© БГЭУ Лекция № 12

Знакопеременные ряды

проф. Дымков М.П.

1

				∞
	Определение1.	Ряд	a1 + a2 +... + an +... =	∑an	(1)
				n=1

называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные действительные числа.

Сходимость и сумма ряда (1) определяются как и ранее.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин

								∞
членов ряда:		a1	+	a2	+... +	an	+... =	∑| an |	(2)
								n=1

Определение 2. Если сходится ряд (2), то ряд (1)

называется абсолютно сходящимся.

Если ряд (1) сходится, а (2) – расходится, то ряд (1)

называется условно сходящимся.

Замечание. Для рядов с произвольным распределением знаков их членов, мы приведем только один важный признак общий признак сходимости.

Теорема 1 (Коши)(достаточный признак ). Если знакопеременный ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, сходится, то сходится и данный ряд.

Или короче: Если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то он сходится.

© БГЭУ Лекция № 12 Знакопеременные ряды проф. Дымков М.П. 2

Док-во.

Пусть

=| an | +an ≥ 0

и

=| an | −an ≥ 0

an

bn

Ряды

∞

и

∞

— знакоположительны

и так

∑an

∑bn

n=1

n=1

как

< 2an ,

< 2an (!), то по признаку сравнения они

bn

an

an =

−

сходятся. Но

an

bn

и

по свойству

суммы

2

∞

сходящихся рядов получаем, что ряд ∑an сходиться

n=1

Пример. Исследовать cos13α + cos232α +... cosn3nα +...

Решение. Данный ряд является знакопеременным. Составим ряд из абсолютных величин данного ряда:

		cosα					+					cos 2α				... +			cos nα						+… .
		3									2		3						n	3
		1
Члены этого ряда не превосходят соответствующих
членов ряда			1	+		1			+... +					1			+..., который сходится, как
			3			3								3
		1			2									n					∞		1
																										, где p >1.
обобщенный гармонический ряд ∑
																						p

n =1n

Значит, по теореме Коши, исходный ряд сходится.

Контрпример(достаточное условие Коши не является необходимым!) Исследовать ряд

11 − 21 + 13 −... + (−1)n+1 1n +...

Решение. Данный ряд сходится (см. ниже признак Лейбница), однако ряд из абсолютных величин (это — гармонический ряд !) является расходящимся

© БГЭУ Лекция № 12

Знакопеременные ряды

проф. Дымков М.П.

3

Замечание. Разграничение на абсолютную и условную сходимости рядов весьма существенно. Оказывается, что некоторые свойства конечных сумм переносятся только на абсолютно сходящиеся ряды; условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Некоторые свойства абсолютно сходящихся рядов:

1) Любая перестановка членов абсолютно сходящегося ряда приводит к абсолютно сходящемуся ряду с той же суммой; перестановкой же членов условно сходящегося ряда можно получить любую наперед заданную сумму (теорема Римана).

Пример. Рассмотрим условно сходящийся ряд

1− 21 + 13 − 14 + 15 − 16 + 17 − 18... +(−1)n+1 1n +... (А)

Переставим его члены так, чтобы после каждого положительного стояли два отрицательных:

1− 21 − 14 + 13 − 16 − 18 + 15 −101 −......

Сложим каждый положительный член с одним

	отрицательным:			1	− 1	+	1	− 1... +...
			2				6
					4			8
	Получили	в итоге	ряд		(А), все члены которого
	умножены	на число	1 .		По		свойству сходящихся
			2

рядов (умножение на постоянную!) полученный ряд также сходится и его сумма равна 12 S . Таким

образом, перестановка членов ряда уменьшила сумму условно сходящегося ряда в два раза.

© БГЭУ Лекция № 12	Знакопеременные ряды		проф. Дымков М.П.		4
2) Рассмотрим два ряда		∞	∞
		∑an и	∑bn . Произведением
		n=1	n=1
рядов называется	ряд	из всевозможных		попарных
произведений, взятых в		некотором порядке		∞	.
				∑apk bq
				k =1	k

Если ряд из произведений сходится, то его сумма не

∞	∞
зависит от порядка слагаемых. Если ряды ∑an и	∑bn
n=1	n=1

сходятся абсолютно, то их произведение также сходится абсолютно к сумме, равной произведению сумм указанных рядов S = S1 S2

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.

Определение 3.

Если числовой ряд имеет вид

a

− a

2

+ a

−...(−1)n−1+… , a

n

> 0

(3)

1

3

или

+... + (−1)n a

> 0 ,

(3’)

− a

+ a

2

− a

n

+...,

a

n

1

3

то он называется знакочередующимся.

Укажем простой достаточный признак сходимости

знакочередующегося ряда.

© БГЭУ Лекция № 12 Знакопеременные ряды проф. Дымков М.П. 5

Теорема

(признак Лейбница).

