Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Tom_2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

3.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4925 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Вводим замену переменных

æ x ö

ξ ö

ç ÷

= T ç

÷ =

è y ø

èη ø

т.е.

x =

(ξ +η),

y =

Отсюда

ξ =

(x - y), η =

1	ö
		÷	æ	ξ ö

2					,
2	÷		ç	÷	,
1	÷		èη ø
		÷

2
2	ø

12 (-ξ +η) .

1	(x + y).	(10)

2

Преобразуем производные в уравнении (9) к новым переменным ξ и η . С учетом равенства (10) имеем:

¶u

¶ξ

¶u

¶η

¶u 1

;

¶x

¶ξ ¶x

¶η

¶x

¶ξ 2

¶η 2

¶u

¶ξ

¶u

¶η

¶u

¶y

¶ξ

¶y

¶η

¶y

¶ξ

¶η

2 ø

Другими словами,

¶u ö

= T

¶ξ

¶x ÷

÷ .

(11)

¶u ÷

¶y ø

¶η ø

Выражать

¶2u

через

новые

переменные ξ и η

¶x

¶y2

¶x¶y

не нужно. Это связано с тем, что при переходе к ним по формуле

æ x ö

ξ ö

квадратичная форма (4) уравнения (3) всегда приводится

ç ÷

= T ç

è y ø

èη ø

к каноническому виду.

¶u

Таким образом, заменив

по формуле (11), будем иметь

¶x

¶y

æ ¶u ö

æ 1

öæ ¶u ö

ì ¶u

æ ¶u ¶u ö

÷ç

¶x

¶ξ

¶η

= ç

÷ç

¶u

÷ç

¶u ÷

¶u

1 æ

¶u

¶y

÷ç

¶η

¶y

ç -

¶ξ

¶η

÷.

2 øè

2 è

244

Уравнение (9) будет иметь вид:

¶2u

+ 3

¶2u

= -

¶u

¶ξ 2

¶η2

¶η

С помощью подстановки ξ = ξ1 , η =

η1

последнее уравнение

¶2u

¶u

приводится к каноническому виду

= -

. □

¶ξ12

¶η12

3 ¶η1

Для того, чтобы привести уравнение (3) к каноническому виду применяют способ нелинейной замены переменных с помощью характеристик. Суть этого способа заключается в следующем. Составляется дифференциальное уравнение

a	(dy)2 - 2a dxdy + a	22	(dx)2	= 0 ,	(12)
11	12	22

так называемое уравнение характеристик, которое распадается на два уравнения

			æ			1	ö
dy	=	1	ç a12	+ (a122	- a11a22 )2		÷	,	(13)
dx	=	a	ç a12	+ (a122	- a11a22 )2		÷	,	(13)
dx		a	ç				÷
		11	è				ø
			æ			1	ö
dy	=	1	ç a12	- (a122	- a11a22 )2		÷ .		(14)
dx	=	a	ç a12	- (a122	- a11a22 )2		÷ .		(14)
dx		a	ç				÷
		11	è				ø

Затем необходимо найти общие интегралы уравнений (13), (14). Интегральные кривые уравнения (12) или, что то же самое, уравнений

(13), (14), называют характеристиками уравнения (3).

Для уравнения гиперболического типа уравнение характеристик имеет два интеграла: ϕ(x, y) = C1 , ψ (x, y) = C2 , т.е. существуют два

семейства действительных характеристик. С помощью замены переменных ξ = ϕ(x, y) , η =ψ (x, y) дифференциальное уравнение (3)

приводится					к			каноническому	уравнению	вида
	¶2u	æ	ξ,η,	¶u		¶u ö				ξ = α + β ,
		= F ç			,		÷	, которое с помощью замены
	¶ξ¶η	= F ç		¶ξ	,		÷	, которое с помощью замены
	¶ξ¶η	è		¶ξ		¶η ø

η = α − β приведется к виду	¶2u	-	¶2u	= F	æ	α,β ,	¶u	,	¶u	ö .
					ç
	¶α 2		¶β 2	1					÷
					è		¶α ¶β ø

Для уравнения параболического типа оба семейства характеристик совпадают, т.е. уравнение характеристик дает лишь один интеграл ϕ(x, y) = C . В этом случае нужно произвести замену

переменных ξ = ϕ(x, y) , η =ψ (x, y) , где ψ (x, y) – некоторая функция,

для которой	¶ξ	×	¶η	-	¶ξ	×	¶η	¹ 0 . После такой замены уравнение
	¶x		¶y		¶y		¶x

приводится к каноническому виду.

