Ответ:

Решение. Так как p(x)= −34 (x − 4)2 + 34 , то отсюда видно, что при х = 4

плотность распределения достигает максимума и, следовательно, М0(Х) = 4 (можно было найти максимум методами дифференциального исчисления).

Кривая распределения симметрична относительно прямой х = 4, поэтому

М(Х) = Ме(Х) = 4.

Задачи для самостоятельного решения

8.15. Случайная величина Х имеет плотность

6 (x2 + x +1 )при0 < x ≤1, p(x)= 11

0 при x ≤ 0 ипри x >1.

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: М(Х) = 0,5909; D(Х) = 0,0781.

8.16. Случайная величина Х имеет плотность

2

2

x

р

cos х при

≤

,

π

2

p(x)=

р

0 при

x

>

.

2

Найти математическое ожидание и дисперсию Х.

Ответ: M (X )= 0; D(X )=	р2	−	1 .
	12		2

8.17. Случайная величина Х задана плотностью распределения

( ) sin 2x при x (0; р), p x = 0 при x (0; р).

Найти математическое ожидание функции Y = X 2 (не находя предварительно плотности распределения Y ).

р − 2 . 8

8.18. Плотность случайной величины Х имеет вид

( )= ae−x при x ≥ 0, p x

0 при x < 0.

92

Найти коэффициент а. Вычислить моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядков случайной величины Х.

Ответ: a =1, M 0 (X )= 0, M e (X )= ln 2, н1 = M (X )=1, D(X )= м2 =1,
н2 = 2, н3 = 6, м3 = 2.
8.19. Случайная величина Х задана плотностью распределения
0 при x ≤1,
p(x)=	6		при x >1.
		7
x

Найти начальные моменты случайной величины Х.

Ответ: н =

6

приk ≤5; не существуют при k ≥ 6.

k

6

− k

8.20. Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид

1 cos x при

− р

≤ x ≤ р,

p(x)= 2

р

2

2

р

0 при x < −

2

и при x > 2 .

Найти математическое

ожидание

и

дисперсию случайной величины

Y =sin 2X.

8

Ответ: M (Y )= 0;

D(Y )=

.

15

8.21. Случайная величина Х имеет функцию распределения

0 при x ≤ 0,

F(x)= х4 при 0 < x ≤1,

1 при x >1.

Найти математическое ожидание случайной величины Y =

1

.

X +1

Ответ: M (Y )=10

− 4ln 2.

3

93

8.22. По данным примера 8.9 (при a = 12 , b = р1 ) найти моду и медиану распределения; вероятность того, что случайная величина Х окажется в проме-

жутке				− 1	, 1	; математическое ожидание и дисперсию Х.
				2	2
		Ответ:
	−	1	< X		<	1		=	1	; M e (X )=	1	;X	моду не имеет;	M (X )= 0;	D(X )=	1	.
P		2				2			3		2					2

8.23. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид

p(x)= 12 e− x (распределение Лапласа).

Ответ: M (X )= 0; D(X )= 2.

8.24. Случайная величина Х подчинена закону Симпсона («закону равнобедренного треугольника») на участке от –а до +а (рис. 8.10). Написать выражение плотности распределения; построить график функции распределения; найти числовые характеристики случайной величины Х: M (X ), D(X ), у(X ), м3(X ). Найти вероятность попадания случайной величины Х в интервал

− a ; a .2

р(х)

0

–а

а

х

Рис. 8.10

1

x

при x (−a; a),

2

−

a

a

1

(X )= 0;

D(X )=

Ответ: P(x)= a

a

; M

; у(X )=

;

6

6

0 при

x (−a; a).

94

м3 (X )= 0;		−	a		=	7	.
	P		2	< X < a		8

8.25. Случайная величина Х подчинена закону распределения с плотностью, которая задана формулой

0 при x ≤ 0,

p(x)= 2x при 0 < x ≤1,1 при x >1.

Найти коэффициент асимметрии распределения.

Ответ: A = − 25 2 .

8.26.Найти коэффициент асимметрии и эксцесс случайной величины,

распределнной по закону Лапласа с плотностью p(x) =	1	e−		x		.
	2
Ответ: A = 0; E =3.

8.27. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (1; 4), задана квадратичной функцией F(x)= −19 x2 + 89 x − 79 . Найти моду и медиану случай-

ной величины Х.

Ответ: M 0 (x) = 2 ; M e (x) = 0,707.

8.28.Найти значения M (X ), D(X ) иσ(X ) для случайной величины Х,

функция распределения которой

0 при x ≤ 0,

F(x)= 3 x2- 1 x3 при 0 < x ≤ 2,

4 4

1 при x > 2.

Ответ: M (X ) =1; D(X ) = 0,2; σ(X ) = 0,447.

95