Tom_2

H0 : rXY = 0 при конкурирующей гипотезе

H1 : rXY ¹ 0 .

Если нулевая гипотеза будет отклонена, то это будет означать, что коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированы, то есть связаны линейной корреляционной зависимостью.

Если нулевая гипотеза будет принята, то это будет означать, что выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y некоррелированы, то есть независимы.

В качестве статистики при проверке нулевой гипотезы

принимается случайная величина T =	r€XY		n - 2			, которая подчиняется
	1- r€XY2
распределению Стьюдента с ν = n − 2			степенями свободы. Для

проверки нулевой гипотезы нужно вычислить наблюдаемое значение критерия

T	=	r€XY			n - 2			.
набл	1			- r€2
					XY

По заданному уровню значимости α и числу степеней свободы ν = n − 2 по табл. П3 критических точек распределения Стьюдента

находим критическую точку t	æ α		ö	односторонней критической
	ç	2	,ν ÷
	кр è		ø

области. Если Tнабл < tкр , то оснований для отклонения нулевой гипотезы нет. Если Tнабл > tкр – нулевую гипотезу отклоняют.

Пример 3. По выборке объема n = 62 , образованной из двумерной нормальной совокупности (X ,Y ) , найден выборочный коэффициент

корреляции r€XY = 0,6 . При уровне значимости 0,05 проверить нулевую

гипотезу H0 : rXY = 0

о равенстве нулю генерального коэффициента

корреляции при конкурирующей гипотезе H1 : rXY ¹ 0 .

Решение. Вычисляем

r€XY

=

0,6

=

0,6×7,75

= 5,81.

T

=

n - 2

62 - 2

набл

1

- r€XY2

0,64

0,8

По уровню значимости α

= 0,025

и числу степеней свободы

ν = n − 2 = 62 − 2 = 60

2

находим по табл. П3 значений распределения

Стьюдента для односторонней критической области tкр (0,025;60) = 2,0 .

484

В связи с тем, что Tнабл > tкр : 5,81 > 2,0 , нулевую гипотезу отклоняем, то есть генеральный коэффициент корреляции отличается от нуля, и X и Y коррелированы. □

§ 3. Нелинейная корреляция

Если функция регрессии f (x) или ϕ(y) нелинейная, то

корреляцию называют нелинейной (криволинейной). Коэффициенты нелинейных уравнений регрессии могут быть найдены также по методу наименьших квадратов.

10. Уравнение параболической регрессии второго порядка.

Как отмечалось раньше, корреляция будет нелинейной, когда функция

Y		x	= f (x)	или		X	y	= ϕ( y) будет нелинейной.	Например,
			= ax2 + bx + c
	Y	x			(параболическая корреляция второго порядка),
	Y	x	= ax3 + bx2 + cx + d				(параболическая корреляция третьего порядка),
			= a + b
	Y	x		(гиперболическая корреляция) и так далее.					Нелинейная
			x

(криволинейная) корреляция решает такие же задачи, что и линейная (нахождение формы и силы корреляционной связи). Неизвестные параметры уравнения регрессии находят методом наименьших квадратов. Для оценки тесноты криволинейной корреляции вводят выборочное корреляционное отношение.

Рассмотрим параболическую корреляцию второго порядка. Тогда уравнение регрессии Y на X будет иметь вид

y = ax2 + bx + c .

Пусть по результатам эксперимента получены значения xi и y j

с кратностями nx	и ny	j	и объемом наблюдений n: (xi , y j ), i, j =	1,n	.
i

Найти уравнение параболической регрессии.

Параметры уравнения регрессии найдем по методу наименьших квадратов. Это значит, что должно выполняться условие

n	n	2 = Smin .
å(yi - y(xi ))2 = Smin	или åëéyi - (axi2 + bxi + c)ûù
i=1	i=1

Из последнего равенства имеем

485

¶S	= -2åëé yi - (axi2 + bxi + c)ûùxi2	,
¶a	= -2åëé yi - (axi2 + bxi + c)ûù xi
¶S		,	(1)
¶b	= -2åëé yi - (axi2 + bxi + c)ûù .
¶S
¶c

Отсюда, приравнивая правые части (1) к нулю, согласно необходимому условию экстремума, получим систему уравнений

aåxi4 + båxi3 + cåxi2 = å yi xi2 ,
aåxi3 + båxi2 + cåxi = å yi xi ,	(2)
aåxi2 + båxi + cn = å yi .

Решая систему (2), находим параметры a, b, c.