245

Для уравнения эллиптического вида интегралы уравнения характеристик имеют вид ϕ(x, y) ± iψ (x, y) = C1,2 , где ϕ(x, y) и ψ (x, y)

– действительные функции. С помощью

подстановки

ξ = ϕ(x, y) ,

η =ψ (x, y) уравнение (3) приводится к каноническому виду.

Пример 5. Привести к каноническому виду дифференциальное

уравнение

¶2u

+ 2

¶2u

- 3

¶2u

+ 2

¶u

= 0 .

¶x2

¶x¶y

¶y

¶x

¶y

Решение. В данном случае

a11 = 1,

a12 = 1,

a22 = -3. Так как

- a a

= 4 > 0 ,

то

данное

уравнение

является

уравнением

типа.

Составим

уравнение

характеристик:

гиперболического

(dy)2 - 2dxdy - 3(dx)2 = 0 . Оно распадается на два:

= 3 ,

= -1.

y - 3x = C1 ,

y + x = C2 .

Интегрируя их, соответственно получаем:

Вводим

новые

переменные

по

формулам

ξ = y − 3x ,

η = x + y .

Вычислив производные ¶u

= -3

¶u

, найдем:

¶x

¶ξ

¶η

¶y

¶ξ ¶η

¶2u

= -3

¶u ö

¶ξ

¶u ö

¶η

¶ æ

¶u ö ¶ξ

¶ æ

¶u ö

¶η

¶x2

¶x

¶η

¶ξ

¶x

¶ξ

¶x

¶ξ è

¶ξ ø

è ¶η

¶η è

¶η ø

= 9

¶2u

- 6

¶2u

Аналогично

¶ξ

¶ξ¶η

¶η

¶2u

= -3

¶2u

;

¶x¶y

¶ξ 2

¶ξ¶η

¶η2

¶2u

+ 2

¶2u

¶y2

¶ξ

¶ξ¶η

¶η2

Подставив в исходное уравнение найденные значения

производных, получим

¶2u

1 ¶u

= 0 . □

¶ξ¶η

¶η

Пример 6. Привести к каноническому виду уравнение

¶2u

sin

x - 2ysin x

¶2u

+ y

2 ¶2u

= 0 .

¶x2

¶x¶y

¶y2

246

Решение.

Здесь

= sin2

x ,

= -y sin x , a

= y2 . Так как

- a a

= y2 sin2

x - y2 sin2 x = 0 ,

то данное

уравнение –

параболического типа.

Уравнение характеристик имеет вид:

sin2 x(dy)2 + 2y sin xdxdy + y2 (dx)2 = 0

или

(sin xdy + ydx)2 = 0 .

Разделяя в уравнении sin xdy + ydx = 0

переменные и интегрируя, имеем

y × tg

= C .

= 0;

+ ln

= ln

;

sin x

Произведем замену переменных: ξ = y × tg

, η = y

(η -произвольно

выбранная функция), получим

¶u

¶u ¶ξ

¶u ¶η

1 ¶u

ysec

2 x

;

¶x

¶ξ ¶x

¶η ¶x

2 ¶ξ

¶u

¶u ¶ξ

¶u ¶η

¶u

;

¶y

¶ξ ¶y

¶η ¶y

¶η

¶ξ

= 1

¶ξ +

u ¶η

+ 1

¶u

÷ ysec2

y sec2

¶x

¶ξ

¶x ¶ξ¶η ¶x

2 2 ¶ξ

2 2

1 ¶2u

sec

4 x

¶u

sec

2 x

;

4 ¶ξ 2

¶ξ

¶2u

¶2u ¶ξ

¶2u ¶η ö

¶2u ¶ξ

¶2u ¶η

÷ tg

¶y

¶ξ

¶y

¶ξ¶η ¶y

2 ¶η¶ξ ¶y

¶η

¶y

¶2u

+ 2

¶2u

;

¶ξ

¶ξ¶η

¶η2

¶ξ +

¶η

+ 1

¶u

÷ y sec2

sec2

¶x¶y 2

¶ξ

¶y ¶ξ¶η ¶y

2 2 ¶ξ

¶u

÷ y sec2

sec2

¶ξ

¶ξ¶η

2 2 ¶ξ

Подставляя в исходное данное дифференциальное уравнение выражения для вторых производных, имеем

247

1 ¶2u

sec

sin

x +

1 ¶u

ysec

sin

x -

4 ¶ξ 2

2 ¶ξ

¶u

-ç

÷ y2 sec2

sin x -

ysec2

sin x +

¶ξ

¶ξ¶η ø

+ y2 ç

tg2

+ 2

= 0.

¶ξ

¶ξ¶η 2 ¶η

Очевидно,

что члены,

содержащие

¶2u

взаимно

¶ξ 2

¶ξ¶η

уничтожаются, и уравнение принимает вид

1 ¶u

ysec

sin

+ y

¶u

ysec

2 x

sin x = 0 ,

2 ¶ξ

¶η2

¶ξ

или

¶2u

¶u

sin x .

¶η2

¶ξ

2tg

2ξη

Так

как

sin x =

то

sin x =

2 x

ξ 2 +η2

1+ tg

Окончательно получаем

¶2u

2ξ

¶u

□

¶η2

ξ 2 +η2 ¶ξ

Пример 7. Привести к каноническому виду уравнение

¶2u

- 2

¶2u

= 0 .

¶x2

¶x¶y

¶y2

Решение. Здесь a

= 1,

= -1, a

= 2 ,

- a

= -1 < 0 ,

т.е. имеем уравнение эллиптического вида.

Уравнение характеристик запишется в виде:

(dy)2 + 2dxdy + 2(dx)2 = 0 , или y¢2 + 2y¢ + 2 = 0 .

Отсюда y′ = -1± i

получаем

два

семейства

мнимых

характеристик:

y + x - ix = C1

y + x + ix = C2 .

Производя замену

переменных ξ = y + x , η = x , имеем

¶u

¶u ¶ξ

¶u ¶η

¶u

;

¶x

¶η ¶x

¶ξ

¶ξ ¶x

¶η

¶u

¶u ¶ξ

¶u ¶η

¶u

;

¶y

¶η ¶y

¶ξ

¶ξ ¶y

248

¶2u

¶2u ¶ξ

¶2u ¶η ö

¶2u ¶ξ

¶2u ¶η

= ç

+ ç

¶x

¶ξ

¶x

¶ξ¶η ¶x ø

¶η¶ξ ¶x

¶η

¶x

¶2u

+ 2

¶2u

;

¶ξ

¶ξ¶η

¶η2

÷ =

¶2u

¶2u ¶ξ

¶2u ¶η

¶2u

;

¶x¶y

¶ξ 2 ¶x

¶ξ¶η ¶x

¶ξ

¶ξ¶η

¶2u

¶2u ¶ξ

¶2u ¶η

¶2u

¶y2

¶ξ 2 ¶y

¶ξ¶η ¶y

¶ξ

Подставив найденные выражения в рассматриваемое

дифференциальное уравнение, получим

¶2u

+ 2

¶2u

- 2

¶2u

+ 2

¶2u

= 0 ,

¶ξ 2

¶ξ¶η

¶η2

¶ξ 2

¶ξ¶η

¶ξ 2

т.е.

¶2u

= 0 .

□

¶ξ 2

¶η2

Пример 8. Найти решение уравнения

+ 2(1

- y

)

¶2u

¶u

¶u ö

= 0 ,

¶x2

¶x¶y

¶y

1+ y2

¶x

¶y ø

удовлетворяющее начальным условиям u(x,0) = ϕ

(x) ,

¶u(x,0) = ϕ (x) ,

¶y

где ϕ0 (x), ϕ1(x) – заданные функции.

Решение. Приведем данное уравнение к каноническому виду.

Здесь a11 = 4y2 , a12 = 1- y2 , a22 = -1, a122 - a11 ×a22 =1- 2y2 + y4 + 4y2 =

= (1+ y2 )2 > 0 , т.е. уравнение всюду гиперболического типа. Уравнение характеристик имеет вид:

4y2 (dy)2 - 2(1- y2 )dxdy - (dx)2 = 0

или

1- y

ö2

(1+ y

)

(dx)2 = 0 .