Если для

знакочередующегося ряда

a

− a

2

+ a −...(−1)n−1+… , a

n

> 0

1

3

выполняются условия:

1)

a

> a

2

> ... > a

n

> ...;

2)

lim a

n

= 0,

1

n→∞

то ряд сходится и его сумма не превосходит первого

члена ряда

, а остаток ряда rn

не превышает

0 < S < a1

по абсолютной величине первого отбрасываемого члена: rn < an+1.

(Ряды, удовлетворяющие условиям теоремы, иногда называют рядами Лейбница)

Док-во. Запишем частичную сумму S2m четного числа членов ряда в виде

S2m = (a1 −a2 ) +(a3 −a4 ) +... +(a2m−1 −a2m ) (В) Так как (a1 −a2 ) > 0,....,(a2m−1 −a2m ) > 0, то S2m > 0

для любого m. Кроме того, эта частичная сумма монотонно возрастает с ростом m. С другой стороны частичную сумму (В) можно переписать в виде

S2m = −a1 −(a2 −a3 ) −(a4 −a5 ) −... −a2m )

Очевидно, сумма S2m < a1 и убывает с ростом m. Объединяя два неравенства, получим 0 < S2m < a1

Итак, имеем последовательность, которая монотонно возрастает и ограничена сверху она сходится

lim S2m = S .

Так как S2m+1 = S2m + a2m+1, то для частичных сумм с нечетным числом членов ряда имеем

			2)
lim	S2m+1 =	lim S2m + lim a2m+1 =		S + 0 = S .
m→∞		m→∞	m→∞

© БГЭУ Лекция № 12 Знакопеременные ряды проф. Дымков М.П. 6

Замечание.

Для ряда вида

− a

+ a

2

− a

+... + (−1)n a

n

+...,

a

n

> 0 ,

1

3

оценка суммы ряда имеет вид

.

− a1 < S < 0

(Это легко видеть, если данный ряд умножить на (-1) ). Поэтому иногда эту оценку записывают в общем виде как | S |< a1

Итак, ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству | S |< a1.

Оценим теперь остаток ряда, который запишем в виде

r	= (−1)n (a	n+1	−a	n+2	+ a	n+3	+......)
n

Это опять знакочередующийся ряд. Значит для него верны доказанные выше оценки.

Значит | rn |< an+1. Терема доказана.

			Исследовать ряд	1−	1	+	1	−	1	+...
	Пример
					2		3		4

Решение. Данный ряд – знакочередующийся. Члены его

убывают по абсолютной величине : 1 > 12 > ... > 1n > ....

и предел общего члена lim 1 = 0.

n→∞ n

Следовательно, этот ряд сходится и его сумма S ≤1.

Однако ряд, составленный из абсолютных величин 1+ 12 + 13 −+ 14 +... (гармонический ряд)

является расходящимся, т.е. исходный ряд является

условно (неабсолютно) сходящимся.

© БГЭУ Лекция № 12

Знакопеременные ряды

проф. Дымков М.П.

7

Для математического анализа в первую очередь нужны

функциональные ряды, т.е. ряды, членами которых

являются функции. Наиболее важным для приложений

является специальный класс функциональных рядов ―

степенные ряды.

Понятие функционального ряда и его области сходимости.

	Определение 4			Ряд вида
					∞		(4)
			f1 ( x ) +	f 2 ( x ) + f n ( x ) + ... =	∑ f n ( x ),
					n =1
где fn (x),			n =1,2,..., n, функции, определенные на
множестве X , называется функциональным рядом.
Сумма			Sn (x) = f1(x) + f2 (x) +... + fn (x)				называется
n −частичной суммой ряда, а ряд
			rn (x) = fn+1(x) + fn+2 (x) +...
называется остатком ряда (4).
При		каждом		конкретном	значении		x0 X

функциональный ряд (4) превращается в обычный числовой ряд

f1 ( x0 ) + f 2 ( x0 ) + f n ( x0 ) + ... =	∞
	∑ f n ( x0 ),
	n =1

который может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.

© БГЭУ Лекция № 12 Знакопеременные ряды проф. Дымков М.П. 8

Определение 5. Совокупность D всех значений x X ,

при которых функциональный ряд (4) сходится, называется областью сходимости этого ряда, а

функция S(x) = lim Sn (x), x D называется суммой

n→∞

ряда

Можно показать, что для сходящегося ряда

справедливо равенство
S(x) = S	n	(x) + r (x), причем	lim	r	(x) = 0, x X .
		n	n→∞	n

Определение. Функциональный ряд (4) называется

абсолютно сходящимся, если	сходится ряд,
	∞
составленный из абсолютных величин	∑		fn (x)		.
	n=1

Степенные ряды. Теорема Абеля.

Определение.

Ряд вида

∞

a

+ a x + a

x2

+... + a

xn

+... =

xn

(5)

0

2

n

∑a

n

1

n=0

или в более общей форме

∞

a

+ a

(x − x

) +... + a

(x − x

)n

(x − x

)n

(5а)

0

0

n

0

+... = ∑a

n

0

1

n=

0

называется степенным рядом.

