F(t)

1

2/3

	0,5					1,5	t
	Рис. 8.12
	То есть F(t)= 0 при t ≤ 0 ; F(t)=	2	+		t	при	t (0; 0,5); F(t)=1 при
		3		1,5

t [0,5;1,5).

Среднее время ожидания у перекрестка

M (t )= 1		0,5			2 0 = 1		2 1 t2					0,5 = 1
		0∫	tp(t)dt +											0,25 ≈ 0,083мин.
0	3				3	3		2				0	3
Дисперсия времени ожидания
D(t )= M (t2)−[M (t2)]= 1 0,5t2								1		dt − (0,083)2 ≈ 0,0208 мин2;
0			0	0		3 0∫		0,5

у(t0)≈ 0,144 мин.

Задачи для самостоятельного решения

8.31. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,1. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Полагая, что при отсчете ошибка округления распределена по равномерному закону, найти: 1) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины; 2) вероятность того, что ошибка округления: а) меньше 0,01; б) больше 0,03.

Ответ: 1) M (X )= 0,05; D(X )= 0,00083; у(X )= 0,02887. 2а) P(0 < X < 0,01)+ P(0,09 < X < 0,1)= 0,2.

2б) P(0,03 < X < 0,07)= 0,4.

100

8.32. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 4 мин. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 2 мин.

Ответ: P(2 < X < 4)= 0,5.

8.33. Минутная стрелка часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 10 с.

	< X <	1		5		=	1	.
Ответ: P 0			+ P		< X <1		3
		6	6

8.34.Случайные величины Х и Y независимы и распределены равномерно:

Х— в интервале (a;b), Y — (c;d ). Найти математическое ожидание и диспер-

сию произведения XY.

	Ответ: M	(XY )= a + b c + d ;		D(XY )=	(a 2 + ab + b2 )(c2 + cd + d 2 )	−
		2	2		9
−	(a + b)2(c + d )2 .
	16

8.35. Диаметр круга х измерен приближенно, причем 5 ≤ x ≤ 6 . Рассматривая диаметр как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (5; 6), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

Ответ: M (рR2)=	91р	;	D(рR2)=	227р	.
12			360

8.36. Ребро куба х измерено приближенно, причем 2 ≤ x ≤3 . Рассматривая длину ребра куба как случайную величину Х, распределенную равномерно в интервале (2; 3), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Ответ: M (X 3 )=16,25; D(X 3 )=30,08.

8.37. Пусть случайные величины X1и X 2 независимы и равномерно рас-

пределены на отрезке [−1;1]. Найти вероятность того, что min		x	i		>	1 .
i =1,2						2

101

Ответ: 14 .

8.38. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [− 4;1]. 1) Записать плотность распределения р(х) этой случайной величины. 2) Найти функцию распределения F(x). 3) Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

0 при x < −4,

Ответ: 1) p(x)= 0,2 при − 4 ≤ x ≤1,

0 при x >1;

		0 при x < −4,
2)	F(x)=	0,2(x + 4) при				− 4		≤ x ≤1,
		1 при x >1;
3)	M (X )= −		3	; D(X )=		25	;	у(X )=	5 3	.
					12				6
		2

8.39. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 5 мин. Найти: а) функцию распределения F(x) для этого равномерного распределения; б) вероятность

ожидания лифта более чем 3,5 мин; в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 45 секунд; г) вероятность того, что ожидание лифта будет заключено в диапазоне от 1 до 3 мин. (между 1 и 3 минутами).

0 при x ≤ 0,

Ответ: а) F(x)= x при 0 < x ≤ 5, б) 0,3; в) 0,15; г) 0,4.

5

1 при x > 5;

8.40. Мастер, осуществляющий ремонт на дому, может появиться в любое время с 10 до 18 часов. Клиент, прождав до 14 часов, отлучился на 1 час. Какова вероятность, что мастер (приход его обязателен) не застанет его дома?

Ответ: 0,25.

8.41. Владелец антикварного аукциона полагает, что предложение цены за определенную картину будет равномерно распределенной случайной величиной в интервале от 500 тыс. до 2 млн. рублей. Найти: а) плотность вероятности;

102

б) вероятность того, что картина будет продана за цену, меньшую чем 675 тыс.; в) вероятность того, что цена картины будет выше 2 млн. рублей.

0 при x ≤ 0,5,

Ответ: p(x) = 2 при 0,5 < x ≤ 2, б) 0,1167; в) 0.

