17.Биномиальный закон распределения и его числовые характеристики (вывод формулы).

Пусть проводится n независимых испытаний. В результате каждого из которых возможны 2 исхода: А – успех с вероятностью p, или - неуспех с вероятностьюq = 1-p. Тогда вероятность числа m успех

Дискретная случайная величина X, которая может принимать только целые неотрицательные значения с вероятностями P (X=m)= , где p>0, q>0, m 0,n называется распределенной по биноминальному закону с параметром p.

Мат.ожидание M(X)= np

Дисперсия

D(x)=

- среднее квадратическое отклонение

18.Закон Пуассона и его числовые характеристики (вывод формулы). Простейший поток событий.

Когда требуется спрогнозировать ожидаемую очередь и разумно сбалансировать число и производительность точек обслуживания и время ожидания в очереди. Пуассоновским называют закон распределения дискретной случайной величины Х числа появления некоторого события в n-независимых опытах если вероятность того, что событие появится ровно m раз определяется по формуле.

a=np

n-число проведенных опытов

р-вероятность появления события в каждом опыте

В теории массового обслуживания параметр пуассоновского распределения определяется по формуле

а=λt , где λ - интенсивность потока сообщений t-время

Необходимо отметить, что пуассоновское распределение является предельным случаем биномиального, когда испытаний стремится к бесконечности, а вероятность появления события в каждом опыте стремится к 0. Пуассоновское распределение является единичным распределением для которого такие характеристики как мат. Ожидание и дисперсия совпадают и они равны параметру этого закона распределения а.

19.Геометрическое и гипергеометрическое распределения и их характеристики (вывод формулы).1. Геометрическое распределение. Пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А равна р       (О < р < 1) и, следовательно, вероятность его не появления q = 1 - р. Испытания заканчиваются, как только появится событие А (т.е. количество испытаний неограниченно). Таким образом, если событие А появилось в k-м испытании, то в предшествующих k—1 испытаниях оно не появлялось. Обозначим через X дискретную случайную величину -  число испытаний, которые нужно провести до первого появления события А. Очевидно, возможными значениями Х являются натуральные числа: 1, 2, 3… Пусть в первых k—1 испытаниях событие А не наступило, а в k-м испытании появилось. Вероятность этого «сложного события», по теореме умножения вероятностей независимых событий,

Полагая k=1, 2, ... в формуле , получим геометрическую прогрессию с первым членом р и знаменателем q

По этой причине распределение  называют геометрическим. Легко убедиться, что ряд  сходится и сумма его равна единице. Действительно, сумма ряда есть сумма членов бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем меньшим единицы, тогда сумма его :

Замечание: если количество испытаний ограничено каким- либо натуральным числом k , то последнее значение вероятности в ряде распределения будет равно q^k-1 , означающее, что в предыдущих k-1 испытаниях событие А не появилось. 2.Гипергеометрическое распределение.Многие задачи комбинаторики могут быть сведены к следующей модели. В генеральной совокупности из n элементов имеется элементов красного цвета ичерного. Случайным образом выбирается группа изr элементов. Найдем вероятность того, что так выбранная группа будет содержать ровноk красных элементов. Здесь k может быть любым целым числом между нулем и наименьшим из чисел иr.

Для того, чтобы найти , заметим, что выбранная группа состоит изk красных и r-k черных элементов. Красные элементы могут быть выбраны различными способами, а черныеспособами. Так как любой выбор красных элементов может комбинироваться с любым выбором черных, имеем… (1).Определенный таким образом набор вероятностей называетсягипергеометрическим распределением. Используя формулу можно переписать (1) в виде

…(2).

Замечание. Вероятности определены только дляk, не превосходящим r или , но, так как приb>a , из формулы (1) и (2) следует, что= 0, если либоk>, либоk>r. Следовательно, определения (1) и (2) могут использоваться для всех при условии, что соотношение = 0 интерпретируется как невозможность такого выбора.

Примеры. Проверка качества. При контроле качества продукции выборочной проверке подвергается партия из n изделий. Дефектные изделия в партии играют роль красных элементов. Их число , конечно, не известно. Производится выборка объемаr и определяется число k дефектных изделий в ней. Тогда формула (1) позволяет нам сделать выводы относительно истинного значения .

20.Функция распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. График функции распределения НСВ.Функцией распределения называют функцию Р (х), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х, т. е.

F(х)=Р(Х<х).Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральный закон распределения». свойства: