127838-229237

DL = l(n0 - ne )= BlE 2 .

(22.25)

Величина B = kl называется постоянной Керра. Для наблюде-

ния эффекта Керра используется ячейка Керра, которая представляет собой сосуд с жидкостью с прозрачными плоскими стенками. В жидкость помещаются пластины плоского конденсатора, к которым подается высокое напряжение (рис. 2.41).

Рис. 2.41

Оптический эффект Доплера – изменение частоты колеба-

ний или длины волны, воспринимаемой наблюдателем, при движении источника (излучающего атома) и наблюдателя друг относительно друга. Выделяют поперечный и продольный эффекты Доплера.

Продольный эффект Доплера наблюдается при относительном сближении или удалении источника или приемника. В этом случае частота волны, регистрируемая наблюдателем, будет равна:

	n = n0		1 m uz	c		,	(22.26)
			1 ± uz	c
	где n0 – частота излучения неподвижного источника,						c – ско-

рость света в вакууме, где υz – проекция скорости движения ис-

точника или наблюдателя на направление, соединяющее источник и наблюдателя (рис. 2.42).

Если скорость движения источника (приемника) значительно меньше скорости света в вакууме ( υ << c ), то выражение (22.26) будет иметь вид:

n » n0	æ	u		ö	(22.27)
	ç1m		z ÷ .
	è	c		ø

231

Рис. 2.42

Знак «+» соответствует движению частицы к наблюдателю, а «−» – от наблюдателя.

Поперечный эффект Доплера наблюдается при движении источника света в направлении, перпендикулярном линии, соединяющей источник с наблюдателем. Частота ν , регистрируемая наблюдателем, будет определяться выражением:

ν = ν0		,
	1 − (υ y c)2		(22.28)

где υy – проекция скорости движения источника или наблюдателя

на направление, перпендикулярное линии, соединяющей источник и наблюдателя (рис. 2.42).

Необходимо отметить, что поперечный эффект Доплера значительно менее выражен, чем продольный.

232

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. В упругой среде распространяется плоская поперечная волна, имеющая частоту 1,2 ×104 Гц и амплитуду колебаний 1,2 мм. Определить длину волны, фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии 30 см от источника в момент времени 0,15 мс, считая начальную фазу равной нулю. Определить разность фаз колебаний двух точек, расположенных на расстоянии 40 см и 42 см от источника. Плотность среды принять равной 2700 кг/м3, модуль поперечной упругости (модуль сдвига) 2,5 ×1010 Н/м2.

Дано:

n =1,2 ×104 Гц,

y0 =1,2 мм =1,2 ×10−3 м, x = 30 см = 0,30 м,

t = 0,15 мс = 1,5×10−4 с, x1 = 40 см = 0,40 м,

x2 = 42 см = 0,42 м, ρ = 2700 кг/м3,

G = 2,5 ×1010 Н/м2.

Найти: λ , Φ , y , υ , a , ΔΦ .

Решение. В соответствии с [14.5] длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за время, равное периоду:

λ = υT .

(1)

Скорость распространения волн, являющихся по условию задачи поперечными, определим из условия [14.17]:

u =		G		.	(2)
		r

Поскольку период и частота связаны между собой соотношением [14.3] T = 1/ ν , то на основании выражений (1) и (2) имеем:

	l =	1		G .		(3)
		n
				r
						233

Подставляя числовые значения, получим:

	l =			1		2,5×1010	= 0,25 м.
		1,2		×104		2700
	Для определения других характеристик волны запишем ее
уравнение [14.4]:
	y = y0 cos(wt - kx),							(4)
где	y0 – амплитуда, ω – циклическая частота, k							– волновое чис-
ло,	x – расстояние от источника до данной точки.

Как известно, в уравнении волны выражение, стоящее под

знаком косинуса, является фазой волны	Φ [14.2] и определяя-
ется как
Φ = ωt − kx .	(5)

С учетом выражений, связывающих циклическую и линейную частоты [14.3], а также, используя определение волнового числа [14.4], перепишем (5) в виде:

F = 2p(nt - xl).

Поставив числовые значения, получим:

F = 2p(1,2×104 ×1,5×10−4 - 0,300,25)=1,2p .

Величину смещения определим, подставив в уравнение (4) значения фазы и амплитуды:

y =1,2×10−3 cos(1,2p)= -9,7 ×10−4 м = −0,97 мм.

