БГЭУ 2006	лекции по высшей математике для студентов I курса
	ст. преподавателя, кандидата физ.-мат. наук Поддубной О.H.
3. Если	D ≠ 0, C ≠ 0 , A = B = 0 , то Cz + D = 0 – уравнение плоскости,

параллельной плоскости Oxy . 4. z = 0 – уравнение плоскости Oxy .

Аналогично рассматриваются и другие случаи равенства нулю некоторых коэффициентов уравнения (7.2).

Пусть теперь в уравнении (7.2) все коэффициенты отличны от нуля.

Тогда, введя		обозначения:					a = − D	, b = − D	, c = − D	,	представим уравнение
							A	B	C
(7.2) в виде уравнения плоскости в отрезках:
	x	+	y	+	z	=1					(7.4)
	a		b
					c

Для того чтобы через три какие-либо точки пространства можно было провести единственную плоскость, необходимо, чтобы эти точки не лежали на

одной прямой. Рассмотрим точки М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в декартовой системе координат. Для того чтобы произвольная точка М(x, y, z)

лежала в одной плоскости с точками М1, М2, М3 необходимо, чтобы векторы M1M 2 , M1M 3 , M1M были компланарны, т.е. ( M1M 2 , M1M 3 , M1M ) = 0.

M1M ={x − x1 ; y − y1 ; z − z1}

M1M 2 ={x2 − x1 ; y2 − y1 ; z2 − z1}

M1M 3 ={x3 − x1 ; y3 − y1 ; z3 − z1}

Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

x − x1 x2 − x1 x3 − x1

y − y1 y2 − y1 y3 − y1

z − z1

z2 − z1 = 0 (7.5)

z3 − z1

Составим уравнение плоскости, проходящей через данные точки

М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) и произвольную точку М(х, у, z) параллельно вектору
aG	= (a1 , a2 , a3 ) .		JJJJG					JJJJJJG
				={x − x1; y − y1; z − z1},
	Векторы		M1M					M1M2 ={x2 − x1; y2 − y1; z2 − z1}и
вектор aG = (a1 , a2 , a3 )			должны быть компланарны, т.е. ( M1M , M1M 2 , aG ) = 0
		x − x1		y − y1	z − z1			(7.6)
		x2 − x1		y2 − y1	z2 − z1		= 0
			a1	a2	a3

Плоскость, заданную общим уравнением, можно построить по линиям ее пересечения с координатными плоскостями.

Пример 1. Построить плоскости

1.x + 2 y +3z − 6 = 0

2.x +3z −3 = 0

3.y − 2 = 0

65

БГЭУ 2006

лекции по высшей математике для студентов I курса

Решение.

ст. преподавателя, кандидата физ.-мат. наук Поддубной О.H.

z = 0

x + 2 y +3z −6 = 0 .

1.

Положим

в

уравнении

Тогда

получим

x + 2 y −6 = 0 –

уравнение прямой

в

плоскости

Oxy .

Если

y = 0 , то

x +3z −6 = 0 – уравнение прямой в плоскости Oxz .

2.

В уравнении

x +3z −3 = 0 отсутствует переменная

y , что означает, что

нормальный

вектор

nG

={1,0,3} ,

перпендикулярен

оси Oy ( nG j = 0 ).

Следовательно,

данная

плоскость

параллельна

оси

Oy .

Уравнение

x +3z −3 = 0

можно рассматривать как след данной плоскости в

плоскости Oxz .

3.

Уравнение

y − 2 = 0 изображает плоскость, параллельную плоскости Oxz

и пересекающую ось Oy в точке y = 2 .

Угол между плоскостями. Параллельность и перпендикулярность плоскостей

n2

ϕ 0 n1

Угол между двумя плоскостями в пространстве ϕ равен углу между нормалями к этим плоскостям. Такое определение позволяет в качестве угла между плоскостями рассматривать либо острый, либо тупой угол, дополняющие друг друга до π . Известно, что плоскости могут быть заданы

соотношениями:
1			JG		G		+ D = 0
			n r
2			JJG1			G	1
	JG		n r				+ D = 0,
			2				2		JJG
где	n1	(A1, B1, C1), n2								(A2, B2, C2). Угол между векторами нормали найдем из их
скалярного произведения:
				JG		JJG
cosϕ =				n	n
				JG1		JJG2		.
				n1		n2

Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле (4.6):

66