3

0 при x > 2;

8.42. Очень наблюдательный, занимающийся кражей предметов искусства вор, который, вероятно, знает хорошо статистику, заметил, что частота, с которой охранники обходят музей, равномерно распрелена между 15 и 60 минутами. Пусть случайная величчина Х – время (в минутах) до появления охраны. Найти: а) вероятность того, что охранник появится в течение 35 минут после появления вора; б) вероятность того, что охрана не появится в течение 30 минут; в) вероятность того, что охрана появится между 35 и 45 минутами после прихода вора; г) функцию распределения F(x) .

0 при x ≤15,

Ответ: а) 0,4444; б) 0,6667; в) 0,3333; г) F(x) = x - 1 при 15 < x ≤ 60,45 3

1 при x > 60.

Показательный (экспоненциальный) закон распределения

Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ, если ее плотность вероятности имеет вид

	−л x	при x ≥ 0,
p(x)= лe

0 при x < 0.

Функция распределения случайной величины, распределенной по показательному закону, равна

( )= 1 − e−л x при x ≥ 0,

F x

0 при x < 0.

Кривая распределения р(х) и график функции распределения F(x) приведены на рис. 8.13.

103

λ	1

0

х

0

х

Рис. 8.13

Для случайной величины, распределенной по показательному закону

M (X )= у(X )= 1л ; D(X )= л12 .

Вероятность попадания в интервал (a;b) непрерывной случайной величины Х, распределенной по показательному закону

P(a < X <b)= e−лa − e−лb .

Замечание. Показательный закон распределения вероятностей встречается во многих задачах, связанных с простейшим потоком событий. Под потоком событий понимают последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты. Например, поток вызовов на телефонной станции, поток заявок в системе массового обслуживания и др.

Пример 8.18. Непрерывная величина Х распределена по показательному закону

( ) 0 при x < 0,

p x = 2e−2x при x ≥ 0.

Найти вероятность попадания значений величины Х в интервал (0,1; 0,7).

Решение. Поскольку л = 2, то P(0,1 < X < 0,7)= e−2 0,1 − e−2 0,7 = e−0,2 − e−1,4 =

= 0 8187 − 0 2466 = 0,5721.

Пример 8.19. Записать плотность распределения и функцию распределения показательного закона, если параметр л = 6 . Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х, распределенной по этому закону.

Решение. Так как л = 6 , то плотность распределения

104

p(x)= 0 при x < 0,
		6e−6x	при x ≥ 0.
Функция распределения имеет вид
F(x)= 0 при x < 0,
	1 − e−6x		при x ≥ 0.
Поскольку для показательного закона
D(X )=	1	; M (X )= у(X )=		1	,
	л2			л

а по условию л = 6 , то

D(X )= 612 = 361 = 0,02778; M (X )= у(X )= 16 = 0,16667 .

Пример 8.20. Установлено, что время ремонта магнитофонов есть случайная величина Х, распределенная по показательному закону. Определить вероятность того, что на ремонт магнитофона потребуется не менее 15 дней, если среднее время ремонта магнитофонов составляет 12 дней. Найти плотность вероятности, функцию распределения и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

Решение. По условию математическое ожидание M (X )= 1л =12 , откуда параметр л =121 . Тогда плотность вероятности и функция распределения имеют

вид: p(x)=121 e−121 x ; F(x)=1 − e−121 x (x ≥ 0). Искомую вероятность P(X ≥15) можно найти, интегрируя плотность вероятности, т.е.

		+∫∞		1	1		xdx ,
	P(X ≥15)= P(15 ≤ X < +∞)=				e−
						12
		15	12

но проще использовать функцию распределения

		−	15		−	15
	− e						= 0,2865 .
P(X ≥15)=1 − P(X <15)=1 − F(15)=1 − 1			12		= e	12

Среднее квадратическое отклонение у(X )= M (X )=12 дней.

105

Пример 8.21. Найти асимметрию показательного распределения.

Решение. Так как асимметрия A = м3 , а у(X )= M (X )= 1					, то найдем вна-
	у3			л
чале центральный момент третьего порядка
	м = M [X − M (X )]3	:
	3
м = M (X 3	−3X 2M (X )+ 3XM 2(X )− M 3(X ))	= M (X 3)−3M (X 2)M (X )+
3
+ 3M (X )M 2(X )− M 3(X )= M (X 3)−3M (X 2)1 + 2			1	.
			3
	л		л

Найдем M (X 2 )

M (X 2)= +∫∞x2 p(x)dx = л+∫∞x2e−л xdx .