Скорость движения частиц среды равна первой производной смещения по времени:

u =	dy	.
	dt
Дифференцируя (4), имеем:
u = - y0wsin(wt - kx)= -2pny0 sin[2p(nt - x l)].										(6)
Выполняя вычисления, получим:
é			æ	×104	×1,5	×10−4	-	0,30	öù	=
u = -2 ×3,14×1,2 ×104 ×1,2 ×10−3 sinê2pç1,2								0,25	÷ú
ë			è						øû

= 53,2 м/с.

Ускорение является первой производной по времени от скорости, поэтому, дифференцируя (6), получим:

234

a = -y0 w2 cos(wt - kx)= -(2pn)2 y0 cos(nt - xl).

После подстановки числовых данных получим:

2	é	æ	×104	×1,5 ×10−4	-	0,30	öù	=
a = -1,2 ×10−3 (2 ×3,14 ×1,2 ×104 )	cosê2pç1,2					0,25	÷ú
	ë	è					øû

= 6,2×106 м/с2.

Для определения разности фаз колебаний для точек с координатами x1 и x2 воспользуемся соотношением (5):

DF = k(x2 - x1 )= 2lp (x2 - x1 ).

Подставив заданные в условии задачи значения, получим:

DF = 02,25p (0,42 - 0,40) = 0,16p .

Ответ: λ = 25 см, Φ = 1,2π , y = −0,97 мм, υ = 53,2 м/с, ΔΦ = 0,16π , a = 6,2×106 м/с2.

Пример 2. Определить время, через которое повысится температура стакана воды массой 0,50 кг на 1,0 °С при условии поглощения всей энергии падающей звуковой волны, имеющей уровень громкости 70 дБ. Поглощающая площадь стакана 50 см2. Теплоемкостью стакана, а также теплообменом стакана с окружающей средой пренебречь. Минимальная интенсивность звука, вос-

принимаемая органом слуха человека, I0 =1,0 ×10−12 Вт/м2.

Дано:

L = 70 дБ,

S = 50 см2 = 5,0×10−3 м2, T = 1,0 °С,

m = 0,50 кг.

Найти: t .

Решение. Уровень громкости, выраженный в децибелах (дБ), определяется выражением [15.1]:

235

	L =10 lg				I		,	(1)
					I0
где I		– интенсивность данного звука, I0						– минимальная интен-
сивность звука, воспринимаемая органом слуха человека.
Из соотношения (1) получим:
	I	æ			L ö
		ç				÷	или I = I010(0,1L) .
			=10è	10 ø				(2)
	I0

Подставляя числовые значения в (2), имеем:

I =1,0 ×10-12 ×100,1×70 =1,0 ×10-5 Вт/м2.

Определим энергию, поглощенную стаканом воды площадью S за время t :

W = ISt .	(3)
Энергия, необходимая для того, чтобы температура заданного
количества воды увеличилась на	Т =1,0 °С, будет определяться
выражением:
Q = cm T ,	(4)

где c – удельная теплоемкость воды, m – ее масса.

Поскольку вся энергия звуковой волны идет на нагревание воды (W = Q ), то из соотношений (3) и (4) легко определить вре-

мя, необходимое для нагревания воды:

t = W = cmDT . IS IS

Подставив числовые значения, получим:

	t =		4200 × 0,50 ×1,0	= 4,2 ×1010 с.
		1,0 ×10-5 × 50 ×10-4

Ответ: t = 4,2 ×1010 с.

Пример 3. Резонатор, настроенный на частоту 15 кГц, приближается к источнику звука, излучающему акустическую волну длиной 2,5 см. С какой скоростью должен двигаться резонатор, чтобы в нем возникли колебания? Температура воздуха 27 °С.

236

Дано:

nрез = 15 кГц = 1,5×104 Гц, l0 = 2,5 см = 2,5×10−2 м, t = 27 °С, T = 300 К.

Найти: uп .

Решение. Как известно, вследствие эффекта Доплера, при относительном движении источника и приемника звука частота n′ , регистрируемая приемником, будет отличаться от частоты источника n0 . Количественно эта зависимость выражается соотношени-

ем [15.6]:

	n¢ = n0	u + uп	,	(1)
		u - u
		и
	где υ – скорость звука в среде, uи			и uп – скорости источника и

приемника соответственно. В условиях задачи источник неподви-

жен ( uи

= 0 ), поэтому выражение (1) запишется в виде:

u + u

п

æ

u

ö

n¢ = n0

= n0 ç1 +

п

÷ .

