Глава 4. Средние величины и показатели вариации

1. Методические рекомендации и решения типовых задач

Средняя величина – это обобщающая характеристика варьирующего признака единиц качественно однородной совокупности.

Средние величины используются в планировании, анализе выполнения планов, расчетах экономической эффективности общественного производства и т.д. Сравнивая изменение средних уровней во времени, статистика тем самым характеризует важнейшие закономерности развития явлений.

В статистике применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя хронологическая средняя квадратическая и средняя кубическая.

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая. Она рассчитывается в двух формах – простой и взвешенной.

Средняя арифметическая простая называется так потому, что в основе ее вычисления лежит простое суммирование. Чтобы определить ее, все показатели варьирующего признака суммируются и делятся на их количество.

Формула средней арифметической простой:

, где х – варианты; n – число вариант.

Формула средней арифметической взвешенной:

, где х – варианты; f – веса.

Эта средняя называется взвешенной потому, что для ее определения значения признака, по которым эта средняя исчисляется, не просто складываются, а предварительно умножаются на частоту (взвешиваются).

Применяется эта средняя в том случае, если показатели в совокупности встречаются несколько раз (т.е. повторяются).

Иногда среднюю арифметическую величину исчисляют по данным интервального вариационного ряда (когда варианты представлены в виде интервалов «от – до»). Для исчисления средней нужно прежде всего получить середину интервала каждой группы, а затем расчет производится по формуле арифметической взвешенной.

Средняя гармоническая взвешенная рассчитывается по формуле:

, где х – варианты; W – объем признака.

Средняя гармоническая применяется в тех случаях, когда отсутствует показатель частоты. Она представляет собой величину обратную средней арифметической из обратных значений признака

Модой называют то значение признака, которое наиболее часто встречается в данной совокупности.

Для интервальных вариационных рядов мода определяется по формуле:

М₀ = х_мо + i_мо * , где

х_мо - нижняя граница интервала, содержащего моду;

i_мо - величина модального интервала;

f_{мо -} частота модального интервала;

f_{мо-1 -} частота интервала, предшествующего модальному;

f_{мо+1 –} частота интервала, следующего за модальным.

Медианой называют значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности.

М_е = х_ме + i_ме * , где

х_ме - нижняя граница интервала, содержащего медиану;

i_ме - величина медианного интервала;

∑f _- сумма частот;

S _{ме-1 -} сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_{ме –} частота медианного интервала.

Изменение значений признака в пределах изучаемой совокупности называется вариацией.

Для характеристики величины колебания признака в статистике вычисляют следующие показатели вариации:

• размах вариации;

• среднее линейное отклонение;

• средний квадрат отклонения (дисперсия);

• среднее квадратическое отклонение;

• коэффициент вариации.

Абсолютные и относительные показатели вариации, характеризующие изменчивость значений признака, позволяют оценить степень однородности совокупности, типичности и устойчивости средней.

Размах вариации ( R) – наиболее простой измеритель вариации и представляет собой разность между наибольшим и наименьшим значениями признака

R = x_max – x_min, где

x_max – наибольшее значение признака;

x_{min –} наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение (ι) – это средняя арифметическая из абсолютных отклонений индивидуальных значений признака от общей средней.

(простое); (взвешенное);

Средний квадрат отклонения, или дисперсия – представляет собой среднюю арифметическую из квадратов отклонений вариант от общей средней

= (простая); = ( взвешенная)

Среднее квадратическое отклонение – квадратный корень из дисперсии

; ;

Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратическое отклонение являются абсолютными показателями вариации

Коэффициент вариации является относительным показателем вариации, выражается в %. Он представляет собой отношение среднего квардратического отклонения к средней величине признака:

V=

Чем больше коэффициент вариации, тем менее однородна совокупность и тем менее типична средняя величина, тем менее она характеризует изучаемое явление.

Пример:

По трем предприятиям, вырабатывающим один вид изделий, известны следующие данные за отчетный месяц:

Предприятие	Число рабочих	Выработка на одного рабочего, шт.	Себестоимость единицы продукции, тыс. руб.
1	120	500	30,0
2	140	780	25,0
3	150	630	22,0

Определите: 1) среднюю выработку одного рабочего; 2) среднюю себестоимость единицы продукции; 3)среднюю численность рабочих на одно предприятие.

Решение

1. Определим среднюю выработку одного рабочего:

2. Определим среднюю себестоимость единицы продукции:

3. Определим среднее число рабочих:

Пример:

Имеются данные о распределении 100 ткачих по дневной выработке:

Дневная выработка, м	До 80	80-100	100-120	120 и выше
Число ткачих	20	40	30	10

На основании данных вычислите:

1. среднюю дневную выработку 1 ткачихи;

2. моду и медиану

Решение

Дневная выработка, м	Число ткачих f	Средина интервала (х)	xf	Накопленные частоты
До 80	20	70	1400	20
80-100	40	90	3600	60
100-120	30	110	3300	90
120 и выше	10	130	1300	100
Итого:	100	-	9600

1. Средняя дневная выработка одной ткачихи определяется по формуле средней арифметической взвешенной

2. Модальное значение выработки вычислим по формуле

М₀ = х_мо + i_мо *

_{3.Значение медианы вычислим по формуле:}

М_е = х_ме + i_ме *

Пример:

По обувной фабрике имеются следующие данные:

№ цеха	1 квартал		2 квартал
	Производственный брак,% (х)	Фактический выпуск продукции, млн. руб. (f)	Производственный брак,% (x)	Стоимость бракованной продукции, млн. руб. (W)
1	1,4	400	1,2	6,0
2	0,8	600	0,7	6,2
3	1,2	1000	1,0	7,1

Определите процент брака в среднем по фабрике за 1 и 2 кварталы

Сделайте вывод.

Решение:

Средний процент брака за 1 квартал определяется по формуле:

Средний процент брака за 2 квартал определяется по формуле:

Вывод: удельный вес бракованной продукции во втором квартале по сравнению с первым уменьшился на 0,2%.

Пример:

Известны данные о распределении 20 заводов отрасли по стоимости основных средств:

Группы заводов по размеру основных средств, млрд. руб.	Число заводов
4-6	2
6-8	3
8-10	5
10-12	6
12-14	4
Итого:	20

Определите:

1) среднюю стоимость основных средств на один завод по отрасли;

2) размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Сделайте вывод.

Решение

Стоимость основных средств (млрд. руб.)	Число заводов	Середина интервала (х)	xf		II*f	()^2	()^2*f
4-6	2	5	10	-4,7	9,4	22,09	44,18
6-8	3	7	21	-2,7	8,1	7,29	21,87
8-10	5	9	45	-0,7	3,5	0,49	2,45
10-12	6	11	66	1,3	7,8	1,69	10,14
12-14	4	13	52	3,3	13,2	10,89	43,56
Итого	20	-	194		42		122,2

1. Определим среднюю стоимость основных средств

млрд. руб.

2. Вычислим размах вариации

R = x_max – x_min,= 14 - 4 = 10 млрд. руб.

Определим среднее линейное отклонение

млрд. руб.

Дисперсию признака вычислим по следующей формуле

=

Среднее квадратическое отклонение

млрд. руб.

Коэффициент вариации

V=

_{Вывод: средняя стоимость основных средств по отрасли составляет 9,7 млрд. руб. Совокупность однородна, т.к. коэффициент вариации 25,4%, т.е. вариация признака умеренная.}