§8.Екі түзудің арасындағы бұрыш.Екі түзудің параллельдік,перпендикулярлық шарттары.

: y=k₁x+в₁ және : y=k₂x+в₂ берілген екі түзу болсын,бұл жерде k₁=tg және k₂=tg

Осы түзулердің бұрыштық коэффиценттері.арқылы берілген түзулердің арасындағы бұрыштарды белгілейік. Суреттен = болатынын байқаймыз.

tg=tg(== , сонымен

tg= (1)

мен түзулерінің арасындағы екінші бұрыш -болатынын айта кетейік.

Екі түзудің параллельдік белгісі: = (2)

Екі түзудің перпендикулярлық белгісі: =- (3)

(2) формула өзінен өзі түсінікті.(3) формуланы қорыту үшін =- екенін байқаймыз. Бұдан =tg=tg(+)= -ctg=-

Мысал 1 мен түзулері сәйкес у=-3х+2 теңдеулерімен берілген.Осы түзулердің арасындағы бұрышты тап.

К=2, К=-3, tg==1, =

мен -нің арасындағы екінші бұрыш: =

§8. Нүктеден түзуге дейінгі арақашықтық

Жазықтықтағы берілген Мнүктесінен жалпы теңдеуі Ах+Ву+С=0 түзуіне дейінгі арақашықтық

d= теңдеулері анықталады. (1)

§9.Кеңістіктегі жазықтықтың жалпы теңдеуі

Охуz кеңістігіндегі жазықтығына перпендикуляр болатын вектор =(А,В,С) болсын және жазықтық Мнүктесі арқылы өтетін болсын. векторын (бұл векторды кейде жазықтықтың нормал векторы дейміз). Мнүктесінен бастап салайық. М жазықтығындағы кез келген нүкте болсын. Сонда =.

М =0А(х-х)+В(у-у)+С(z-z)=0 немесе

Ах+Ву+Сz+(-Ax-Bx-Cx)=0

D=-Ax-Bx-Cx белгілеу енгізсек жазықтықтың теңдеуі былай жазылады:

Ax+By+Cz+D=0

Бұл жазықтықтың жалпы теңдеуі (1)

§10.Берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтың теңдеуі

Кеңістікте М,М және М үш нүктесі арқылы өтетін жазықтын теңдеуін жазайық.

М(х,у,z) жазықтықтың бойындағы кез келген нүкте болсын. Мжәне коллинеар.

Коллинеарлық шарт бойынша

= 0

Бұл үш нүкте арқылы өтетін жазықтың теңдеуі (1)

§11.Кеңістіктегі түзудің теңдеуі

=(k,l,m) векторы кеңістікте берілген түзуіне параллель векторы болсын,осы векторды түзудің бағыттауыш векторы дейді. түзуі М(х,у,z) нүктесі арқылы өтетін болсын. М(х,у,z) түзуінің бойындағы кез келген нүкте болсын.

Ммен коллинеарлы (1)

Бұл түзудің канондық теңдеуі.Түзуді екі жазықтықтың қиылысуы түрінде қарауға болады. Сонда жалпы теңдеуі шығады: (2)

Дәріс 9

Анализге кіріспе

§1 Ақырсыз аз, ақырсыз үлкен шамалар.

Функцияның шегі, біржақты шектер.

Анықтама 1.

y=f(x) функциясы нүктесінің қандай да бір аймағында анықталған болсын. Сонда А саны y=f(x) функциясының

х → ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер кез-келген Ԑ >0

саны үшін S=S(Ԑ) >0 саны табылып, 0 ˂ (х-) ˂ S теңсіздігі орындалғанда │Ԑ(x) -A│теңсіздігі орындалса.

Егер А саны y=f(x) функциясының х → ұмтылғандағы шегі болса, онда оны келесі түрде жазамыз: lim f(x) = A жазуы, кез-келген Ԑ >0 саны үшін

жазуы, кез-келген Ԑ >0 саны үшін N = N(Ԑ) >0 саны табылып,

│ х │>N болғанда │f(x)-А│ Ԑ теңсіздігі орындалатындығын білдіреді.

Егер х ˂ а және х→а, онда х→а – 0 жазуын қолданамыз; Егер х>а және х→а онда х→а + 0 жазуын қолдан амыз.

Анықтама 2 және

Сандары f(x) функциясының а нүктесіндегі сәйкес сол және оң жақ шектері деп аталады.

Сол немесе оң жақ шекті бір сөзбен біржақты шектері деп аталады.

Анықтама 3

Егер болса, онда f(x) функциясы ақырсыз аз деп аталады.

Анықтама 4

Егер 0˂│х - 0│˂S болғанда │f(x)│>M теңсіздігі орындалса, мұндағы М кез-келген оң сан, ондаболады.

Мұндай жағдайда f(x) функциясы х→а ақырсыз үлкен деп аталады. Шектерді есептеу кезінде мына теорема пайдаланылады.

Теорема1

Егер f(x) және g(x) функцияларын х→а болғанда шектері бар болса, онда f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) * g(x), және f(x) / g(x), (lim g(x)≠0 болуы керек) х→а болғанда шектері бар және мына теңдіктер орындалады:

1)

2)

3)

4)

Сонымен бірге шектерді есептеу негізінде төменгі екі тамаша шектерді де жиі қолданамыз.

1. (бірінші тамаша шек)

2.=e (екінші тамаша шек)