ç2ydy -

dx÷

Из последнего уравнения получим

1- y

1+ y

öæ

1- y

1+ y

2 ö

ç2ydy -

dx -

dx÷ç

2ydy -

dx +

dx÷

= 0

÷ç

øè

249

или

ç2ydy -

dx÷

(2ydy + ydx) = 0.

Отсюда: если 2y2dy - dx = 0 , тогда x -

y3 = C ,

если 2dy + dx = 0 , то x + 2y = C2.

Произведя замену переменных ξ = x + 2y, η = x -

2 y3 , имеем

¶2u

¶u

= 2

¶u

2 ¶u

¶x

¶ξ

¶η

¶y

¶ξ

¶η

¶x2

¶ξ

¶ξ¶η

¶η2

¶2u

+ 2(1- y

)

¶2u

- 2y

¶x¶y

¶ξ 2

¶ξ¶η

¶η2

¶2u

= 4

¶2u

- 8y

2 ¶2u

+ 4y

¶2u

- 4y

¶u

¶y2

¶ξ 2

¶ξ¶η

¶η2

¶η

Подставляя в данное дифференциальное уравнение полученные выражения для производных, имеем

(4y

+ 4 - 4y

¶2u

(8y

+ 4 - 4y

)

¶2u

¶ξ

¶ξ¶η

+(4y2 - 4y2 + 4y4 - 4y4 )

¶u

¶η

1+ y

2 ÷

¶ξ

4y -

4y3

¶u

+ç

= 0

1+ y

¶η

или (16y

+ 4

- 4y

)

¶2u

= 0 ,

т.е.

¶2u

= 0.

¶ξ¶η

Так как общее решение приведенного

уравнения имеет вид

u(ξ,η) = ϕ(ξ ) +ψ (η) (см. пример 2),

то общее решение исходного

уравнения запишется

u(x, y) = ϕ(x +

2y) +ψ

ç x -

÷.

¶u(x, y)

Вычислим

¶y

= 2ϕ¢(x + 2y) - 2y2ψ ¢ç x -

3 ÷.

Из начальных условий ϕ(x) +ψ (x) = ϕ0 (x) ,

2ϕ′(x) = ϕ1(x)

находим

250

1 x

ϕ (x) =

ϕ1(x);

ϕ(x) =

òϕ1(z)dz +ϕ(x0 )

x ϕ (z)dz.

ψ (x) = ϕ (x) -ϕ(x ) -

Итак, вид функций ϕ и ψ определен. Следовательно,

решение

данной задачи имеет вид

u(x, y) = ϕ(x ) +

x+2 yϕ (z)dz + ϕ

æ x -

-ϕ(x ) +

ϕ (z)dz

2 ò

x−

или

3 y

x+2 y ϕ (z)dz. □

u(x, y) = ϕ

æ x -

ö +

ò2

x−

30. Постановка задач для уравнений математической физики и их корректность. Дифференциальные уравнения в частных производных, как и обыкновенные дифференциальные уравнения, имеют, как правило, бесчисленное множество решений, которые зависят от некоторых произвольных функций (примеры 1–3 подтверждают это).

В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых общее решение выражается через вполне определенные функции, а неизвестными являются только параметры, в случае уравнений в частных производных вид функций, через которые выражается их решение, не конкретизирован (с помощью одних только уравнений эти функции найти нельзя). Таким образом, класс функций, являющихся решением уравнения в частных производных, гораздо шире.

Для того, чтобы из бесчисленного множества решений дифференциального уравнения выделить частное решение, описывающее конкретный физический процесс, необходимо задать некоторые дополнительные условия. Обычно эти условия следуют из физической постановки задачи и физического смысла искомой функции. Чаще всего такими дополнительными условиями являются начальные условия (если искомая функция зависит от времени) и граничные (или краевые) условия.

251

Начальные условия задают значение функции и определенного числа ее производных в начальный момент времени t = 0 .

Различают три основных типа краевых задач математической физики.

1. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются начальные условия; область G, где происходит процесс, описываемый дифференциальным уравнением,

есть пространство n ; граничные условия отсутствуют.

2.Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе S области G; начальные условия отсутствуют.