Пример 1. Найти выборочное уравнение параболической регрессии Y на X второго порядка по данным корреляционной

т			а				б		л				и					ц				ы				1			.
																								Таблица 1
					xi		2			3								5				ny j		xy j
			y j
			25				20			0								0			20			2
			45				0			30								1			31			3,06
			110				0			1								48			49			4,96
				nx			20			31								49				n = 100
					i
					xi
				y			25			47,1								108,67
		Как и ранее,							здесь xy			j	,	yx –				условные (групповые) средние.
														i
		Решение. Составим вспомогательную таблицу 2.																								Таблица 2
							n			n				n		x								nx			n	x	x
																								i
																												i
							8		1					3								5		10		20
	0		0				0		60				20					5		0		00		00		00
							2		8					2								1		43		13
	1		3				79		37			511						7,1		1		460		80		141
							1		6					3								5		26		13
	9		45				225		125			0625						08,67		9		325		624		3121
							å		å					å								å		å=		å= 1

486

во второе уравнение

Запишем систему уравнений (2)

ì33 456a + 7122b +1584c = 148 262, ïí7122a +1584b + 378c = 32 004, ïî1584a + 378b +100c = 7285.

Для удобства решения разделим каждое уравнение этой системы

на первый коэффициент и получим
ìa + 0,213b + 0,047c = 4,432,
ï			= 4,494,	(3)
ía + 0,222b + 0,053c
ï			= 4,599.
îa + 0,238b + 0,063c
Вычтем в полученной системе из второго уравнения первое и из
третьего уравнения второе:
ì0,009b + 0,006c = 0,062,		или	ì9b + 6c = 62,	(4)
í	= 0,105		í
î0,017b + 0,010c			î17b +10c = 105.

Подставив вместо b его значение b = 62 - 6c

9

системы (4), получим c = 9,08, b = 0,84 . Подставив в первое уравнение системы (3) вместо b и c их значения, получим a = 3,83 .

Таким образом, уравнение параболической регрессии второго порядка будет

y = 3,83x2 + 0,84x + 9,08.

Подставляя в полученное уравнение вместо x его значения xi из табл. 1, получаем теоретические значения y(xi ) :

x	2	3	5
y	26	46,	109
	,08	07	,03

Сравнивая расчетные значения условных средних y(xi ) с опытными значениями yi , видим, что они достаточно близки. □

20. Выборочное корреляционное отношение. Для экспериментальной оценки силы корреляционной зависимости Y от X служит выборочное корреляционное отношение – выборочный аналог корреляционного отношения ηY X . Чтобы его определить, введем

487

σ€Y2

D(

X )= D(Y,факт.) ,

как

выборочный

аналог

дисперсии

Y

X

– для D(

Y )= D(X ,факт.) .

соответственно σ€X2

X

Y

σ€

и σ€

Это

означает,

что

X

Y

–

средние

квадратичные

Y

X

отклонения

значений

условных

средних

yx

и

xy

j

от средних

i

значений y и x соответственно.

σ€2

ånx

(yx

- y )2

σ€

2

åny j (xy j

- x )2

=

i

i

;

=

,

n

n

Y

X

X Y

где n – объем выборки, nx

– кратность значений

xi

в признаке X,

i

ny j

– кратность значений y j

признака Y.

Выборочным корреляционным отношением Y к X называется отношение межгруппового среднего квадратичного отклонения к общему среднему квадратичному отклонению признака Y:

		σ€			X	.
η€	=			Y			(5)
Y X			σ€Y

Выборочным корреляционным отношением X к Y будет

		σ€			Y	,
η€	=			X			(6)
X Y			σ€X

где в выражениях (5) и (6) σ€Y – среднее квадратичное отклонение значений y j от y , σ€X – среднее квадратичное отклонение xi от x .

Приведем без доказательства свойства выборочного корреляционного отношения (η€=η€Y X или η€=η€X Y ):

1)Для корреляционного отношения справедливо неравенство

0 £η€£1.

2)Когда η€= 0 , то признак Y с признаком X корреляционной зависимостью не связан.

3)Когда η€=1, то признак Y связан с признаком X

функциональной зависимостью.

4) Выборочное корреляционное отношение не меньше модуля выборочного коэффициента корреляции η€³ r€XY .

488

5) Когда выборочное корреляционное отношение равно модулю выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная

линейная корреляционная зависимость. Иначе, если η€= r€XY , то точки (x1; y1), (x2 ; y2 ), ..., (xn ; yn ) лежат на выборочной прямой регрессии.

Пример 2. Оценить силу связи параболической регрессии согласно условию примера 1.

Решение. Требуется найти η€Y X и η€X Y . По формулам (5), (6) и,

с учетом того, что yx

и

xy

j

даны в табл.

