- •1.Дифференциальные уравнения(д.У.) первого порядка. Общее и частное решение д.У. Задача Коши.
- •2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения (д.У.) первого порядка.
- •2.Однородные ду
- •5.Ду высшихпорядков: постановка задачи Коши, теорема сущ-ния и един-ти решения задачи Коши.
- •8.Линейная зависимость,независимость ф-ий. Определитель вронского.
- •9.Линейные однородные уравнения высших порядков с постоянными коэф-тами. Характеристическое ур-е Зависимость общего решения от корней характер-го ук-я.
- •12Линейные однородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами
- •13.Линейные неоднородные системы ду высших порядков с постоянными коэффициентами. Системы со специальной правой частью.
- •15 Устойчивость по Ляпунову
- •16 Устойчивость по первому приближению
- •19.Предел и непрерывность функций комплексной переменной.
- •22.Элеменарные функции комплексной переменной.
- •25.Теорема Коши и интегральная формула Коши.
- •26. Cтепенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля, радиус сходимости
- •27. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора
- •28. Нули аналитических функций. И их классификация.
- •29. Ряд Лорана. Изолированные особые точки и их классификация.
- •32. Вычет аналитических функций.
- •35.Классификац.Ур. Матфизики.
- •42. Оригинал и изображение. Св-ва преобразования Лапласа: линейность, подобие.
- •44. Формулы обращения преобразования Лапласа.
- •45. Применение преобразования Лапласа: теоремы обращения.
- •46. Применение преобразования Лапласа. Решение линейных д. У. С помощью преобразований Лапласа.
- •47. Применение преобразования Лапласа к решению физических задач.
- •48. Решение ур-ий с частными производными с помощью преобразования Лапласа.
26. Cтепенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля, радиус сходимости
(1), где и а - действительные числа, наз-ся степенным рядом с центром х=а. Заменой=х-а такой ряд приводится к виду (вместо пишем х):
(2) поэтому можно ограничится изучением ряда (2). Ряд (2) всегда сходится к точке х=0: S(0)=C.
Т-ма Абеля
Если ряд (2) сходится в точке , то он абсолютно сходится прих<, т.е. на ]-,[; если он расходится в точке 0, то расходится при х<, т.е. на ]-,-[ и ],+[.
Если сходится , тои сходящаяся последовательность{} ограничена:(n)[ M](n)[|Cn| M/|n|. Если |x|<||, то= =Cn|x|n M/|n||x|n= M(|x|/||)n= =Mqn, где q=|x|/||<1. Из сходимости геометрического рядапо признаку сравнения следует сход-тьт.е. абсолютная сход-ть ряда (2) при рассматриваемомх<. Eсли ряд (2) расходится в точке 0, то при х> он не может сходится, т.к. по доказанному он бы сходился в точке при х> ряд (2) расходится .
Т-ма о радиусе сходимости
Для каждого ряда (2)сущ-ет неотрицательное число RŔ такое, что на ]-R,R[ ряд абсолютно сходится, а вне отрезка [-R,R] (т.е. на ]-,-R[ u ]R,+[) расходится.
Если (2) ходится в единственной точке х=0, то полагают R=0 (в точке х= 0 ряд (2) сходится абсолютно). Пусть сущ-ют χ 0, в которых ряд сходится, назовем их точками сход-ти. Мн-во модулей точек сход-ти обозначим Х={ χ }, и пусть R= sup X. Т.к. имеются точки χ 0, т.е. χ >0, то Sup X>0, т.е. R>0. Пусть х<R, тогда х меньшее чем Sup X не может быть верхней границей мн-ва Х и потому найдется χ Х такой, что χ >x. Из сход-ти (2) в точке χ по т-ме Абеля следует абсолютная сход-ть ряда в точке х. Таким образом ряд (2) абсолютно сходится на ]-R,R[. В частности если R=+, то на ]-,+[. Пусть R<+, т.е. R-конечное число, тогда если х>R, то х не может быть точкой сход-ти,
Число R наз-ся радиусом сход-ти степенного ряда (2), ]-R,R[ -интервалом сходимости.
Замечание.
Для степенного ряда (1) интервалом сход-ти явл-ся ]a-R,a+R[.
Если для ]-R,R[ -R< <R, т.е. -R<x-a<R a-R< x <a+R
27. Ряд Тейлора. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестноститочки a. Формальный ряд:называется рядом Тейлора функции f в точке a.
Это равенство выолняется(ряд Тэйлора сходится в окрестнн. Точки a ) если оствток ряда равен: . Если функция f(x)бесконечно диференцир. В интервале (a-h,a+h) и ее производные равеомерно огранич.в интервале ,т.е существ. Такое пложит. число C (не зависещ. от т),что:при всехx из интерв.(a-h,a+h), то верно равенство во всм интервале (a-h,a+h).Формула (1) в частном случае при (a=0) определяет раздожене в ряд Маклорена:
Основные разложения в ряд Тейлора:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
28. Нули аналитических функций. И их классификация.
Пусть функция f (z) является аналитической в точке Точканазывается нулем функции f (z), если ее значение в этой точке равно нулю, т.е. f () = 0.
В разложении функции в ряд Тейлора в окрестности нуля этой функции (т. ) отсутствует свободный член:= f() = 0.
Если при этом в разложении отсутствуют и слагаемые, содержащие степени разности (z-) до n-ой степени, т.е. разложение имеет вид:или f(z)=Cn(z-)n+Cn+1(z-)n+1+…, Cn≠0 то точканазывается нулем порядка n функции f(z).
Нуль первого порядка (n = 1) называется простым нулем.
Следующие условия являются необходимым и достаточным условиями нуля порядка n функции f (z) в точке z0:
a). f(n)() ≠0, f(k)()=0, k=0,1,… ,(n-1);
b). f(z)=(z-)n*ψ(z), ψ()=Cn ≠0 представление функции в виде произведения:
Порядок нуля в точке функции, полученной в результате перемножения аналитических функций
f (z) = f1(z) f2(z) равен сумме порядков нуля (n1 + n2) в этой точке функций сомножителей
( n1 - порядок нуля в точке функции f1(z), n2 - порядок нуля в точкефункции f2(z) ).