3.Смешанная задача для уравнений гиперболического и параболического типов: задаются и начальные, и граничные условия,

G ¹ n .

В постановке задач математической физики содержатся функции, входящие в начальные и граничные условия. Ясно, что решения таких задач зависят от этих функций. Начальные и граничные условия на практике являются результатом некоторых измерений, поэтому неизбежны погрешности в их определении. Эти погрешности влияют на погрешности решений, и не всегда последние оказываются достаточно малыми, т.е. малые ошибки в начальных и граничных условиях могут повлечь за собой большую ошибку в решении.

Различают корректно и некорректно поставленные задачи математической физики.

Задача математической физики называется корректно поставленной по Адамару, если: решение задачи существует; задача имеет единственное решение; решение задачи непрерывно зависит от исходных данных.

Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из перечисленных условий, называются некорректно поставленными.

Пример	9 (пример Адамара).			Показать,	что	задача Коши
нахождения решения		u(x, y)	эллиптического типа			¶2u	+	¶2u	= 0 ,
нахождения решения		u(x, y)	эллиптического типа			¶x2	+	¶y2	= 0 ,
						¶x2		¶y2
удовлетворяющего		начальным		условиям		u(x,0) = f (x) ,
¶u(x,0) = F(x) ,	−∞ < x < +∞ ,		где f (x)	и F(x) –	заданные функции,
¶y

поставлена некорректно.

252

Решение. Если положить			f (x) º 0 , F (x) = 1 sin ax , то можно
			1		1	a
проверить, что решением задачи будет функция						a
проверить, что решением задачи будет функция
u (x, y) =	1	sin ax ×		1	(eay - e-ay ) .
u (x, y) =		sin ax ×			(eay - e-ay ) .
1	a2		2
	a2		2
Если же считать, что	f2 (x) º 0 ,				F2 (x) º 0 , то решением задачи

будет функция u2 (x, y) º 0 .

Оценивая отклонения начальных данных и соответствующих им

решений, получаем:

sup

f (x) - f

(x)

= 0;

sup

F (x) - F (x)

;

u (x, y) - u

(x, y)

sin ax ×

(eay - e-ay )

(eay - e-ay ).

sup

= sup

x,y³0

2a2

Из полученных трех равенств видно, что при достаточно больших a абсолютные величины отклонений начальных условий будут сколь угодно малы, в то время, как абсолютная величина отклонений соответствующих решений может быть сколь угодно большой. Значит, задача не обладает свойствами устойчивости, а следовательно, не является корректно поставленной. □

§ 2. Вывод основных уравнений математической физики

10. Уравнение колебания струны. Постановка задачи. Струна длиной l натянута с силой T0 и находится в прямолинейном

положении равновесия. В момент времени t = 0 точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Вывести уравнение малых поперечных колебаний струны при t > 0 , если концы струны

а) закреплены жестко; б) свободны, т.е. могут свободно перемещаться по прямым,

параллельным направлению отклонения u;

в) закреплены упруго, т.е. каждый конец испытывает со стороны заделки сопротивление, пропорциональное отклонению и направленное пропорционально ему;

г) двигаются в поперечном направлении по заданным законам. Сопротивлением среды и действием силы тяжести пренебречь.

Решение. Пусть ось Ox совпадает с направлением струны в положении равновесия. Под струной понимается тонкая нить, которая не сопротивляется изгибу, не связанному с изменением ее длины. Это

253

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 4925 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.2016218.62 Кб35TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
18.02.2016107.52 Кб12TEST-Kontrolnaya_po_istorii (1).doc
#
10.11.20196.55 Mб3Tezisy_chast_1._Avtomatizacija_i_mekhanizacija....docx
#
06.09.2019169.47 Кб5Thatcherism.doc
#
18.07.201945.06 Кб1The Baltic Sea Basin .doc
#
18.02.20163.2 Mб59Tom_2.pdf
#
28.09.2019184.55 Кб2Trebovania.rtf
#
18.02.2016176.64 Кб9trebovania_k_oformleniyu.doc
#
18.02.2016284.67 Кб3Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
28.09.2019248.83 Кб4Trebovania_k_oformleniyu_otchyota_o_praktike.doc
#
18.02.2016248.32 Кб3trebovania_k_oformleniyu_poyasnitelnoy_zapiski.doc