© БГЭУ Лекция № 6 Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 8

Пример Найти: 1) среднее значение издержек K (x) = (2x + 3), выраженных в условных денежных единицах, если объем продукции x меняется от 0 до 4 единиц;

2)

объем продукции x0 , при котором издержки принимают

среднее значение.

4

1)

K (x0 ) =

1 ∫

(2x + 3)dx = 1 (x2

+ 3x)

= 1 (16 +12) = 7.

4

0

4 − 0 0

4

4

2)

Решим уравнение K (x0 ) = 7. Отсюда 2x0 + 3 = 7,

x0 = 2.

Значит, при объеме продукции

x0 = 2

издержки принимают

среднее значение, которое составляет 7 денежных единиц.

Несобственные интегралы

До сих пор мы рассматривали определенные интегралы

b

∫ f (x)dx при выполнении двух условий: а) промежуток [a, b]

a

конечен, б) функция f (x) ограничена на [a, b]. Ниже дается обобщение введенного ранее понятия определенного интеграла для упомянутых случаев.

	Несобственные интегралы по бесконечному промежутку.
		Определение.	Пусть функция y = f (x) определена на [a,+∞								)
	и на любом конечном отрезке [a, B],					a < B, B < +∞ функция
	y = f (x) интегрируема, т.е.								B
					существует интеграл				∫ f (x)dx.
	Несобственным			интегралом 1 рода					a
							(по	бесконечному
	промежутку)			называется	предел		B		который
						lim ∫ f (x)dx,
				+∞		B→+∞ a
	обозначается как ∫ f (x)dx.
				a
	Таким образом,				+∞		lim	B
					∫ f (x)dx =			∫ f (x)dx
					a		B→+∞ a

© БГЭУ Лекция № 6

Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 9

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае –

расходящимся.

Аналогично определяются несобственные интегралы

b		b	и	+∞	f (x)dx = lim	B
∫ f (x)dx =		lim ∫ f (x)dx ,		∫		∫ f (x)dx
−∞		A→−∞ A		−∞	A→−∞ A
					B→+∞
причем	в	последнем равенстве			A и B стремятся к
бесконечности независимо друг от друга.
С	геометрической		точки		зрения	сходящийся
несобственный интеграл			первого рода означает, что площадь
бесконечной фигуры есть конечное число

+∞

1

Пример. Исследовать на сходимость интеграл ∫

dx.

1 + x2

−∞

+∞

1

dx =

lim

B

1

dx =

lim

(arctgx)

B =

∫

∫

+ x2

+ x2

−∞1

B→+∞

A1

B→+∞

A

A→−∞

A→−∞

= lim

(arctgB − arctgA) = π

− (−π ) =π .

B→+∞

2

2

A→−∞

+∞

Пример. Исследовать на сходимость интеграл

∫cos xdx.

0

+∞

B

B

= lim (sin B

− sin 0) =

∫cos xdx =

lim ∫cos xdx = lim (sin x)

0

B→+∞ 0

B→+∞

0

B→+∞

lim sin B ― этот предел не существует.

B→+∞

© БГЭУ Лекция № 6 Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 10

Пример Вычислить объем тела, образованного							вращением
около			оси	0x	фигуры,	ограниченной	линиями
y =	1		x =1,	y = 0
	x,
			y
1

1

x

Vx =π

+∞

1

2

dx =π

B 1

dx =π ( lim ( −

1

B

∫ (

)

lim

∫

)

) =

x

x2

x

1

1

B→+∞

1

B→+∞

=π (− lim 1 + 1) = π .

B→+∞ B 1

В курсе теории вероятностей исключительную роль

играет несобственный интеграл +∫∞ e−x2 dx, называемый

−∞

интегралом Эйлера-Пуассона. Доказано, что этот интеграл

	сходится и	его значение равно		π .	В	физике часто
	используется	интеграл Дирихле	+∞ sin x		dx =	π	.	Интересно
			∫
				x		2
			−∞

отметить, что соответствующие неопределенные интегралы

не выражаются в элементарных функциях.

© БГЭУ Лекция № 6

Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 11

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Определение	Пусть функция f (x)		определена	на конечном
промежутке	[a;b)	и интегрируема на любом отрезке [a,b −ε],
ε > 0, [a,b − a] [a;b) .		Несобственным	интегралом	второго рода

называется предел	lim	b−ε
		∫ f (x)dx, если он существует.
	ε→+0	a
Таким образом,		b	f (x) = lim	b−ε
		∫		∫ f (x)dx .
		a	ε→+0	a

Если функция f (x) определена на конечном промежутке (a; b], интегрируема на любом отрезке [a +η, b], η > 0, [a +η,b] (a,b), то по определению,

b	f (x) = lim	b
∫		∫ f (x)dx .
a	η→+0 a+η

Наконец, если функция определена на [a,c) и (c,b ], то

b	f (x)dx = lim	c−ε	f (x)dx + lim	b
∫		∫		∫ f (x)dx
a	ε→+0	a	η→+0 c+η

Если оба пределсуществуют, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость интеграл	1	dx	.
	∫	x
	0
Так при x → +0 подынтегральная функция неограниченная,то

dx

1

1

1

1

1

1

−

x

2

∫

= lim

∫ x

2 dx = lim

= 2 lim

x

= 2(1

− lim η ) =

x

1

η

η

0

η→+0

η

η→+0

η→+0

η→+0

2

= 2(1 − 0) = 2.

Ответ: данный интеграл сходится и его значение равно 2.

© БГЭУ Лекция № 6 Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 12

			2		dx
		Пример.
			Исследовать на сходимость ∫				.
				x2	− 6x + 5
			0

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [0,2], за

исключением

точки x =1,

в которой

знаменатель дроби

обращается в нуль. Значит,

2

dx

1

dx

2

dx

∫

= ∫

+ ∫

.

− 6x + 5

− 6x + 5

x2

− 6x + 5

0 x2

0 x2

1

Если оба интеграла в правой части сходятся, то сходится и данный интеграл; если хотя бы один из них расходится, то и данный интеграл будет расходящимся:

	1		dx		= lim	1−ε	dx	= lim	1−ε	dx	=
	∫					∫			∫
		x2	− 6x + 5				x2 − 6x + 9 − 4			(x −3)2 − 4
	0				ε→+0	0		ε→+0	0

= lim

1

ln

x −3 −2

1 − ε

=

1

lim (ln

4 +ε

− ln 5) =

2

x −3 + 2

2

ε

ε→+0

0

ε→+0

= 1

lim (ln

4 +ε

) = ∞.

2

ε→+0

5ε

Значит, данный интеграл расходится.