
- •48. Решение ур-ий с частными производными с помощью преобразования Лапласа.
22.Элеменарные функции комплексной переменной.
Следующие функции (как однозначные, так и многозначные) называются основными элементарными:
1. Дробно-рациональная функция (a0zn + a1zn-1 +…+ an)/(b0zm + b1zm-1 +…+ bm), n,mN. Частными случаями этой функции являются:
а) линейная функция az + b, a,bC, а≠0;
б) степенная функция zn, п N ;
в) дробно-линейная функция (az+b)/cz+d) a,b,c,dC, с≠0, ad - bc ≠ 0;
г) функция Жуковского (z + 1/z )/2.
2. Показательная функция ez =ех+iу = ex(cosy + isiny). Функция ez обладает свойствами:
1) eZ1+Z2 = ez1eZ2, для любых чисел z1, z2;
2) еz - периодическая с периодом 2πi, т.е. еz = еz+2лi;
3) ez непрерывна на всей комплексной плоскости ;
4) для любого комплексного z = x + iy справедливы равенства:
│е2│= ех; arg ez = у.
3. Тригонометрические функции: cosz= (eiz + e-iz)/2; sinz= (eiz - e-iz)/2i; tgz = sinz/cosz; ctgz = cosz/sinz;
4. Гиперболические функции: sh z = (ez – e-z)/2; chz= (ez + e-z)/2; thz = shz/chz; cthz=chz/shz;
5. Логарифмическая функция Ln z = In │z│ + i(arg z + 2πk), кZ. Функция Ln z является многозначной. В каждой точке z, отличной от 0 и , она принимает бесконечно много значений. Выражениеln|z| + iargz называется главным значением логарифмической функции и обозначается через ln z. Таким образом, Ln z = In z + 2πk i, kZ .
6. Общая степенная функция za= eaLnz, aC . Эта функция многозначная, ее главное значение равно ealnz.
Если а=1/n, nN, то получаем многозначную функцию - корень n-ой степени из комплексного числа:Z1/n==e(ln│z│ + i(argz + 2πk))/n = e i(argz + 2πk)/n, k
7. Общая показательная функция аz =ezLna, аС.
Главное значение этой многозначной функции равно ezlna. В дальнейшем при а > 0 полагаем az = ezlnа.
8. Обратные тригонометрические функции: Arcsin z = -iLn(iz + (l-z2)1/2), Arccosz = -iLn( z + (z2-1)1/2); Arctgz = -i(Ln)/2 где (z≠);Arcctgz = i(Ln)/2 где (z≠); и обратные гиперболические функции:Arcshz = Ln( z + (z2+1)1/2); Arcchz = Ln( z + (z2-1)1/2); Arcth z = (Ln)/2; Arccth z = (Ln)/2;Все эти функции многозначны.
24.Интеграл от функции комплексной переменной.Прмиеры.Пусть функция f (z) – определена и непрерывна в области G, а Г – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G;z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции w=f(z) сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t=a, t=b, тогде z(t)=x(t)+iy(t).
Пусть Г – кусочно-гладкая кривая, состоящая из гладких частей Г1, Г2...Гn. Тогда
Пример:Вычислить =>Следовательно - решеню интеграла не зависит от пути интегрированияи равен 0 вдоль любой замкнутой прямой.
25.Теорема Коши и интегральная формула Коши.
Пусть функция f (z) – определена и непрерывна в области G, а Г – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G;z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y.
Теорема: Если f(z) является аналитической функцией в некоторой односвязной области G, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, и на самой кривой, то (теорема Коши),и для любой внутренней точкиимеем(интегральная формула Коши).
Доказательство: Согласно имеем интеграл по контурут.кf(z) аналитична в G то ее дейст.часть u(x,y) и мнимая v(x,y) являются функц. Непрерывными в G и в G существ. Непрерывные частные производные -> дляинегр. Стоящив в прав. части равенства имеет место формула Грина:;
= 0. То что треб. доказ.
Кроме того, справедлива формула
Из теоремы Коши следует, что если w=f(z) – аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл не зависит от пути интегрирования Г (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница: гдеF(z) – какая-либо первообразная функции f(z), т. е. F'(z)=f(z).