С

помощью

замены

y = x − x0

исследование

сходи-

мости ряда (5а) можно свести к исследованию ряда (5).

Ясно, что при x = 0 ( x = x0 ) степенной ряд сходится.

© БГЭУ Лекция № 12 Знакопеременные ряды проф. Дымков М.П. 9

При изучении области сходимости степенных рядов важную роль играет следующая теорема.

Теорема (Абеля). 1) Если степенной ряд ∑∞ an xn

n=0

сходится при x = x0 , то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству x < x0 .

∞		xn	расходится при x = x , то он
2) Если же ряд ∑a	n
n=0			1
расходится при всех x ,			удовлетворяющих условию

x > x1 .

Док-во (основано на свойствах последовательностей).

1)Так

как

числовой

ряд

∞

сходится,

то

∑an x0 n

∞

n=0

lim

∑an x0n = 0.Это означает, что числовая последова-

n→∞ n=0

{an x0n }

тельность

ограничена!

Т.е.

M > 0,

что

| an xn |< M . Тогда перепишем степенной ряд в виде

a

+ a x

x

+ a

x

2

x2

+... +.. = ∑a

n

x

n (

x

)n .

0 x0

0 x02

0

1

2

0

x0

Рассмотрим ряд из абсолютных величин

| a

| + | a x

x

| + | a

x

2

x2

|

+... +..

≤

0

1

0 x0

2

0

x0

2

≤ M + M

|

x

| +M |

x

|

2

+.... = M (1+ q + q

2

+...)

x0

x0

© БГЭУ Лекция № 12	Знакопеременные ряды		проф. Дымков М.П. 10
Это геометрическая прогрессия с q =		x	<1—сходится.
		x0

Из признака сравнения следует сходимость абсолютная сходимость степенного ряда.

2)2-ая часть теоремы. От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором

x* ,| x* |> x0 . Но тогда согласно 1-ой части

теоремы, степенной ряд сходится для x,| x |> x*. В том числе должен сходится и при x = x0 , так как

| x0 |<| x* |. Но это противоречит предположению теоремы. Теорема доказана.

Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного

ряда

(5)

найдется такое неотрицательное число R ,

называемое

радиусом сходимости

,

что

при

всех

x,

x

< R

ряд сходится, а при всех

x,

x

> R ,

ряд

расходится.

Интервал (−R; R) называется интервалом сходимости

степенного ряда (5).

© БГЭУ Лекция № 12

Знакопеременные ряды

проф. Дымков М.П.

11

Заметим, что для x (−R, R) ряд сходится абсолютно, а в точках x = ±R степенной ряд может сходиться или расходиться.

Как найти радиус сходимости R ? Для этого можно воспользоваться, например,

признаками Даламбера или Коши.

Теорема. Если существует lim an+1 = l , то

n→∞ an

R =

1

= lim

an

l

an+1

n→∞

∞

Док-во.

Рассмотрим ряд ∑| an xn |. Применим к нему

признак Даламбера

n=0

lim

a

n+1

xn+1

=

lim

a

n+1

| x |=l | x |.

an xn

an

n→∞

n→∞

Отсюда следует, что если

l | x |<1

, т,е. если | x |<

1

, то

l

ряд

сходится

абсолютно.

Если

l | x |>1, то

ряд

расходится. Теорема доказана.

Аналогично может быть доказана

	Теорема	.	Если существует lim n			| an | = l , то
			R =	1	n→∞	1
					= lim
				l	n→∞ n	an

© БГЭУ Лекция № 12 Знакопеременные ряды проф. Дымков М.П. 12

Заметим, что если l = 0, для любого | x |,то R = ∞.

Если l = ∞, для любого | x |≠ 0,			то R = 0 . Если R = 0, то
ряд (5) сходится в единственной				точке x0 = 0;			если
R = ∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.
Итак, интервал сходимости ряда				∞		(−R; R).
				∑an xn есть
			n=0
Для нахождения области сходимости ряда (5)							надо
отдельно исследовать сходимость				в точках x = −R и
x = R;	в зависимости		от	результатов			этого
исследования областью сходимости ряда (5)						может
быть один из промежутков:					.
		[− R; R], (− R; R), [− R; R),(− R; R]

∞ 3n xn

Пример. Найти область сходимости ряда ∑ .

n=0 n +1

. Здесь an =

3n

, an+1 =

3n+1

Решение

.

n +

1

n + 2

Находим

R = lim

3n (n + 2)

=

1

lim

n + 2

=

1

;

(n +1)3n+1

3

n→∞

3 n→∞ n +1

Значит, ряд сходится на интервале (−13;13). При x =

∞	3	n	(	1	)	n	∞	1			1		1
				3										+...,
получим ряд ∑							= ∑			=1 +		+
		n +1									2
n=0							n=0 n +1					3

который расходится (как гармонический ряд).

При x = −13 получим ряд

3

n

(−

1

)

n

(−1)

n

1

1

∞

∞

3

−... .

∑

= ∑

=1 −

+

n +1

n +1

2

30

n=0

n=0

1

3