1,

находим y,

x, σ€

,

i

Y

X

σ€

, σ€Y и σ€X :

X Y

y =

åny j y j

=

7285

= 72,85;

x =

ånxi xi

=

378

= 3,78;

n

100

n

100

___2

=

åny j

y

2j

= 6681,75;

___2

=

ånxi xi2

= 15,84;

y

n

x

n

(yx

− y )2

σ

2

=

ånx

=

i

i

Y

X

n

20(25 − 72,85)2 + 31(47,1− 72,85)2 + 49(108,67 − 72,85)2

=

= 1292,18;

___

100

σ€

= 35,95;

σ€2

= y2

− (y)2 =1374,62;

σ€

= 37,07.

Y X

Y

Y

Согласно формуле (5), имеем: η€

=

35,95

= 0,97.

Y X

37,07

Аналогично находим σ€

и σ€X :

X Y

σ€

2

=

åny j (xy j

− x )2

=

X Y

n

=

20(2 − 3,78)2 + 31(3,06 − 3,78)2 + 49(4,96 − 3,78)2

=1,504;

100

___

1,226

σ€

=1,226; σ€2

= x2 − (x)2 =1,551; σ€

=1,245;

η€

=

= 0,98.

X Y

1,245

X

X

X Y

489

Поскольку корреляционные отношения η€Y X и η€X Y близки

к единице, то можно сказать, что криволинейная зависимость между близка к функциональной. □

В заключение напомним, что некоррелированность и независимость равносильны лишь при условии нормального распределения системы (X ,Y ) . В общем случае некоррелированные

случайные величины могут быть связаны нелинейной зависимостью

(см. 10.10.30).

490

Задания для самостоятельной работы

1.Система случайных величин (X ,Y ) равномерно распределена в

параллелограмме с вершинами	æ	2;1±	1 ö	и	æ	4;2	±	1	ö	. Найти
	ç		÷		ç			4	÷
	è		4 ø		è				ø

корреляционное отношение между X и Y.

2. Система случайных величин (X ,Y ) имеет следующую таблицу распределения:

X	– 1	0	1
Y
0	0,2	0,1	0,1
3	0,1	0,4	0,1

Найти корреляционное отношение между случайными величинами

X и Y.

3. Используя опытные данные, записать выборочное уравнение прямой регрессии:

а) X – скорость движения автомобиля; Y – длина его тормозного пути:

		xi			1			0		2	0		5		8		4		9
		(км/час
		)
		yi			,0			,6		,9	,2		,0		,2		,5		,6
		(м)
б) X – температура; Y – коэффициент трения в подшипнике:
		x		6			7		8		0		9	1		1		1
		i		0			0		0					00		10		20
		(ºС)
		y		0			0		0				0	0		0		0
			,0148			,0124			,0102		,0085		,0071			,0059		,0051
		i

4.Найти оценки параметров ρY X и b линейной регрессии по выборке

(9; 6), (10; 4), (12; 7), (5; 3). Пройдет ли прямая регрессии через точку (x; y )?

5.Дана корреляционная таблица для величин X и Y, где X – срок службы колеса вагона в годах, а Y – усредненное значение износа по толщине обода в миллиметрах:

Y

0

2

7

12

17

22

27

32

39

491

X
0	3	6	0	0	0	0	0	0	0
1	25	108	44	8	2	0	0	0	0
2	3	50	60	21	5	5	0	0	0
3	1	11	33	32	13	2	3	1	0
4	0	5	5	13	13	7	2	0	0
5	0	0	1	2	12	6	3	2	1
6	0	1	0	1	0	0	2	1	1
7	0	0	1	1	0	0	0	1	0

Целые числа, приведенные в таблице, являются кратностями значений, соответствующих случайной точке (X ,Y ) .

Определить выборочное уравнение прямой регрессии Y на X

и выборочный коэффициент корреляции r€XY .

6.На химическом производстве по результатам 17 наблюдений величины Y – выхода продуктов (кг/час) и величины X – температуры реакции (ºС) рассчитан выборочный коэффициент корреляции r€XY = 0,992 . Можно ли с вероятностью ошибки 0,05 принять гипотезу о зависимости выхода продуктов Y от температуры реакции X, считая совместное распределение этих величин нормальным?

7. Найти выборочное уравнение регрессии									y = ax2 + bx + c и
выборочное		корреляционное			отношение			η€Y X		по данным,
приведенным в корреляционной таблице:
	xi	0	1	2		3	4			ny j
	y j
	0	18	1	1		0	0			20
	3	1	20	0		0	0			21
	5	3	5	10		2	0			20
	10			7		12				19
	17						20			20
	nx	22	26	18		14	20		n = 100
	i

8. По данным задания 7 найти выборочный коэффициент корреляции и при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю при

конкурирующей гипотезе H1 : rXY ¹ 0 .

492