0

0

Интегрируя дважды по частям, получим

	+∞	2	−л x		2
	л ∫x e			dx =		.
					л2
	0
	Аналогично рассчитаем
		+∞					6
	M (X 3)= л		∫x3e−л xdx =					.
			0				л3

Следовательно,

м3 = л63 −3 л22 1л + л23 = л23 .

Значит,

A =	2		1	= 2 .
	3		3
	л		л

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого F(t)=P(T <t)=1−e−λt (л > 0) определяет вероятность отказа элемента за время длительностью t. Здесь Т — длительность времени безотказной работы элемента, л — интенсивность отказов (среднее число отказов в единицу времени).

Функция надежности R(t)= e−лt определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t.

106

Пример 8.22. Испытывают три элемента, которые работают независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распре-

делена по показательному закону: для первого элемента F1(t)=1 − e−0,1t ; для второго F2 (t)=1 − e−0,2t ; для третьего элемента F3(t)=1 − e−0,3t. Найти вероятности того, что в интервале времени (0; 5) часов откажут: а) только один элемент;

б) только два элемента; в) все три элемента. Решение. а) Вероятность отказа первого элемента

P1 = F1(5)=1 − e−0,1 5 =1 − e−0,5 =1 − 0,5957 = 0,4043;

второго элемента

P2 = F2 (5)=1 − e−0,2 5 =1 − e−1 =1 − 0,3779 = 0,6321;

третьего элемента

P3 = F3 (5)=1 − e−0,3 5 =1 − e−1,5 =1 − 0,2231 = 0,7769 .

Следовательно, искомая вероятность

P = p1q2q3 + q1 p2q3 + q1q2 p3 = 0,034 + 0,084 + 0,1749 = 0,2929.

б) P = p1 p2q3 + p1q2 p3 + q1 p2 p3 = 0,057 + 0,1187 + 0,2925 = 0,4682 . в) P = p1 p2 p3 = 0,1985 .

Задачи для самостоятельного решения

8.43. Случайная величина Х распределена по показательному закону

p(x)= 0 при x < 0,
7e−7 x	при x ≥ 0.

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение и функцию распределения этой случайной величины. Найти вероятность попадания значений случайной величины Х в интервал (0,2;1,1).

	Ответ: M (X )=	1	;	D(X )=	1	;	у(X )=	1	; F(x)=1−e−7 x ;
		7			49			7

P(0,2 < X <1,1)= 4,05521 − 22081 ,3 = 0,24614 .

107

8.44. Среднее время безотказной работы прибора равно 85 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.

			1		1
	Ответ: а) p(x)=	0 при x < 0;		e−	85 x		при x ≥ 0	;
			85

			1
F(x)=	0 при x < 0;	1 − e−	85 x		при x ≥ 0	;
б) P(X ≥100)=1 − F(100)= 0,31.

8.45.Найти эксцесс показательного распределения.

Ответ: E = 6 .

8.46.Производится испытание трех элементов, работающих независимо один от другого. Длительность времени безотказной работы элементов распре-

делена по показательному закону: для первого элемента p1(t)= 0,1e−0,1t ; для второго — p2(t)= 0,2e−0,2t; для третьего элемента p3(t)= 0,3e−0,3t. Найти вероятности того, что в интервале времени (0;10) часов откажут: а) только один эле-

мент; б) только два элемента; в) хотя бы один элемент; г) все три элемента; д) не менее двух элементов.

Ответ: а) 0,069; б) 0,4172; в) 0,9975; г) 0,511; д) 0,928.

8.47. Р %-м ресурсом элемента называется такое число t, что за время t элемент не выходит из строя с вероятностью Р. Считается, что время t непрерывной работы электрической лампочки распределено по показательному закону. Найти вероятность того, что лампочка будет гореть в течение 2 лет, если ее

90 %-й ресурс составляет 6 мес.

			1
	−	−		ln 0,9	24
			6
	Ответ: P = e				= 0,6561.

8.48. Срок службы жесткого диска компьютера – случайная величина, подчиняющаяся экспоненциальному распределению со средней в 12 000 часов. Найти долю жестких дисков, срок службы которых превысит 20 000 часов.

Ответ: P(T > 20000)= 0,1882 .

108