(2)

u

è

u ø

Скорость звука в газе зависит от температуры и молярной

массы газа [15.5]:

u =

g

RT

,

(3)

M

где R – универсальная газовая постоянная, T – абсолютная температура, M – молярная масса, γ – показатель адиабаты, равный

отношению молярной теплоемкости при постоянном давлении к молярной теплоемкости при постоянном объеме:

g = CMp . (4)

CMV

Учитывая, что n0 = ul0 , а также соотношение (3), запишем (2) в виде:

1

æ

ö

RT

M

n¢ =

g

ç1

+ u

п

÷ .

(5)

l0

M

ç

÷

è

gRT ø

237

Условием возникновения колебаний в резонаторе является равенство частоты излучения источника, приходящего к резонатору, и его собственной частоты:

n′ = n рез .

(6)

На основании равенств (5) и (6) получим:

1

æ

ö

RT

M

n

рез

=

g

ç1

+ u

п

÷ .

l0

M

ç

÷

è

gRT ø

Откуда искомая скорость резонатора выразится так:

un = l0n рез - g		RT .		(7)
		М

Принимая для воздуха γ =1,4 (считаем его двухатомным газом), молярную массу M = 0,029 кг/моль и подставляя числовые значе-

ния других величин, получим:
un = 2,5×10−2 ×1,5×104 - 1,4		8,31×300	= 28 м/с.
		2,9×10−2

Ответ: un = 28 м/с.

Пример 4. Определить частоту колебаний столба воздуха в трубе длиной 1,12 м при температуре воздуха 27 °С. Рассмотреть случаи, когда труба открыта с обоих концов; труба закрыта с обоих концов; один конец трубы закрыт, а второй – открыт.

Дано:

l = 1,12 м,

t = 27 °С; T = 300 К.

Найти: ν .

Решение. В трубе (или стержне) происходит отражение колебаний на концах. При этом значительную амплитуду будут иметь только те колебания, для которых в трубе образуются стоячие волны.

Если труба с обоих концов будет закрыта, то на концах будут образовываться узлы; если же труба открыта с обоих концов, то на

238

концах будут образовываться пучности. В обоих случаях условие образования стоячих волн будет иметь вид:

	l =	тλ	,		(1)
		2
			2l
	откуда λ =			,	(2)
			m

где m – натуральное число.

Для определения частоты колебаний воспользуемся соотношением между частотой, скоростью распространения и длиной

волны [14.3], [14.5]:
ν =	υ .	(3)
	λ

Будем считать воздух в трубе идеальным газом. Тогда, подставляя в соотношение (3) выражение для скорости звука в идеальном газе [15.5], получим:

ν1	=	m		γ	RT		.	(4)
		2l
					M

Максимальную амплитуду будут иметь колебания так называемой собственной частоты (основной тон), получающиеся при т = 1. С учетом этого, соотношение (4) примет вид:

ν01 =	1		γ	RT		.	(5)
	2l
				M

Если один конец трубы закрыт, а второй – открыт, то со стороны закрытого конца будет образовываться узел, а со второго конца, открытого, будет образовываться пучность. Условие образования стоячих волн будет иметь вид [14.14]:

l = (2т −1)λ4 . (6)

Проделав аналогичные предыдущему случаю выкладки, получим выражение для частоты:

ν2	=	2т − 1			γ	RT		.	(7)
		4l
						M
Положив т =			1, определим основную частоту колебаний:
						239

ν02 =	1		γ	RT		.	(8)
	4l
				M

Принимая для воздуха показатель адиабаты равным 1,4 (считаем его двухатомным газом), а молярную массу воздуха 0,029 кг/моль, подставляя числовые значения других величин в (5) и (8), получим:

	n01	=		1		1,4 ×8,31× 300			= 155 Гц,
			2	×1,12			0,029
				1
	n02	=					1,4 ×8,31× 300		= 77,4 Гц.
			4	×1,12	0,029
	Ответ: ν01 =155 Гц, ν02								= 77,4 Гц.

Пример 5. Точечный изотропный источник, имеющий силу света J 0 , расположен на высоте H над серединой круглого стола

радиуса R . Определить: а) среднюю освещенность стола; б) во сколько раз средняя освещенность стола меньше максимальной; в) высоту, на которой следует расположить источник, чтобы освещенность на краю стола была максимальной; г) кривую светораспределения*, которую должен иметь источник, чтобы освещенность стола была равномерной.

Дано:

J 0 , H , R .

Найти: E , Emax E , h , J (ϕ′).

Решение. Средняя освещенность E равна отношению све-

тового потока, падающего на некоторую площадку, к величине площади этой площадки [17.2]:

* Кривая светораспределения – это построенная в полярных координатах зависимость силы света источника от угла J (ϕ), образуемого направле-

нием, соответствующим максимальной силе света J 0 , и данным направлением.

240