БГЭУ 2006						лекции по высшей математике для студентов I курса
						ст. преподавателя, кандидата физ.-мат. наук Поддубной О.H.
	cosϕ =		A1 A2 + B1B2 +C1C2
		A2	+ B2	+C2	A2	+ B2	+C2
	1		1	1	2	2	2

На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Если две плоскости

1 A1x + B1 y +C1z + D1 = 0 и

2 A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0

параллельны, то их нормальные векторы n1 ={A1, B1,C1} и n2 = коллинеарны, т.е. из условия коллинеарности двух векторов:

	1 || 2	A1	=	B1	= C1
		A		B
					C	2
		2	2

{A2 , B2 ,C2}

(7.7)

Равенство (7.7) представляет условие параллельности двух плоскостей 1

и 2.

Если две плоскости 1 и 2 перпендикулярны, то их нормальные векторы также перпендикулярны, т.е. из критерия ортогональности двух векторов вытекает:

1 2 A1 A2 + B1B2 + C1C2 = 0

(7.8)

Равенство (7.8) представляет условие перпендикулярности двух плоскостей 1 и 2.

Уравнение линии в пространстве

Линию L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей, каждая из которых задана соответствующим уравнением

F1 (x, y, z) = 0 и F2 (x, y, z) = 0 . Уравнением	линии в пространстве назовем
совокупность двух уравнений
F (x, y, z) = 0	(7.9)
1
F2 (x, y, z) = 0

Замечание. Не следует думать, что для нахождения уравнения линии систему (7.9) следует «решить». Этого, вообще говоря, нельзя сделать, т.к.

число уравнений системы (7.9) меньше числа неизвестных. Точный смысл,

который придается равенствам (7.9), следующий: линии L принадлежат те и

только те точки M (x, y, z) , координаты которых удовлетворяют обоим

уравнениям системы (7.9).

Уравнения прямой в пространстве

•Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пересечения двух плоскостей.

JG	G	Пусть в пространстве заданы две плоскости по формуле (7.3):
		+ D1	JJG	G	+ D2	= 0, векторы нормали имеют координаты:
n	r		= 0 и n	r
1			2

67

БГЭУ 2006					лекции по высшей математике для студентов I курса
JG	JJG				ст. преподавателя, кандидата физ.-мат. наук Поддубной О.H.
n (A1, B1, C1), n (A2, B2, C2); rG(x, y, z).
1		2
Тогда общее уравнение прямой в векторной форме:
	JG	G	+ D	= 0
n		r
	1	G	1		(7.10)
JJG			+ D	= 0
n		r
	2		2

Общие уравнения прямой в координатной форме:

A x + B y + C z + D				= 0	(7.11)
1	1	1	1
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

• Уравнение прямой в пространстве по точке и направляющему вектору.

На произвольной прямойGl возьмем две любые точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z) и направляющий вектор s = (m,n, p) прямой.

z

S M1

M0

r0 r

0

y

x
Обозначим радиус-векторы этих точек как r0 и r , очевидно, что rG- r0 = М0 М .
Т.к. векторы М0 М и sG коллинеарны, то верно соотношение М0 М =	sGt, где t –
некоторый параметр. Итого, можно записать:
rG= r0 + s t	(7.12)

Т.к. этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой,

то получили параметрическое уравнение прямой в векторном виде.

Это векторное уравнение может быть представлено в координатной форме:

x = x0 + mt
	+ nt	(7.13)
y = y0
	+ pt
z = z0

Выражая параметр t из каждого уравнения совокупности (7.13) и приравнивая его, получаем канонические уравнения прямой в пространстве:

	x − x0	=	y − y0	=	z − z0	(7.14)
	m		n		p

68